閆公敬，羅 旺，張斌智

（1.齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161000；2.廣東省季華實(shí)驗(yàn)室，廣東 佛山 528200）

1 引 言

高精度的光學(xué)平面鏡被廣泛應(yīng)用于光刻系統(tǒng)[1-3]、大型地基望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)[4-6]及空間光學(xué)系統(tǒng)[7]中。橢圓形光學(xué)平面反射鏡在上述光學(xué)系統(tǒng)中通常被用做45°反射鏡，這種鏡面在大口徑地基望遠(yuǎn)鏡中的應(yīng)用尤其廣泛，例如在美國、中國、日本等國家合作的三十米望遠(yuǎn)鏡（Thirty Meter Telescope, TMT）項(xiàng)目中，三鏡是一塊2.5 m×3.5 m的橢圓形平面鏡[4]；在我國12 m大型光學(xué)紅外望遠(yuǎn)鏡（Large Optical Telescope, LOT）的可能設(shè)計(jì)方案中，三鏡為一塊1.573 m×1.333 m的橢圓形平面反射鏡[5]。

子孔徑拼接檢測(cè)是大口徑光學(xué)鏡面檢測(cè)的一種通用手段。國內(nèi)外的眾多學(xué)者都對(duì)上述方法進(jìn)行了研究，例如美國QED公司成功研制出了拼接干涉儀，可以對(duì)200 mm口徑以內(nèi)的平面、球面及適度偏離量的非球面完成拼接測(cè)量[8-9]；中國科學(xué)院上海光學(xué)精密機(jī)械研究所朱鵬輝、王向朝研究員對(duì)平面子孔徑拼接中的累積誤差進(jìn)行了系統(tǒng)的分析[10]；中國科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所（簡(jiǎn)稱長(zhǎng)春光機(jī)所）王孝坤研究員對(duì)大口徑非球面次鏡的拼接面形重構(gòu)方法進(jìn)行了系統(tǒng)的研究[11-12]。同時(shí)國內(nèi)眾多學(xué)者也對(duì)拼接鏡的檢測(cè)進(jìn)行了深入研究[13-15]。在上述子孔徑拼接測(cè)量中，參考鏡的面形誤差被忽略不計(jì)，然而，在進(jìn)行光刻系統(tǒng)元件檢測(cè)、大型望遠(yuǎn)鏡鏡面面形檢測(cè)等高精度光學(xué)元件面形檢測(cè)時(shí)，需要在檢測(cè)結(jié)果中分離標(biāo)準(zhǔn)鏡誤差。針對(duì)上述檢測(cè)要求，美國亞利桑那光學(xué)中心蘇鵬博士提出了一種最大似然估計(jì)算法模型，實(shí)現(xiàn)了1.6 m圓域光學(xué)平面鏡的絕對(duì)檢測(cè)[16]；長(zhǎng)春光機(jī)所蘇東奇博士提出了一種旋轉(zhuǎn)平移絕對(duì)檢測(cè)算法，實(shí)現(xiàn)了光刻系統(tǒng)中圓域平面鏡的絕對(duì)檢測(cè)[17]；山東大學(xué)楊忠明博士提出了一種基于高階旋轉(zhuǎn)平移算法的大數(shù)值孔徑圓域球面鏡絕對(duì)檢測(cè)算法，實(shí)現(xiàn)了高數(shù)值孔徑圓域球面反射鏡的高精度測(cè)量[18-19]。

上述面形重構(gòu)算法主要可以分為兩類，一類是在忽略了參考鏡面形誤差的情況下實(shí)現(xiàn)待測(cè)鏡的面形重構(gòu)，該方法要求參考鏡面形誤差相比與待測(cè)鏡面形誤差可以忽略不計(jì)；另一類則是考慮了參考鏡面形誤差不可忽略的情況，然而待測(cè)鏡需為圓域鏡面。這為上述兩類算法的應(yīng)用帶來了一定的局限性。本文所述的面形重構(gòu)算法可以在參考鏡面形精度不高的情況下實(shí)現(xiàn)待測(cè)鏡的面形重構(gòu)，本文在第三部分的模擬計(jì)算中對(duì)該類情況進(jìn)行了仿真計(jì)算；同時(shí)，在參考鏡面形精度較高但是不可忽略的情況下，也可對(duì)橢圓域鏡面實(shí)現(xiàn)高精度面形重構(gòu)，在本文第四部分實(shí)驗(yàn)部分著重對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行了分析。

本文的具體安排如下，在本文的第二部分，詳細(xì)介紹了上述方法的理論模型；第三部分，在參考鏡面形精度不高時(shí)對(duì)本文算法的擬合精度進(jìn)行了分析；第四部分對(duì)上述方法的可行性與檢測(cè)精度進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證本方法的實(shí)際檢測(cè)效果；第五部分給出了文章的相關(guān)結(jié)論。

2 橢圓域平面鏡絕對(duì)檢測(cè)算法模型

2.1 正交化算法模型

標(biāo)準(zhǔn)Zernike多項(xiàng)式在光學(xué)設(shè)計(jì)及檢測(cè)中通常被應(yīng)用于圓域鏡面的描述與表征，而在非圓域鏡面的描述中，由于上述多項(xiàng)式的非正交性質(zhì)，往往會(huì)導(dǎo)致擬合偏差大，擬合精度低等問題。在本文所述的橢圓形平面鏡絕對(duì)檢測(cè)算法中，首先需要利用正交化擬合算法對(duì)Zernike多項(xiàng)式在檢測(cè)域進(jìn)行正交化擬合，利用橢圓域正交化多項(xiàng)式對(duì)檢測(cè)面形進(jìn)行表述求解[20-21]。

考慮{Fi}為橢圓域內(nèi)的一組正交多項(xiàng)式，它可以表示為一組標(biāo)準(zhǔn)Zernike多項(xiàng)式的線性組合：

其中Mij是轉(zhuǎn)換矩陣，J是多項(xiàng)式擬合階數(shù)；由于{Fi}在橢圓域內(nèi)正交，其應(yīng)該滿足：

其中δij為克羅內(nèi)克函數(shù)。在式(1)兩邊分別乘以Zk，可以得到：

其中i,k分別為橢圓域內(nèi)正交化多項(xiàng)式{Fi}與標(biāo)準(zhǔn)Zernike多項(xiàng)式{Zk}的序號(hào)，i,k=1,2,···J。式(3)可以表示成：

其中CZF與CZZ均為J×J階矩陣，對(duì)于一個(gè)橢圓比例系數(shù)為b的橢圓域，矩陣CZF與CZZ中元素c可以通過下式求得：

在求得了矩陣CZF與CZZ后，矩陣Mij即可通過式(4)求解得到，即由式(1)得到了橢圓域內(nèi)的正交多項(xiàng)式{Fi}。

2.2 絕對(duì)檢測(cè)面形重構(gòu)算法

對(duì)于大口徑平面鏡絕對(duì)檢測(cè)，通常其參考鏡為標(biāo)準(zhǔn)圓域鏡面，參考面面形誤差可以表示為：

對(duì)于待測(cè)鏡，其面形誤差可以表示為：其中，Wt與Wr分別為待測(cè)鏡與參考鏡的面形誤差，ai與bi分別為擬合多項(xiàng)式系數(shù)，k與m為多項(xiàng)式擬合階數(shù)；對(duì)于一幅子孔徑干涉檢測(cè)結(jié)果，其可以表示成下式：

其中D1為子孔徑1檢測(cè)結(jié)果相位值，為相位值中可以用多項(xiàng)式解析描述的部分，residuals為檢測(cè)結(jié)果中不能用多項(xiàng)式解析描述的殘差部分，a5～ak為檢測(cè)鏡面橢圓域內(nèi)的正交化多項(xiàng)式{Fi}系數(shù)，b5～bm為參考鏡面圓域內(nèi)的Zernike多項(xiàng)式{Zi}系數(shù)。通過最小二乘擬合算法求解式(9)的最小值，即可分別求得待測(cè)鏡多項(xiàng)式擬合系數(shù)a5～ak與參考鏡多項(xiàng)式擬合系數(shù)b5～bm，從而求解得到待測(cè)鏡與參考鏡的面形結(jié)果。

3 理論模擬

為了驗(yàn)證本文算法在參考鏡面形精度不高的情況下對(duì)待測(cè)鏡的面形重構(gòu)精度，本文開展了相關(guān)的理論模擬計(jì)算。模擬計(jì)算中，利用150 mm口徑參考平面鏡對(duì)250 mm×300 mm橢圓形平面鏡進(jìn)行模擬檢測(cè)，共進(jìn)行了9個(gè)檢測(cè)子孔徑規(guī)劃，如圖1所示。利用上述9個(gè)子孔徑可以實(shí)現(xiàn)對(duì)待測(cè)鏡面的全口徑覆蓋。

圖1 檢測(cè)子孔徑規(guī)劃圖Fig.1 Arrangement of subapertures

模擬中，設(shè)置參考鏡的面形誤差RMS值為100.01 nm；如圖2所示。待測(cè)鏡的面形精度RMS值為104.32 nm，如圖3所示。參考鏡與待測(cè)鏡的面形輸入結(jié)果屬于參考鏡面形精度較差的情況。

圖2 參考鏡面形誤差Fig.2 Surface error of reference mirror

圖3 待測(cè)鏡面形誤差Fig.3 Surface error of the mirror to be measured

結(jié)合本文所述的絕對(duì)檢測(cè)算法，完成了參考鏡與待測(cè)鏡的面形重構(gòu)，其中參考鏡面形重構(gòu)結(jié)果如圖4所示，其面形RMS值為98.13 nm；待測(cè)鏡的面形重構(gòu)結(jié)果如圖5所示，面形RMS值為104.86 nm。由圖2與圖4的對(duì)比及圖3與圖5的對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，利用本文算法可以在一定精度內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)待測(cè)鏡的面形重構(gòu)，二者重構(gòu)面形誤差分布一致。為了更好地評(píng)價(jià)本文算法對(duì)鏡面面形的重構(gòu)精度，分別對(duì)待測(cè)鏡及參考鏡計(jì)算了擬合殘差（即初始面形與重構(gòu)面形的殘差值），其中參考鏡面形擬合殘差結(jié)果如圖6所示，其殘差RMS值為6.58 nm，待測(cè)鏡面形擬合結(jié)果如圖7所示，其殘差RMS值為3.24 nm?？梢钥闯?，利用本文所述算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)待測(cè)鏡的面形重構(gòu)。

圖4 參考鏡面形重構(gòu)結(jié)果Fig.4 Surface reconstruction map of reference mirror

圖5 待測(cè)鏡面形重構(gòu)結(jié)果Fig.5 Surface reconstruction map of the mirror to be measured

圖6 參考鏡擬合殘差Fig.6 Surface residual map of reference mirror

圖7 待測(cè)鏡擬合殘差Fig.7 Surface residual map of the mirror to be measured

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所述橢圓形鏡面絕對(duì)檢測(cè)算法的可行性與檢測(cè)精度，開展了相關(guān)的絕對(duì)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)開展于2021年2月，實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)為長(zhǎng)春光機(jī)所光學(xué)中心檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室，實(shí)驗(yàn)裝置如圖8所示。實(shí)驗(yàn)中利用3D打印制作一個(gè)250 mm×300 mm的橢圓形光闌，將其覆蓋在Φ300 mm口徑Zygo標(biāo)準(zhǔn)平面鏡頭上，形成250 mm×300 mm的橢圓形待檢測(cè)區(qū)域。利用Zygo Φ150 mm口徑干涉儀對(duì)上述橢圓形檢測(cè)區(qū)域進(jìn)行干涉測(cè)量。

為了實(shí)現(xiàn)待測(cè)鏡的全口徑面形重構(gòu)，檢測(cè)時(shí)規(guī)劃了9個(gè)測(cè)試子孔徑，規(guī)劃路徑如圖1所示。利用上述9個(gè)子孔徑可以實(shí)現(xiàn)對(duì)待測(cè)鏡面的全口徑覆蓋。9個(gè)子孔徑干涉檢測(cè)結(jié)果如圖9（彩圖見期刊電子版）所示。

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.8 Experimental setup

圖9 子孔徑測(cè)試結(jié)果Fig.9 Measured subapertures

在采用絕對(duì)檢測(cè)算法進(jìn)行面形重構(gòu)時(shí)，采用79階橢圓域內(nèi)正交化Zernike多項(xiàng)式描述待測(cè)鏡，采用79階標(biāo)準(zhǔn)圓域內(nèi)Zernike多項(xiàng)式描述參考鏡面，圖10給出了橢圓域檢測(cè)鏡面面形重構(gòu)結(jié)果，圖11給出了參考鏡面面形重構(gòu)結(jié)果。

圖10 測(cè)試鏡面形重構(gòu)結(jié)果Fig.10 Reconstructed full aperture map of the elliptic surface

圖11 參考鏡面形重構(gòu)結(jié)果Fig.11 Reconstructed surface map of reference mirror

從圖10中可以看出，測(cè)試鏡面PV值與RMS值分別為0.126λ和0.011λ（λ=632.8 nm），由圖11可以看出，參考鏡面的PV值與RMS值分別為0.045λ和0.005λ。由圖10與圖11可以看出，基于本文所述算法可以同時(shí)重構(gòu)出待測(cè)鏡與參考鏡的鏡面面形。為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)本文算法的性能與精度，計(jì)算了每一個(gè)子孔徑測(cè)試結(jié)果與拼接結(jié)果的殘差圖（在圖9所示子孔徑檢測(cè)數(shù)據(jù)中去除待測(cè)鏡面形重構(gòu)結(jié)果與參考鏡面形重構(gòu)結(jié)果）如圖12所示。

圖12 子孔徑檢測(cè)結(jié)果與拼接結(jié)果殘差圖Fig.12 Difference maps between each subaperture map and its corresponding stitching map

由圖12可以看出每一幅子孔徑檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差圖，其RMS值均小于0.5 nm，證明了本文所述算法的精度較高。同時(shí)也計(jì)算了面形重構(gòu)時(shí)各子孔徑檢測(cè)數(shù)據(jù)重疊區(qū)域的數(shù)據(jù)偏差（偏差數(shù)據(jù)去掉了各子孔徑間的相對(duì)調(diào)整誤差），計(jì)算結(jié)果如圖13所示。

圖13 子孔徑重疊區(qū)域偏差結(jié)果Fig.13 Subaperture variations

從圖13可以看出，重疊區(qū)域子孔徑偏差結(jié)果的RMS值為0.29 nm，這說明了各子孔徑重疊區(qū)域數(shù)據(jù)的一致性。

本文還對(duì)比了橢圓域正交化擬合算法與傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法[13]（標(biāo)準(zhǔn)圓域擬合算法）的面形重構(gòu)精度。在傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法中，參考鏡面與待測(cè)鏡面均采用標(biāo)準(zhǔn)圓域Zernike多項(xiàng)式進(jìn)行擬合重構(gòu)計(jì)算。

利用傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法，可以重構(gòu)出待測(cè)鏡面形，結(jié)果如圖14所示，參考鏡面形結(jié)果如圖15所示。

圖14 傳統(tǒng)算法測(cè)試鏡面形重構(gòu)結(jié)果Fig.14 Reconstructed testing elliptic surface map with the standard Zernike polynomials fitting method

為了進(jìn)一步比較本文所述的橢圓域絕對(duì)檢測(cè)算法與傳統(tǒng)拼接算法的拼接精度。計(jì)算了應(yīng)用傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法后，每一個(gè)子孔徑測(cè)試結(jié)果與拼接結(jié)果的殘差圖，如圖16所示。

由圖16可以看出，利用傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法檢測(cè)時(shí)，每一幅子孔徑檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差圖，其RMS值在0.53 nm到0.68 nm間，對(duì)比圖12，與本文所述橢圓域絕對(duì)檢測(cè)算法相比，對(duì)應(yīng)子孔徑殘差結(jié)果相對(duì)較大。同時(shí)還計(jì)算了傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法進(jìn)行面形重構(gòu)時(shí)各子孔徑檢測(cè)數(shù)據(jù)重疊區(qū)域的數(shù)據(jù)偏差，計(jì)算結(jié)果如圖17所示。

圖15 傳統(tǒng)算法參考鏡面形重構(gòu)結(jié)果Fig.15 Reconstructed reference surface map with the standard Zernike polynomials fitting method

圖16 子孔徑檢測(cè)結(jié)果與傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)結(jié)果殘差圖Fig.16 Difference maps between each subaperture map and its corresponding stitching map using the traditional method

從圖17可以看出，利用傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法進(jìn)行面形重構(gòu)時(shí)，其子孔徑重疊區(qū)域偏差結(jié)果RMS值為0.32 nm，高于本文所述橢圓域絕對(duì)檢測(cè)算法偏差值，這進(jìn)一步說明本文所述算法可以更好地實(shí)現(xiàn)橢圓域平面反射鏡面形的高精度重構(gòu)。

圖17 傳統(tǒng)算法子孔徑重疊區(qū)域偏差結(jié)果Fig.17 Subaperture variations with the traditional method

5 結(jié) 論

本文根據(jù)現(xiàn)代先進(jìn)光學(xué)系統(tǒng)中對(duì)大口徑橢圓形平面光學(xué)元件高精度檢測(cè)的要求，提出了一種橢圓域絕對(duì)檢測(cè)算法，并介紹了該算法的原理。論文算法的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先可以在參考鏡面形精度不高時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)待測(cè)鏡的干涉測(cè)量，在模擬部分對(duì)檢測(cè)結(jié)果精度分析進(jìn)行了詳細(xì)的說明；其次，可以在參考鏡面形精度較高，但是相較于待測(cè)鏡要求精度不可忽略的情況下，對(duì)橢圓域平面鏡面形誤差實(shí)現(xiàn)高精度重構(gòu)。利用本文所述算法可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)參考鏡面與橢圓域待測(cè)鏡面的面形重構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)二者面形誤差的有效分離，完成對(duì)待測(cè)鏡面的高精度面形重構(gòu)。為了驗(yàn)證本文所述算法的準(zhǔn)確性與精度，開展了橢圓域平面鏡面絕對(duì)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中利用Φ150 mm Zygo標(biāo)準(zhǔn)鏡面作為參考鏡面，對(duì)Zygo250 mm×300 mm橢圓域標(biāo)準(zhǔn)鏡面完成了絕對(duì)檢測(cè)，面形重構(gòu)結(jié)果中測(cè)試鏡面其PV值與RMS值分別為0.126λ和0.011λ（λ=632.8 nm），參考鏡面的PV值與RMS值分別為0.045λ和0.005λ。子孔徑測(cè)試結(jié)果與拼接結(jié)果殘差圖的RMS值均小于0.5 nm，子孔徑檢測(cè)數(shù)據(jù)重疊區(qū)域的數(shù)據(jù)偏差RMS值為0.29 nm，均優(yōu)于傳統(tǒng)絕對(duì)檢測(cè)算法所實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)鏡面與待測(cè)鏡面面形重構(gòu)結(jié)果。驗(yàn)證了本文算法的可靠性與精度。