浙江省寧海縣桃源初級中學(xué) 陳靜雯

數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)不僅在數(shù)學(xué)解題中有幫助，同時在生活中也有著很大的用處。數(shù)學(xué)思想非常豐富，本文通過一堂自己的課堂實錄，談?wù)剰奶厥獾揭话愕臄?shù)學(xué)思想在解題中的妙用。

例題：將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)圓心角為時，正n邊形被重合部分的面積為_____。

題目分析：此題沒有圖形，而且是抽象的n邊形，圖形也不容易畫出，所以重合的圖形同樣也都不明確，整體給學(xué)生的感覺就是摸不著頭腦，不知道從哪里切入題目。

一、從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深

1.如圖1，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的等邊△ABC的中心點O處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)圓心角為120°時，等邊△ABC被重合部分的面積為_____。

圖1

分析：過點O作OE⊥AC，OF⊥BC分別交于點E，F(xiàn).

易得∠EOF=120°

設(shè)計意圖：在教學(xué)過程中，可以借助幾何畫板，結(jié)合“計算工具”，演示出重合面積始終是一個固定的值，使枯燥復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識變得立體直觀，激發(fā)學(xué)生的興趣。幾何畫板演示出重合部分的位置在不斷改變，為什么重合部分的面積卻始終不變呢？這個固定的值是多少呢？如何來證明呢？一系列的疑問激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣和熱情，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲。

2.如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正方形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)圓心角為90°時，正方形被重合部分的面積為_____。

圖2

分析：過點O作OE⊥BD，OF⊥CD分別交于點E，F(xiàn).

易得∠EOF=90°

∵∠MON=90°

設(shè)計意圖：經(jīng)過第一題的探索，學(xué)生已經(jīng)了解了解題思路及解題方式，借助多媒體激發(fā)了學(xué)生的興趣，所以接下來的自主探索就水到渠成了。

此時的學(xué)生對自己的猜測更加肯定了，離最后的成功越來越近，學(xué)生探索的興趣則更加濃厚。

3.如圖3，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正五邊形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)圓心角為72°時，正五邊形被重合部分的面積為_____

圖3

分析：過點O作OH⊥AE，OF⊥AB分別交于點H，F(xiàn).

易得∠HOF=72°

再次借助幾何畫板，讓學(xué)生感受到面積的不變，然后定格在如圖4的位置，讓學(xué)生體會面積的轉(zhuǎn)移。

根據(jù)以上正三角形、正方形、正五邊形的探究過程，請學(xué)生得出合理的結(jié)論。

從特殊到一般的推廣：將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)圓心角為時，正n邊形被重合部分的面積為。

借著學(xué)生得到結(jié)論后成功的喜悅和探索興趣正濃，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維：“類似地，我們還可以探索怎樣的問題呢？”

二、變更問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用思想

學(xué)生很自然地能提出問題：面積為S的全等的正n邊形紙板，其中一個正n邊形紙板的頂點與另一個正n邊形紙板的中心O重合，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)重合部分的中心角度為時，兩個正n邊形重合部分的面積為____。

此時教師可以充分利用小組合作討論所帶來的無窮智慧，把探索的課堂給學(xué)生，還可以進(jìn)行組內(nèi)交流，也可派代表進(jìn)行組際交流，交流猜想結(jié)論，交流驗證方法等等，充分發(fā)表自己的看法，形成小組集體意見。同樣由學(xué)生概括兩個正n邊形被重合部分的一般規(guī)律。

學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3時，旋轉(zhuǎn)過程中重合部分的面積不是一個定值（至于這個變化的面積是否也有規(guī)律讓學(xué)生課后思考），只有當(dāng)n＞3時，這個重合部分面積才是定值。

如圖5，面積為S的全等的正方形紙板，其中一個正方形紙板的頂點與另一個正方形紙板的中心O重合，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)重合部分的中心角度為90°時，兩個正方形重合部分的面積為____。

在這兩輪的探索中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)從一般到特殊、類比的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)過程中涉及了變更問題、嘗試猜想、總結(jié)歸納等教學(xué)環(huán)節(jié)，為學(xué)生構(gòu)建研究平臺，鼓勵學(xué)生自主動手實踐。

三、反思小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生提煉思想

反思是數(shù)學(xué)活動的核心和動力，所以在探究學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與小結(jié)，并及時提煉上升到數(shù)學(xué)思想的高度，讓學(xué)生掌握探究的方法，培養(yǎng)學(xué)生探索解決問題的能力?？梢圆捎脝栴}串的引導(dǎo)方式，例如：

1.問題開始，我們是怎樣入手的？（從正三角形、正方形、正五邊形到正n邊形）

2.在證明過程中我們主要運用了哪些方法？（證明三角形全等將面積轉(zhuǎn)移）

3.在探究中運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（從特殊到一般、類比思想、轉(zhuǎn)化思想等等）

四、變式拓展，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維

學(xué)以致用，那就讓學(xué)生應(yīng)用上面學(xué)習(xí)的方法和結(jié)論，嘗試解決下面的問題。

變式一：如圖6，將n個邊長都是1cm的正方形按如圖所示擺放，點A1、A2、…、An分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分的面積和為（）。

變式二：⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，OD、OE是⊙O的半徑。

如圖7，當(dāng)OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的.

如圖8，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的.

分析：由對稱性很容易就可以得到四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的。

只要保持∠DOE保持120°角度不變，這個陰影的面積也保持不變，它等于四邊形OFCG的面積，即是△ABC的面積的.

變式三：如圖9，已知點A，B，C是半徑長為2的半圓O上的三個點，其中點A是弧BC的中點，連接AB，AC，點D，E分別在弦AB，AC上，且滿足AD=CE，連接OD，OE，若∠BAC=120°，當(dāng)點D在弦AB上運動時，四邊形ADOE的面積是否變化？若變化，請簡述理由；若不變化，請求出四邊形ADOE的面積.

圖9

∴四邊形ADOE的面積不變

變式四：如圖10，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O為矩形ABCD的中心，將直角三角形的直角頂點與O重合，一條直角邊OP與OA重合，使三角板沿逆時針方向繞點O旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與邊AB、BC相交于N、M，AN=y，BM=x,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為________。

圖10

設(shè)計意圖：采用變式拓展，圍繞同一圖形，變換旋轉(zhuǎn)角度，有利于學(xué)生更扎實地掌握知識結(jié)論。

結(jié)束語

學(xué)生經(jīng)過自主探索、實踐，發(fā)現(xiàn)歸納結(jié)論，這是對學(xué)生主動參與精神的激勵，在過程中能使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和解題技巧，體會到主動探索成功后的喜悅，增強(qiáng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的動力和信心。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個長久的過程，不僅在平時的課堂中，而且也在解題中。數(shù)學(xué)思想的掌握必有利于今后的學(xué)習(xí)和生活，因此在今后的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該倡導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的掌握，而不是教會學(xué)生模仿和記憶。