張曉華，彭 小 ，黃 龍

(重慶市信息通信咨詢設(shè)計(jì)院有限公司，重慶 400041)

0 引 言

大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)系統(tǒng)[1-4]中，傳統(tǒng)線性檢測算法迫零 (Zero-Forcing,ZF)與最小均方差 (Minimum Mean Square Error, MMSE)算法[5-7]的復(fù)雜度主要來源于大矩陣反演運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度為O(K3)。為降低高維矩陣求逆復(fù)雜度，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了多種基于MMSE檢測方案的低復(fù)雜度改進(jìn)算法，主要有級數(shù)展開類近似法[8-9]、迭代類近似求解法[10]和基于矩陣梯度搜索近似求解法[11]等。級數(shù)展開類近似法主要是利用Neumann級數(shù)展開法來近似獲得MMSE檢測器加權(quán)矩陣的逆矩陣，但是當(dāng)展開階數(shù)i增大時(shí)(i>2)，其計(jì)算復(fù)雜度將超過MMSE加權(quán)矩陣求逆的計(jì)算復(fù)雜度，所以只有i≤2時(shí)，Neumann級數(shù)近似算法才能把計(jì)算復(fù)雜度從O(K3)降到O(K2)；迭代類近似求解法則通過求解線性方程來估計(jì)用戶發(fā)送矢量代替MMSE檢測器加權(quán)矩陣的求逆過程[12]，部分學(xué)者提出了多種近似算法，如理查德森(RIchardson, RI)迭代法、高斯(Gauss-Seidel, GS)迭代法、雅克比(Jacobi, JC)迭代以及連續(xù)超松弛(Successive Over-Relaxation, SOR)迭代法，雖然這些迭代算法可以將計(jì)算復(fù)雜度降低一個(gè)數(shù)量級，但在收斂性方面不是太理想。

本文提出了一種混合線性迭代(Mixed Linear Iteration，MLI)信號檢測算法，首先構(gòu)造MMSE檢測器加權(quán)矩陣的分裂矩陣形式，再把展開階數(shù)為2(i=2)的加權(quán)矩陣逆矩陣的Neumann級數(shù)展開式轉(zhuǎn)換為迭代矢量初始值代入迭代方程，從而進(jìn)一步加快算法的收斂速率，以較少的迭代次數(shù)逼近MMSE算法的性能曲線。

1 系統(tǒng)模型

假設(shè)在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的上行鏈路中，基站(Base Station, BS)配置的天線數(shù)為M，同時(shí)與N個(gè)單天線用戶進(jìn)行數(shù)據(jù)的傳輸，且N>M，并假設(shè)信號通過瑞利衰落信道傳輸。實(shí)際中的大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)較為復(fù)雜，為了便于分析理解，本文只對相對簡單的MIMO系統(tǒng)模型進(jìn)行分析，令xc=[x1,x2,…,xM]T∈CM×1為所有用戶同時(shí)發(fā)送的M×1維信號矢量，Hc∈CN×M為瑞利衰落大規(guī)模MIMO信道矩陣，則接收信號模型可表示為

式中：yc=[y1,y2,…,yN]T∈CN×1為接收到的N×1維信號矢量；nc=[n1,n2,…,nN]T∈CN×1為N×1維加性高斯白噪聲。為降低復(fù)數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，將式(1)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)形式為

式中，y∈R2N×1，x∈R2M×1，n∈R2N×1及H∈R2N×2M，R為不同維度的矩陣，則式(2)可表示為

式中：R(·)為實(shí)部；J(·)為虛部。

2 Neumann級數(shù)展開

大規(guī)模MIMO信號檢測算法性能較好的一般計(jì)算復(fù)雜度都較高，為找到兩者間的折中算法，Wu等人[9]提出利用一系列矩陣乘法之和來近似矩陣求逆結(jié)果的Neumann級數(shù)展開法來近似獲得MMSE加權(quán)矩陣H的求逆結(jié)果，當(dāng)存在可逆矩陣X近似W且滿足：

式中，I為單位矩陣，那么W的逆矩陣可以根據(jù)Neumann級數(shù)展開為

式中，矩陣W可分解為D和E，即W=D+E，E為W的空心矩陣，D為W的嚴(yán)格對角矩陣。當(dāng)N?K時(shí)，由于MIMO系統(tǒng)信道硬化的特性，加權(quán)矩陣W具有嚴(yán)格對角占優(yōu)特性，可認(rèn)為W≈D。將式(6)中的W和X分別用D+E和D代替可得：

式(7)的收斂條件為

若只展開W-1矩陣Neumann級數(shù)的前i項(xiàng)，則式(7)可轉(zhuǎn)換為

分析可知，采用Neumann級數(shù)展開的方法，當(dāng)取i<2時(shí)，可通過較低的計(jì)算復(fù)雜度來近似表示W(wǎng)-1；當(dāng)i=2時(shí)，可以計(jì)算復(fù)雜度為O(K2)來近似W-1，可較好地降低W矩陣求逆過程的計(jì)算復(fù)雜度；但當(dāng)i>2時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度將達(dá)到甚至超過O(K3)。

3 基于Neumann級數(shù)展開和矩陣分塊的線性迭代算法

3.1 MLI算法

本文提出的MLI算法首先采取對MMSE加權(quán)矩陣W進(jìn)行分塊預(yù)處理的方法，根據(jù)線性迭代算法的思想將式(4)轉(zhuǎn)換成線性方程形式：

轉(zhuǎn)換成線性方程的迭代解法形式并給出迭代收斂條件如下：

式中：ai,j為矩陣A第i行第j列的元素；Pi,j為矩陣P第i行第j列的元素。

分析可知，分裂矩陣P是由W矩陣對角上所有2×2子矩陣分塊組成而其他位置為0的方式構(gòu)造而成，這樣將大大提高算法在硬件上的可實(shí)現(xiàn)性，具有很高的并行性，計(jì)算復(fù)雜度可降低為O(K2)。

綜上所述，基于MLI算法的信號檢測算法流程如下所示：

輸入：信道衰落矩陣H，接收信號y；

初始化：

(1) 計(jì)算MMSE濾波矩陣W=G+?2IM；

Neumann級數(shù)展開：

分塊矩陣線性迭代：

(5) 根據(jù)式W=A=P+Q分解矩陣W；

(6) 根據(jù)式(15)構(gòu)造分塊矩陣P；

for (k=0;k≤N；k++)

end for

3.2 收斂性分析

線性迭代算法的收斂性與其迭代矩陣的特征值密切相關(guān)，用λn表示迭代矩陣-P-1Q的特征值，而其特征值對應(yīng)的特征向量用ωT表示，則有：

將式(11)代入上式并作轉(zhuǎn)換得：

令C=P-Q，由式(11)有：

結(jié)合式(19)，式(18)可表示為

由于A=G+?2IM，G=HHH為格拉姆矩陣，對角元素為正；?2=N0/Es為估計(jì)方差，其值大于或等于0，因此，矩陣A為正定矩陣。由正定矩陣的性質(zhì)可知：

由于A是對角占優(yōu)矩陣，矩陣C=P-Q繼承了矩陣A的對角元素，因此，C具有矩陣的A特性，是正定對角占優(yōu)矩陣。同理，C也滿足：

綜合式(20)、(21)和(22)得：

由式(23)可得：|λn|<1。所以迭代矩陣-P-1Q在迭代過程中是收斂的。

3.3 復(fù)雜度分析

對于BI算法的復(fù)雜度分析，首先將式(13)變形為

式中，矩陣P按照式(15)進(jìn)行構(gòu)造，由矩陣A對角上若干個(gè)2×2矩陣組成，每個(gè)2×2矩陣求逆的過程需要4次乘法和一次除法，則對于2M×2M的P矩陣需要4M次乘法和M次除法。Q是2M×2M矩陣，每行每列都有2M-2個(gè)非零元素，Xk為2M×1向量，依據(jù)矩陣與向量的乘法可以通過向量與向量乘法并行實(shí)現(xiàn)，可知QXk需要2M×(2M-2)次乘法；矩陣每行每列有兩個(gè)非零元素，那么P-1每行每列也有兩個(gè)非零元素，對于2M×2M的P-1與2M×1的向量b-QXk相乘則需要4M次乘法，采用i(i≥2)次迭代求解信號矢量需要4(i-1)M2+5M次乘法。

圖1所示為MLI算法與MMSE檢測算法、Neumann級數(shù)展開算法和GS算法復(fù)雜度之間的對比，圖中i為不同算法迭代次數(shù)。結(jié)合Neumann級數(shù)展開與BI兩部分的算法，MLI算法共需要(4i+8)M2+M次乘法，可見在任意迭代次數(shù)下，算法復(fù)雜度依然保持為O(K2)，相比較于MMSE檢測算法，計(jì)算復(fù)雜度大大降低。

圖1 算法復(fù)雜度對比

4 仿真結(jié)果分析

本節(jié)將以MMSE算法為比較基準(zhǔn)，比較在不同天線規(guī)模和不同調(diào)制方式下，MLI算法的檢測性能。

首先，假設(shè)信號在瑞利衰落信道下傳輸，采用正交幅度調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)方法,將信號調(diào)制方式設(shè)置為64 QAM，天線的發(fā)射功率ES=1，下面將給出在天線規(guī)模為64×16的情況下，迭代初始值為零矢量的BI算法與迭代初始值為Neumann級數(shù)二階展開值時(shí)BI算法的誤碼率(Bit Error Rate，BER)性能差異，仿真結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知，當(dāng)?shù)螖?shù)i增加時(shí)，BI和MLI算法的檢測性能都得到了不同程度的改善，但在相同的迭代次數(shù)下，MLI算法的檢測性能有明顯的優(yōu)勢。當(dāng)?shù)螖?shù)i=2且BER性能為10-2時(shí)，BI算法所需的信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)為14 dB，而MLI算法所需的SNR為12 dB，相比之下將獲得近2 dB增益的性能提升；另外，把Neumann級數(shù)二階展開式轉(zhuǎn)換為BI算法的初始值后，由圖可知，本文所提MLI算法曲線收斂更快，當(dāng)i=4時(shí)，可近似MMSE最優(yōu)檢測算法的性能。

圖2 BI與MLI算法在天線規(guī)模為64×16時(shí)的BER

圖3(a)～(c)所示為在基帶信號調(diào)制方式為64QAM的調(diào)制條件下，MMSE、Neumann級數(shù)展開、BI分塊迭代以及MLI算法在天線規(guī)模N×K為64×16、128×16和256×16時(shí)的BER性能仿真結(jié)果。在相同的迭代次數(shù)下，MLI混合迭代算法的檢測性能最好，且以較少的迭代次數(shù)超過了Neumann級數(shù)展開算法和BI算法較高展開階數(shù)或迭代次數(shù)下的檢測性能。

圖3 64QAM調(diào)制下不同檢測算法的BER性能對比

當(dāng)BS側(cè)的天線數(shù)量增加時(shí)，提供的分集增益增大，由圖3(a)～(c)可知，不同算法的檢測性能都隨著BS天線數(shù)目與用戶數(shù)比值的增加逐漸逼近MMSE檢測算法性能，但在相同BER下，N×K為64×16時(shí)比為128×16時(shí)需要的SNR更高，而N×K為128×16時(shí)比為256×16時(shí)需要的SNR更高。所以當(dāng)N/K的值增大時(shí)，相比于其他算法，本文所提MLI算法能以較少的迭代次數(shù)實(shí)現(xiàn)較優(yōu)的檢測性能。

5 結(jié)束語

基于Neumann級數(shù)展開和分塊矩陣線性迭代算法，本文提出了將二階Neumann級數(shù)展開轉(zhuǎn)換為分塊矩陣線性迭代算法初始值的MLI算法來近似處理復(fù)雜的MMSE檢測算法矩陣求逆。本文詳細(xì)證明了迭代矩陣的收斂性，且理論驗(yàn)證了該MLI算法的復(fù)雜度較低，能夠在任意迭代次數(shù)下保持算法復(fù)雜度為O(K2)。Matlab仿真結(jié)果表明，MLI算法的檢測性能要比Neumann級數(shù)展開法和零矢量BI算法更好，能夠以較少的迭代次數(shù)逼近MMSE檢測算法的性能曲線。通過對MLI算法進(jìn)行計(jì)算復(fù)雜度分析和仿真分析可知，該算法有較低的計(jì)算復(fù)雜度和較快的收斂速度，能作為MIMO檢測系統(tǒng)信號檢測的有效方案之一。