魏培勇， 張社榮， 王梟華， 王 超

(1.天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350； 2.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350)

近年來，隨著恐怖主義、地區(qū)沖突加劇，制導(dǎo)導(dǎo)彈、炸彈等導(dǎo)致的爆炸襲擊風(fēng)險(xiǎn)不斷增加。作為水利樞紐的核心建筑物，水工大壩在極端荷載下一旦失事會(huì)對(duì)工程本身乃至大壩下游造成不可估量的損失。因此，研究各種爆炸荷載下大壩的損失機(jī)制及失效模式至關(guān)重要。作為一種特殊的混凝土材料，碾壓混凝土因其特殊的配合比和施工成型方式而廣泛應(yīng)用于重力壩和拱壩工程中[1]。為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)碾壓混凝土壩在爆炸等極端荷載下的損傷機(jī)理和失效模式，亟須建立考慮應(yīng)變率效應(yīng)的碾壓混凝土動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，合理評(píng)價(jià)其應(yīng)變率關(guān)系是進(jìn)行碾壓混凝土壩抗爆性能評(píng)價(jià)的首要任務(wù)。

研究表明，混凝土類材料力學(xué)性質(zhì)具有明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，由應(yīng)變率效應(yīng)引致的強(qiáng)度增強(qiáng)通常由動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子(dynamic increase factor，DIF)表征[2-4]，現(xiàn)今許多DIF經(jīng)驗(yàn)公式被用于工程設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)分析中[4-5]。作為一種混凝土材料，碾壓混凝土的動(dòng)態(tài)行為也呈現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率敏感性，前期已基于碾壓成型方式(初始損傷[6]、軟弱夾層[7]等)對(duì)碾壓混凝土動(dòng)態(tài)壓縮性能的影響進(jìn)行了大量研究。

然而，現(xiàn)有DIF公式之間存在較大的差異。除試驗(yàn)條件外，研究表明，慣性和端面摩擦約束導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)效應(yīng)是引起這種差異的重要原因[8-11]。同時(shí)，結(jié)構(gòu)效應(yīng)與試件尺寸密切相關(guān)，因此包括碾壓混凝土在內(nèi)的混凝土材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為呈現(xiàn)出與靜態(tài)荷載下不同的尺寸效應(yīng)[12-14]。在特定應(yīng)變率下，動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度隨試件尺寸增大而增強(qiáng)。大尺寸試件具有更顯著的應(yīng)變率敏感性，但較高應(yīng)變率下力學(xué)行為具有更明顯的離散性[14]。由此推斷，高應(yīng)變率荷載下的強(qiáng)度增強(qiáng)可歸因于材料應(yīng)變率效應(yīng)和結(jié)構(gòu)效應(yīng)。此外，混凝土碎塊分形特征可以用于解釋結(jié)構(gòu)效應(yīng)導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增量尺寸相關(guān)性[15]。

結(jié)構(gòu)效應(yīng)和真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)(即材料本身的應(yīng)變率效應(yīng))是引起混凝土類材料DIF增大的主要原因，直接采用分離式Hopkinson壓桿(split Hopkinson pressure bar，SHPB)試驗(yàn)獲得的DIF描述混凝土類材料必然會(huì)高估動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)情況，因此有必要從試驗(yàn)結(jié)果中剔除結(jié)構(gòu)效應(yīng)的影響，避免對(duì)應(yīng)變率效應(yīng)的高估[16-17]。為了克服這一局限性，學(xué)者通過數(shù)值模擬、試驗(yàn)和理論解析等方法對(duì)SHPB試驗(yàn)中慣性效應(yīng)進(jìn)行研究，其中部分研究試圖將慣性效應(yīng)引起的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增量與試驗(yàn)結(jié)果解耦。如，Hao等[9]通過數(shù)值模擬量化慣性效應(yīng)對(duì)DIF的貢獻(xiàn)；Lee等[16]進(jìn)行了混凝土SHPB試驗(yàn)研究，并基于線彈性理論提出了可描述材料真實(shí)應(yīng)變率敏感性的DIF公式；陳徐東等[18]對(duì)沖擊彎拉試驗(yàn)中的慣性力進(jìn)行了討論，并計(jì)算出了試件受到的慣性力。另一方面，試件與壓力桿間的端部摩擦約束也會(huì)導(dǎo)致混凝土動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)的高估，有關(guān)學(xué)者提出了端部摩擦約束與應(yīng)變率、摩擦系數(shù)、長(zhǎng)徑比之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系[10-11，17，19-20]。在此基礎(chǔ)上，將從SHPB試驗(yàn)得到的實(shí)測(cè)強(qiáng)度中消除了由橫向慣性效應(yīng)和端面摩擦效應(yīng)引起的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)量后，即可得到混凝土材料的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)，從而更精確地評(píng)估材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為。盡管諸多學(xué)者已對(duì)常態(tài)混凝土應(yīng)變率效應(yīng)開展了大量試驗(yàn)[21]和數(shù)值仿真[22]研究，但是作為一種特殊的混凝土材料，獨(dú)特的材料組分和成型方式使得碾壓混凝土力學(xué)性能與常態(tài)混凝土不盡相同，且其應(yīng)變率敏感性與常態(tài)混凝土存在一定差異[6-7]。

本文旨在研究消除結(jié)構(gòu)效應(yīng)(慣性效應(yīng)和端面摩擦效應(yīng))以獲得碾壓混凝土材料真實(shí)的應(yīng)變率效應(yīng)。為此，進(jìn)行了3種不同尺寸的碾壓混凝土SHPB試驗(yàn)，通過數(shù)值仿真、經(jīng)驗(yàn)公式及簡(jiǎn)化理論模型確定了慣性約束與端部摩擦約束引起的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)，然后將結(jié)構(gòu)效應(yīng)引起的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增量分別從SHPB試驗(yàn)獲得的DIF數(shù)據(jù)中消除，通過回歸分析得到碾壓混凝土的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)。

1 SHPB試驗(yàn)

1.1 原材料及試樣制備

水泥采用祥云P·MH42.5級(jí)中熱硅酸鹽水泥，滿足GB/T 200—2017《中熱硅酸鹽水泥、低熱硅酸鹽水泥》要求；粉煤灰采用貴州火焰Ⅱ級(jí)粉煤灰，滿足GB/T 1596—2017《用于水泥和混凝土中的粉煤灰》要求；水膠比為0.50，其中粉煤灰占膠凝材料質(zhì)量分?jǐn)?shù)的60%；粗骨料采用人工碎石，最大粒徑為19 mm，其原巖單軸抗壓強(qiáng)度為82.0 MPa；減水劑采用JM-Ⅱ型緩凝高效減水劑，減水率為24.5%；引氣劑采用HLAE型引氣劑，含氣量為5.4%。水泥、粉煤灰、水、砂、大石、中石、小石、減水劑和引氣劑的質(zhì)量比例為70∶106∶88∶672∶452∶452∶603∶1.408∶0.088。

碾壓混凝土成型時(shí)模擬了現(xiàn)場(chǎng)施工中分層碾壓施工工藝。使用DC-25C手持式振動(dòng)碾對(duì)碾壓混凝土拌合物進(jìn)行分層碾壓，層厚為10 cm，共計(jì)5層。成型后的碾壓混凝土在標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)條件下養(yǎng)護(hù)90 d，隨后經(jīng)過鉆芯取樣、切割打磨等流程最終得到3種不同尺寸(?50 mm×25 mm、?75mm×37.5 mm、?100 mm×50 mm)的碾壓混凝土試件。試件制備流程見圖1。需要注意的是，試件尺寸相較于骨料最大粒徑偏小，可能影響試件材料的均勻性，同時(shí)鉆芯、切割和打磨等制備流程會(huì)給試件表面帶來一定初始損傷，這些問題有可能影響SHPB沖擊試驗(yàn)結(jié)果的離散程度。

圖1 碾壓混凝土試樣制備流程示意圖Fig.1 The preparation procedures for different dimensional RCC specimens

1.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

采用3種不同壓桿直徑(50 mm、75 mm、100 mm)的SHPB裝置分別對(duì)不同尺寸的試件進(jìn)行沖擊壓縮試驗(yàn)。試驗(yàn)方案編號(hào)見表1。試驗(yàn)采用4種氣壓研究各尺寸試件動(dòng)態(tài)壓縮性能；通過脈沖整形技術(shù)修正入射波形，以確保近似恒定應(yīng)變率加載以及試樣中的應(yīng)力均勻性。同時(shí)，對(duì)碾壓混凝土進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)單軸壓縮試驗(yàn)以確定其單軸抗壓強(qiáng)度。

表1 碾壓混凝土試驗(yàn)方案編號(hào)

1.3 有效性驗(yàn)證

基于一維應(yīng)力波理論、平面假設(shè)和均勻性假設(shè)，試驗(yàn)可從入射桿和透射桿上的應(yīng)變片測(cè)得入射、反射、透射應(yīng)變脈沖。由式(1)～(3)計(jì)算試件的平均應(yīng)變?chǔ)?t)、應(yīng)力σ(t)和應(yīng)變率歷史，圖2(a)為試驗(yàn)中獲得的典型應(yīng)力時(shí)程關(guān)系曲線。

σ(t)=EbAb[εi(t)+εr(t)+εt(t)]/(2As)

(1)

(2)

(3)

式中：cb為壓力桿縱向彈性波速；Eb為壓力桿彈性模量；Ab為壓力桿橫截面面積，εi(t)為入射應(yīng)變脈沖；εr(t)為反射應(yīng)變脈沖；εt(t)為透射應(yīng)變脈沖；As為試件橫截面積；ls為試件長(zhǎng)度。

圖2(c)(d)為不同尺寸試件的典型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線及應(yīng)變率-應(yīng)變曲線。試件前、后端面應(yīng)力分別為

σf(t)=AbEb[εi(t)+εr(t)]/Asσr(t)=AbEbεt(t)/As

(4)

圖2(c)(d)中各尺寸試件前后端面應(yīng)力-應(yīng)變曲線很接近(即εi(t)+εr(t)≈εt(t))，可認(rèn)為試驗(yàn)中試件內(nèi)部應(yīng)力滿足均勻性假設(shè)，因此試驗(yàn)有效。對(duì)式(1)～(3)進(jìn)行簡(jiǎn)化并用于碾壓混凝土動(dòng)態(tài)力學(xué)特性計(jì)算。另一方面，應(yīng)變率-應(yīng)變曲線均存在一個(gè)相對(duì)平穩(wěn)的階段，說明通過合理運(yùn)用脈沖整形技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)恒定應(yīng)變率加載。

2 RCC動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)

研究表明，混凝土類材料的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度受結(jié)構(gòu)效應(yīng)的影響，同時(shí)，大尺寸試件表現(xiàn)出更明顯的應(yīng)變率敏感性，與尺寸相關(guān)的強(qiáng)度增強(qiáng)呈現(xiàn)出非線性的特點(diǎn)[14]，然而尺寸相關(guān)的結(jié)構(gòu)效應(yīng)不能準(zhǔn)確反映真實(shí)的材料應(yīng)變率效應(yīng)。表2為不同尺寸試件在近似應(yīng)變率下(約70/s)的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度，其中碾壓混凝土試件(?100 mm×200 mm)單軸抗壓強(qiáng)度為10.17 MPa。由表2可知，相同應(yīng)變率下碾壓混凝土試件的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度均值隨試件尺寸的增大而明顯增強(qiáng)。

表2 相近應(yīng)變率下不同尺寸RCC試件動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度

圖3(a)更直觀地展示了結(jié)構(gòu)效應(yīng)導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)。碾壓混凝土動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度具有明顯的應(yīng)變率敏感性和尺寸效應(yīng)，此外動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增量也隨應(yīng)變率增長(zhǎng)而變大。將包含結(jié)構(gòu)效應(yīng)影響的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)定義為表觀DIF，即SHPB試驗(yàn)中獲得的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度與單軸抗壓強(qiáng)度的比值。圖3(b)為不同尺寸試件表觀DIF與應(yīng)變率之間的關(guān)系。由圖3可知，采用表觀DIF進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析很可能會(huì)過高估計(jì)其動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度，進(jìn)而得到不保守的結(jié)果。此外，較高的強(qiáng)度變化幅度有可能導(dǎo)致應(yīng)變率關(guān)系的錯(cuò)誤評(píng)估。因此，有必要將結(jié)構(gòu)效應(yīng)從表觀DIF中消除從而得到碾壓混凝土的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)。

圖3 不同尺寸RCC寸試件SHPB試驗(yàn)結(jié)果Fig.3 SHPB test results for different dimensional RCC specimens

3 真實(shí)應(yīng)變率推導(dǎo)

研究表明，混凝土類材料的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)主要由橫向慣性效應(yīng)、端面摩擦效應(yīng)和真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)引起。如果直接使用由SHPB試驗(yàn)得到的DIF數(shù)據(jù)，相應(yīng)的混凝土動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度會(huì)被高估。假定真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)、橫向慣性效應(yīng)和端面摩擦效應(yīng)互不相關(guān)[23-24]，則材料的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)表達(dá)見式(4)，真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)可通過數(shù)值模擬等方法消除端面摩擦和橫向慣性效應(yīng)的貢獻(xiàn)得到。

(5)

3.1 SHPB試驗(yàn)數(shù)值模擬方法

為研究橫向慣性效應(yīng)對(duì)SHPB試驗(yàn)的影響，建立如圖4(a)所示的簡(jiǎn)化均質(zhì)數(shù)值仿真模型以模擬SHPB試驗(yàn)，混凝土試件和桿的網(wǎng)格尺寸分別控制在0.5 mm和3.0 mm。此外，采用關(guān)鍵字CONTACT_SURFACE_TO_SURFACE模擬試件和桿之間的摩擦。

圖4 數(shù)值模型及驗(yàn)證Fig.4 Numerical model and verification

選用KCC本構(gòu)(MAT_072R3)模擬碾壓混凝土動(dòng)態(tài)荷載下的力學(xué)響應(yīng)。對(duì)于KCC本構(gòu)，僅需輸入關(guān)鍵參數(shù)(例ρs=2 230 kg/m3，fc=11.13 MPa)，剩余參數(shù)可自動(dòng)生成。入射桿和透射桿采用均質(zhì)線彈性本構(gòu)(MAT_1)，數(shù)值模擬中各材料本構(gòu)及其參數(shù)見表3。

表3 數(shù)值仿真中材料本構(gòu)及其參數(shù)

在入射桿前端面施加SHPB試驗(yàn)測(cè)得的半正弦應(yīng)力波形，采用關(guān)鍵字MAT_ADD_EROSION中的最大失效主應(yīng)變控制RCC單元失效與刪除，數(shù)值模型其他設(shè)置參考文獻(xiàn)[25]。如圖4(b)(c)所示，相同應(yīng)變率下數(shù)值模擬結(jié)果與SHPB試驗(yàn)得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線吻合良好，驗(yàn)證了數(shù)值模型的合理性。

3.2 表觀DIF數(shù)據(jù)解耦分析

3.2.1 端面摩擦效應(yīng)對(duì)DIF值的影響

試件-桿接觸面的端面摩擦?xí)谝欢ǔ潭壬舷拗圃嚰臋M向變形，進(jìn)而影響SHPB的試驗(yàn)結(jié)果。因此，端面摩擦引起的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)不可忽視。Hao等[10-11]對(duì)SHPB試驗(yàn)進(jìn)行了細(xì)觀仿真，并研究了端面摩擦等因素對(duì)動(dòng)態(tài)力學(xué)性能的影響，結(jié)果表明端面摩擦引起的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度受長(zhǎng)細(xì)比、摩擦系數(shù)及應(yīng)變率的影響。此外，為了量化端面摩擦對(duì)動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度的影響提出了相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式：

(6)

Δfμ=(1-χ)fd

(7)

式中：Iμ>0為考慮端面摩擦效應(yīng)的DIF值；Iμ=0為不考慮端面摩擦效應(yīng)的DIF值；χ為Iμ>0和Iμ=0的比值。

圖5 不同尺寸試件SHPB試驗(yàn)結(jié)果Fig.5 SHPB test results for different dimensional RCC specimens

3.2.2 橫向慣性效應(yīng)對(duì)DIF值影響

為了準(zhǔn)確評(píng)估碾壓混凝土的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)，消除表觀DIF中慣性效應(yīng)的影響尤為重要。從SHPB試驗(yàn)中獲得的表觀動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子可表述如下：

Is=fd/fc=(fc+Δfi+Δfμ)/fc

(8)

式中：Is為橫向慣性效應(yīng)和端面摩擦效應(yīng)引起的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增長(zhǎng)因子。

Δfi=(Is-1)fc-Δfμ

(9)

定義慣性效應(yīng)貢獻(xiàn)率為(fi/(Iafc))，數(shù)值模擬獲得的慣性效應(yīng)貢獻(xiàn)率與試件尺寸、應(yīng)變率間的關(guān)系曲線見圖6(a)。相應(yīng)地，圖6(b)為不同尺寸試件不同應(yīng)變率荷載作用下因慣性效應(yīng)引起的強(qiáng)度增量。由圖6可知，碾壓混凝土動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度的慣性效應(yīng)具有應(yīng)變率敏感性和尺寸相關(guān)性，更高應(yīng)變率或更大試件尺寸會(huì)導(dǎo)致慣性效應(yīng)的增強(qiáng)。

圖6 慣性效應(yīng)引起的強(qiáng)度增量Fig.6 Strength enhancement from inertial effect

3.3 碾壓混凝土真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)

由SHPB試驗(yàn)直接獲得的DIF數(shù)據(jù)是橫向慣性效應(yīng)、端面摩擦效應(yīng)和材料真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)共同作用的結(jié)果。將量化的端面摩擦效應(yīng)和橫向慣性效應(yīng)導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增量從SHPB試驗(yàn)直接獲得的DIF數(shù)據(jù)中消除后得到真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)：

(10)

根據(jù)式(10)可得反映碾壓混凝土真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)的修正后DIF數(shù)據(jù)，如圖7(a)所示。式(11)廣泛用于描述巖石、混凝土等準(zhǔn)脆性材料的應(yīng)變率效應(yīng)[3]，本文采用式(11)擬合真實(shí)動(dòng)態(tài)強(qiáng)度增強(qiáng)與應(yīng)變率之間的關(guān)系:

(11)

圖7 碾壓混凝土真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)Fig.7 True strain rate effect of RCC

采用最小二乘法對(duì)圖7(a)中修正的DIF數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，確定式(11)中參數(shù)k0=0.015，k1=0.017。圖7(a)對(duì)本文提出的碾壓混凝土真實(shí)應(yīng)變率關(guān)系與現(xiàn)有經(jīng)典模型[5，26-29]進(jìn)行了比較。由圖7可知，盡管由于碾壓混凝土成型工藝導(dǎo)致修正后的DIF數(shù)據(jù)仍具有一定的離散性，本文提出的碾壓混凝土真實(shí)應(yīng)變率關(guān)系曲線與Fib規(guī)范[26]和HAO等[5]提出的DIF關(guān)系較為接近，進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)果的合理性。

(12)

(13)

式中：k2為橫向慣性效應(yīng)的率相關(guān)參數(shù)；k3為軸向慣性效應(yīng)的率相關(guān)參數(shù)。

將式(5)和式(12)代入式(10)中，非負(fù)邊界條件下可采用最小二乘法擬合得到方程各參數(shù)：k1=0.015 0，k2=0.263 3，k3=0.065 8。同時(shí)，為保證應(yīng)變率效應(yīng)的連續(xù)性，取k0=5.177×10-3。通過消除慣性約束和端面摩擦約束帶來的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增強(qiáng)，可以由半理論公式推導(dǎo)出碾壓混凝土的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)。由圖7(a)可知，與數(shù)值模擬擬合曲線相比，半理論公式推導(dǎo)得到的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)相對(duì)較弱，但是高應(yīng)變率下二者均落在Fib規(guī)范[26]和Hao等[5]提出的應(yīng)變率效應(yīng)范圍內(nèi)。

4 結(jié) 論

a.包括慣性約束和端面摩擦約束在內(nèi)的結(jié)構(gòu)效應(yīng)顯著影響碾壓混凝土的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度。試驗(yàn)獲得的表觀DIF具有明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，同時(shí)高應(yīng)變率效應(yīng)下試驗(yàn)數(shù)據(jù)離散性較大。為了獲得碾壓混凝土材料的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)，需要消除慣性和端面摩擦約束引起的抗壓強(qiáng)度增量。

b.通過經(jīng)驗(yàn)公式擬合和數(shù)值仿真模擬，量化了慣性和端面摩擦約束對(duì)碾壓混凝土動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度的影響，得到了碾壓混凝土真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)的確定方法。

c.通過對(duì)修正后的DIF數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，擬合得到了碾壓混凝土材料的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)公式。將本文得到的碾壓混凝土真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)結(jié)果與文獻(xiàn)中提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行比較，結(jié)果表明，碾壓混凝土的真實(shí)應(yīng)變率效應(yīng)與Fib規(guī)范[26]和Hao等[5]提出的模型比較接近。