孫藝洋，許金凱，于占江，張向輝，程亞亞，于化東

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 跨尺度微納制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130022）

1 引 言

在精密微加工過程中，微細(xì)銑刀位姿測(cè)量是精密/超精密加工領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容。刀具在主軸上存在裝夾偏角時(shí)，不僅會(huì)造成單刃磨損嚴(yán)重、刀具使用壽命降低，還會(huì)直接降低工件的加工精度。對(duì)于微細(xì)銑刀的位姿測(cè)量，常用的儀器及方法有激光對(duì)刀儀、激光衍射法、光學(xué)成像測(cè)量法等[1-3]，上述方法的測(cè)量精度難以保證且容易損壞刀具，在實(shí)際加工中仍采用高精度彈簧夾頭來保證刀具裝夾精度。

隨著微細(xì)銑刀制造技術(shù)的革新，刀具尺度也隨之減小。機(jī)械微加工領(lǐng)域中目前常用的微細(xì)銑刀直徑在0.5 mm以下，這對(duì)于刀具的位姿測(cè)量提出了更高的要求。數(shù)字同軸全息技術(shù)[4]通過干涉記錄和衍射再現(xiàn)物體真實(shí)信息三維狀態(tài)，具有記錄光路簡(jiǎn)單、成像速度快等特點(diǎn)，已廣泛用于形貌測(cè)量[5-7]、生物醫(yī)學(xué)成像[8-10]、形變測(cè)量[11]、信息安全[12-13]等領(lǐng)域。隨著微細(xì)銑刀直徑的減小，刀具衍射現(xiàn)象越發(fā)明顯，利用數(shù)字同軸全息技術(shù)對(duì)刀具進(jìn)行全息成像，可以不受微細(xì)銑刀直徑的限制，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)微細(xì)/超細(xì)刀具的高精度測(cè)量。

微細(xì)銑刀發(fā)生裝夾傾斜時(shí)，全息再現(xiàn)像中會(huì)同時(shí)混合著聚焦區(qū)域和離焦區(qū)域[14]，此時(shí)無法由單一再現(xiàn)距離確定刀具準(zhǔn)確的軸向位置獲得精確的刀具狀態(tài)。為了精確觀測(cè)微細(xì)銑刀在機(jī)傾斜狀態(tài)，提出了基于景深的微細(xì)銑刀三維位姿重建方法。利用刀具邊緣點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行位姿重建，通過模擬和實(shí)驗(yàn)分析了聚焦評(píng)價(jià)算子的性能，建立了基于最小二乘法的關(guān)鍵點(diǎn)擬合方法修正重建誤差，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了微細(xì)銑刀三維位姿重建的可行性。

2 數(shù)字同軸全息成像原理

數(shù)字全息成像原理可分為兩個(gè)過程：波前記錄和數(shù)值再現(xiàn)。微細(xì)銑刀數(shù)字全息記錄光路如圖1所示。用一束相干光源垂直照射物體，光波穿過物面后將形成強(qiáng)而均勻的透射參考光波和弱的衍射物光波，這兩部分滿足相干條件的光波發(fā)生干涉被CMOS圖像傳感器所記錄，形成物體的數(shù)字全息圖，記錄面的光強(qiáng)分布為I(x,y)。

圖1 數(shù)字全息記錄過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the recording process of the digital holography

數(shù)字全息再現(xiàn)過程如圖2所示：計(jì)算機(jī)模擬光學(xué)衍射過程，用單位振幅平面波C(x,y)照射全息圖。

圖2 數(shù)字全息再現(xiàn)過程示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the reconstruction process of the digital holography

再現(xiàn)光波在全息圖后的復(fù)振幅分布U(x,y)為：

根據(jù)菲涅爾衍射積分公式，此再現(xiàn)光波經(jīng)距離d后在再現(xiàn)像面ξoη的復(fù)振幅分布為：

3 基于景深擴(kuò)展的微細(xì)銑刀位姿重建方法

3.1 聚焦評(píng)價(jià)算子

聚焦評(píng)價(jià)算子是刀具全息再現(xiàn)像三維重建的關(guān)鍵判據(jù)，三維位姿重建實(shí)質(zhì)是根據(jù)聚焦評(píng)價(jià)算子取值獲取軸向位置的三維顯示。通過合適的聚焦評(píng)價(jià)算子計(jì)算出每一點(diǎn)的聚焦程度，然后分析聚焦程度，確定其軸向位置。無論是光學(xué)圖像還是全息再現(xiàn)像，圖像聚焦越清晰，其灰度變化越劇烈。尤其是圖像的邊緣位置，聚焦清晰的圖像較模糊圖像有更高的銳度，前者往往也能體現(xiàn)更豐富的細(xì)節(jié)信息。所以圖像的聚焦程度可以用灰度變化的平均程度即灰度方差來衡量，而采用局部灰度方差能夠降低背景的干擾，進(jìn)一步增強(qiáng)圖像的對(duì)比度。

局部灰度方差函數(shù)定義為：

式中u為m×n區(qū)域灰度的平均值，文中m，n的取值為3。

小波變換局部方差算子是基于小波分解后的高低頻子圖的梯度圖像局部方差進(jìn)行計(jì)算。陽(yáng)靜等人[15]采用該算子對(duì)傾斜碳纖維進(jìn)行了較好的三維重建。實(shí)現(xiàn)過程是對(duì)全息再現(xiàn)像進(jìn)行小波分解，并利用Sobel算子求取高低頻系數(shù)子圖的梯度圖像。H表示高頻，L表示低頻，4張高低頻子圖像分別是：HH，HL，LH和LL。它們分別代表重建圖像的對(duì)角線高頻、水平高頻、豎直高頻和低頻系數(shù)。則子圖像的梯度矢量G可在x,y方向分別表示為:

再以m×n區(qū)域的高低頻子圖像的最大亮度梯度G的局部方差作為融合圖像的聚焦判據(jù),對(duì)重建圖像進(jìn)行景深擴(kuò)展,依次完成重建圖像上所有點(diǎn)的選取，最后實(shí)現(xiàn)了物體的位姿重建。

3.2 刀具位姿三維重建算法

刀具全息再現(xiàn)像三維位姿重建的核心思想與光學(xué)成像系統(tǒng)的景深擴(kuò)展原理類似。首先通過一系列等步長(zhǎng)的再現(xiàn)距離，獲取刀具在不同軸向位置的再現(xiàn)像，使整個(gè)再現(xiàn)像序列覆蓋刀具在光場(chǎng)中的全部信息。由于每幅再現(xiàn)像中不同區(qū)域的清晰程度不一，無法用一個(gè)再現(xiàn)距離得到所有點(diǎn)都聚焦清晰的軸向位置。故需要通過聚焦分析，使重建圖像的每一點(diǎn)都精確聚焦，從而實(shí)現(xiàn)刀具三維場(chǎng)的重建和相關(guān)測(cè)量。

設(shè)I為全息再現(xiàn)像，d為再現(xiàn)距離，f(i,j)為再現(xiàn)像中(i,j)位置聚焦評(píng)價(jià)算子的取值。基于景深的全息再現(xiàn)像三維位姿重構(gòu)步驟如下：

（1）得到全息圖如圖3(a)所示，保證再現(xiàn)距離在最小和最大記錄距離之內(nèi)。通過菲涅爾再現(xiàn)算法，記錄n個(gè)再現(xiàn)距離d=d0+kΔd(k=0···n-1)，Δd根據(jù)再現(xiàn)區(qū)間選取合適值，對(duì)應(yīng)的n張全息再現(xiàn)像I1～I(xiàn)n，如圖3(b)所示；

圖3 刀具三維位姿重構(gòu)流程圖。(a)刀具全息圖；(b) n張?jiān)佻F(xiàn)像；(c)濾波后的n張?jiān)佻F(xiàn)像；(d)點(diǎn)(i, j)的最佳再現(xiàn)距離；(e)刀具三維位姿示意圖Fig.3 Flow diagram of three-dimensional pose reconstruction of the tool.(a) Tool hologram; (b) reconstruction images; (c) reconstruction images after filtering; (d) best reconstruction distance for point (i, j);(e) schematic diagram of the tool’s three-dimensional pose

（2）對(duì)n張全息再現(xiàn)像做基于改進(jìn)自蛇模型濾波方法[16]處理如圖3(c)所示，再利用Sobel算子提取待測(cè)刀具的邊緣點(diǎn)；

（3）計(jì)算每張?jiān)佻F(xiàn)像中邊緣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的聚焦評(píng)價(jià)算子的取值；

（4）以邊緣點(diǎn)中(i,j)位置距離值的選取為例，比較n張?jiān)佻F(xiàn)像的聚焦評(píng)價(jià)值f(i,j)，通過n張?jiān)佻F(xiàn)像的聚焦評(píng)價(jià)值取最大法，獲取該點(diǎn)的軸向位置。max(f1(i,j),f2(i,j),···,fn(i,j))對(duì)應(yīng)的距離為dK，則dK為(i,j)的最佳再現(xiàn)距離，如圖3(d)所示，依次獲得所有邊緣點(diǎn)的最佳再現(xiàn)距離；

（5）結(jié)合邊緣點(diǎn)在再現(xiàn)像中的位置和其物理尺寸，以及對(duì)應(yīng)的軸向距離，通過三維繪圖，可直觀顯示刀具在三維空間中的位置和傾斜程度如圖3(e)所示。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 模擬實(shí)驗(yàn)

使用的數(shù)字全息實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。數(shù)字全息成像系統(tǒng)主要由激光器、激光擴(kuò)束鏡、CMOS、濾波片等組成。激光器安裝架、擴(kuò)束鏡安裝架及相機(jī)安裝組件的設(shè)計(jì)和安裝過程，必須保證激光器中心、擴(kuò)束鏡中心和CMOS感光面中心三者共軸線。相機(jī)固定在精密滑臺(tái)上，可以X向和Y向自由移動(dòng)，調(diào)節(jié)相機(jī)感光面的位置。激光器波長(zhǎng)為635nm，CMOS記錄區(qū)域的像素?cái)?shù)為2448×2048 pixels，為提高計(jì)算效率，截取再現(xiàn)像中600×1024 pixels像素大小作為計(jì)算區(qū)域。

圖4 數(shù)字全息實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.4 Schematic diagram of the digital holography experimental device

利用圖4所示實(shí)驗(yàn)裝置，獲得直徑0.5mm鉛芯的數(shù)字全息圖。實(shí)驗(yàn)中調(diào)整鉛芯與微調(diào)角度臺(tái)垂直，如圖5（a）所示，手動(dòng)調(diào)節(jié)角度臺(tái)至傾斜10°，如圖5（b）所示。圖6（a）為鉛芯的全息圖，圖 6（b）為記錄距離2 5.8mm處的再現(xiàn)像。

圖5 鉛芯數(shù)字全息實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。（a）擺正狀態(tài)；（b）傾斜指定角度Fig.5 Schematic diagram of the digital holographic experimental device for the lead core as simulated sample.(a) Straightened; (b) incline at a specified angle

圖6 鉛芯數(shù)字全息圖及再現(xiàn)像。(a)數(shù)字全息圖；（b）再現(xiàn)像（左）及計(jì)算區(qū)域放大圖（右）Fig.6 Digital hologram and reconstruction image of the lead-core.(a) Digital hologram; (b) reconstruction image (left) and calculation area magnification(right)

選擇重建距離區(qū)間為 24mm～28mm，重建距離間隔10 μm，等間隔重建401張局部聚焦的鉛芯再現(xiàn)像。然后，分別以小波變換局部方差算子和局部灰度方差算子，計(jì)算再現(xiàn)像中600×1024區(qū)域每點(diǎn)對(duì)應(yīng)的聚焦評(píng)價(jià)值，并通過聚焦評(píng)價(jià)曲線獲得聚焦評(píng)價(jià)最大值，得到如圖7（a）和圖7（b）所示圖像整體的軸向位置分布。

觀察上述軸向位置分布結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩種聚焦評(píng)價(jià)算子在低頻區(qū)域點(diǎn)的重建均存在聚焦評(píng)價(jià)抗干擾性不佳的情況。小波變換局部方差算子重建結(jié)果中低頻點(diǎn)（290,400）的聚焦評(píng)價(jià)曲線如圖8（a）（彩圖見期刊電子版）所示，可以發(fā)現(xiàn)該曲線單峰性不好，存在明顯干擾峰值，容易帶來重建距離的誤判。反觀邊緣點(diǎn)（229,400）的聚焦評(píng)價(jià)曲線（如圖8（b）所示彩圖見期刊電子版），一般都能得到準(zhǔn)確的重建距離。觀察局部灰度方差算子重建結(jié)果中低頻點(diǎn)（290,400）和邊緣點(diǎn)（229,400）的聚焦評(píng)價(jià)曲線（如圖8（c）和圖8（d）所示），曲線的分布具有類似的特點(diǎn)?？紤]到圖像低頻區(qū)域點(diǎn)重建距離的不準(zhǔn)確性，在重建過程中舍去低頻點(diǎn)。從再現(xiàn)像中提取鉛芯的邊緣點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)，僅對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行三維重建。

圖7 (a)小波變換局部方差算子及 (b)局部灰度方差算子對(duì)應(yīng)的的整體軸向位置分布Fig.7 Overall axial position distribution corresponding to (a) the local variance operator of wavelet transform and (b) local gray-scale variance operator

圖8 (a)小波變換局部方差算子對(duì)應(yīng)的低頻點(diǎn)的聚焦評(píng)價(jià)曲線; (b)小波變換局部方差算子對(duì)應(yīng)的邊緣點(diǎn)的聚焦評(píng)價(jià)曲線;(c)局部灰度方差算子對(duì)應(yīng)的低頻點(diǎn)聚焦評(píng)價(jià)曲線; (d)局部灰度方差算子對(duì)應(yīng)的邊緣點(diǎn)聚焦評(píng)價(jià)曲線Fig.8 (a) Focus evaluation curve of low frequency points corresponding to the local variance operator of the wavelet transform; (b) focus evaluation curve of the edge points corresponding to the local variance operator of the wavelet transform; (c) focus evaluation curve of the low frequency points corresponding to the local gray-scale variance operator;(d) focus evaluation curve of the edge points corresponding to the local gray-scale variance operator

通過改進(jìn)的自蛇模型[16]對(duì)圖6（b）中再現(xiàn)像的計(jì)算區(qū)域做擴(kuò)散濾波處理，用Sobel算子提取圖像的邊緣點(diǎn)，并計(jì)算邊緣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的距離值。再根據(jù)物理尺寸與像元大小之間的關(guān)系(1pixel=3.45μm)，將xoy面的像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為距離坐標(biāo)系，并進(jìn)行三維顯示，可得到圖9所示鉛芯的三維重建結(jié)果。

從上述重建結(jié)果發(fā)現(xiàn)，邊緣點(diǎn)中也存在少部分干擾點(diǎn)，使鉛芯的重建結(jié)果不夠理想。為了得到準(zhǔn)確的傾斜程度，需要去掉明顯的突變點(diǎn)。由于理論上大部分輪廓點(diǎn)的再現(xiàn)距離分布在同一平面上，故空間點(diǎn)到該平面的距離方差最小時(shí)，該平面可視為數(shù)據(jù)的主平面方向。如圖10所示，將三維點(diǎn)投影到y(tǒng)oz面上，在該平面利用最小二乘法對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)做直線擬合，可得到關(guān)鍵點(diǎn)所在直線的斜率，干擾點(diǎn)的取值由直線上的點(diǎn)插值得到。最后根據(jù)物理尺寸與像元大小之間的關(guān)系(1pixel=3.45μm)，將xoy面的像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為距離坐標(biāo)，可得到圖11所示消除誤差后鉛芯的三維重建結(jié)果。由擬合結(jié)果知，小波變換局部方差算子測(cè)得鉛芯與水平方向的夾角為9.55°，與真實(shí)傾角基本一致。而局部灰度方差算子測(cè)得鉛芯與水平方向的夾角為9.32°，存在較大的重建誤差。

圖9 鉛芯的三維重建結(jié)果。（a）小波變換局部方差算子的三維重建結(jié)果；（b）局部灰度方差算子的三維重建結(jié)果Fig.9 Three-dimensional reconstruction results of lead core.(a) Three-dimensional reconstruction results calculated by local variance operator of the wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction results calculated by local gray-scale variance operator

圖10 像素坐標(biāo)下鉛芯三維重建結(jié)果。（a）小波變換局部方差算子的三維重建結(jié)果；（b）局部灰度方差算子的三維重建結(jié)果Fig.10 Three-dimensional reconstruction results of the lead core in pixel coordinates.(a) Three-dimensional reconstruction results calculated by local variance operator of wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction result calculated by local gray-level variance operator

圖11 距離坐標(biāo)下鉛芯三維重建結(jié)果。（a）小波變換局部方差算子的三維重建結(jié)果；（b）局部灰度方差算子的三維重建結(jié)果Fig.11 Three-dimensional reconstruction results of the lead core in the distance coordinates.(a) Three-dimensional reconstruction result calculated by local variance operator of the wavelet transform; (b) three-dimensional reconstruction results calculated by local gray-level variance operator

4.2 微細(xì)銑刀位姿重建實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中待測(cè)銑刀與豎直方向之間的夾角為2.5°，如圖12（a）所示。使用圖4數(shù)字全息實(shí)驗(yàn)裝置獲得圖12（b）所示的銑刀數(shù)字全息圖，圖12（c）為記錄距離為21 mm處的菲涅爾衍射再現(xiàn)像。CMOS記錄區(qū)域的像素?cái)?shù)為1024×1024，為了提高計(jì)算效率，截取再現(xiàn)像中451×840像素大小作為計(jì)算區(qū)域。首先選擇再現(xiàn)距離區(qū)間為20.65～21.20 mm，以1 μm為距離間隔，等間隔重建551張?jiān)佻F(xiàn)像。在重建中選擇模擬實(shí)驗(yàn)中效果較好的小波變換局部方差算子進(jìn)行聚焦評(píng)價(jià)，重建過程與上述鉛芯重建相同。

圖12 (a)待測(cè)銑刀及其(b)數(shù)字全息圖和(c)再現(xiàn)像Fig.12 (a) Tested tool and its (b) digital hologram and (c)reconstruction image

觀察刀具再現(xiàn)像中低頻點(diǎn)的聚焦評(píng)價(jià)曲線，如圖13（a）所示，可以發(fā)現(xiàn)曲線單峰性不好，存在明顯的干擾峰值，容易帶來重建距離的誤判。圖13（b）所示為再現(xiàn)像中邊緣點(diǎn)的聚焦評(píng)價(jià)曲線，能得到準(zhǔn)確的重建距離。與模擬實(shí)驗(yàn)相同，在重建過程中舍去低頻點(diǎn)，即從再現(xiàn)像中提取刀具的邊緣點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)，僅對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行三維重建。

對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行三維重建后，通過干擾點(diǎn)去除和關(guān)鍵點(diǎn)擬合后，最后可獲得圖14所示銑刀的三維位姿。實(shí)測(cè)待測(cè)銑刀與豎直方向之間的夾角為2.43°，銑刀的三維重建誤差在0.1°以內(nèi)。

圖13 (a)銑刀再現(xiàn)像低頻點(diǎn)的聚焦評(píng)價(jià)曲線;(b)銑刀再現(xiàn)像邊緣點(diǎn)的聚焦評(píng)價(jià)曲線Fig.13 (a) Focus evaluation curve of the low-frequency point of the milling tool's reconstruction image; (b)focus evaluation curve of the edge point of the milling tool’s reconstruction image

圖14 銑刀三維位姿重構(gòu)結(jié)果Fig.14 Three-dimensional reconstruction results of the milling tool

5 結(jié) 論

針對(duì)現(xiàn)有對(duì)刀方法存在的不足，提出一種基于數(shù)字同軸全息成像技術(shù)的微細(xì)銑刀對(duì)刀方法。在對(duì)刀過程中，為了可視化觀察刀具在主軸上的傾斜狀態(tài)，提出了一種基于景深的刀具三維位姿重建方法。使用小波變換局部方差算子和局部灰度方差算子在模擬實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行分析，得到小波變換局部方差算子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加準(zhǔn)確。使用小波變換局部方差算子求出微細(xì)銑刀再現(xiàn)像中關(guān)鍵點(diǎn)的聚焦程度，然后分析聚焦程度，確定其對(duì)應(yīng)的軸向位置，實(shí)現(xiàn)了微細(xì)銑刀的三維位姿測(cè)量。最后利用最小二乘法進(jìn)行干擾點(diǎn)去除和關(guān)鍵點(diǎn)擬合后，對(duì)重建結(jié)果進(jìn)行了誤差分析與消除，實(shí)現(xiàn)微細(xì)銑刀三維重建誤差優(yōu)于0.1°。