祝明昊 孔凡平

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京 100076）

0 引言

結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)是表征結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的關(guān)鍵。在航天領(lǐng)域，飛行器結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)至關(guān)重要，是建立、修改和優(yōu)化動(dòng)力學(xué)模型，動(dòng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)，以及控制系統(tǒng)穩(wěn)定型設(shè)計(jì)的重要參數(shù)。對(duì)于大型航天運(yùn)載器，如運(yùn)載火箭、導(dǎo)彈武器等，主要采用多點(diǎn)穩(wěn)態(tài)正弦調(diào)諧模態(tài)試驗(yàn)來辨識(shí)模態(tài)參數(shù)。

多點(diǎn)穩(wěn)態(tài)正弦調(diào)諧模態(tài)試驗(yàn)，美國(guó)稱為地面振動(dòng)試驗(yàn)（GVT），歐洲稱為地面共振試驗(yàn)，其精度高，誤差小，已經(jīng)成為大型復(fù)雜航空航天結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)的常用方法之一，美國(guó)的Ares I-X運(yùn)載火箭[1]、Galileo號(hào)木星探測(cè)器[2]等航天器的模態(tài)試驗(yàn)均采用了此方法。二十世紀(jì)，Kennedy和Pancu首先闡明了振動(dòng)響應(yīng)向量的實(shí)虛部概念并應(yīng)用于振動(dòng)試驗(yàn)，模態(tài)物理分離技術(shù)初步發(fā)展。R.C.Lewis和D.I.Wrisley提出了用多點(diǎn)激振的相位一致性判別進(jìn)行模態(tài)分離，建立了多點(diǎn)穩(wěn)態(tài)正弦調(diào)諧模態(tài)試驗(yàn)的基礎(chǔ)[3]，在選定的模態(tài)頻率下，通過調(diào)節(jié)激振力來補(bǔ)償結(jié)構(gòu)的阻尼力，集中正弦激振的能量激出單一的模態(tài)，使結(jié)構(gòu)在多個(gè)激振器同時(shí)激勵(lì)下達(dá)到相位共振狀態(tài)，得到結(jié)構(gòu)的無阻尼純模態(tài)[4]。目前主要的調(diào)節(jié)激振力的方法可分為經(jīng)典調(diào)力法、最佳力分布計(jì)算法和指示函數(shù)法三大類。指示函數(shù)法發(fā)展迅速，此方法依據(jù)相位共振原理，將結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)的某一函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)來指導(dǎo)調(diào)節(jié)激振力[5]。模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法主要有導(dǎo)納圓擬合法、復(fù)功率法、半功率法和對(duì)數(shù)衰減法等。

在調(diào)諧試驗(yàn)中，由于實(shí)際結(jié)構(gòu)無法完全達(dá)到相位共振，導(dǎo)致模態(tài)純度不夠，實(shí)測(cè)的模態(tài)參數(shù)存在一定的誤差。針對(duì)模態(tài)純度的表示方法，法國(guó)曾在多點(diǎn)激振系統(tǒng)中采用總體相位角的方法[6]，對(duì)每一測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的相位角進(jìn)行總體加權(quán)，以此來表示模態(tài)純度；西德的宇航模態(tài)試驗(yàn)中采用模態(tài)指示函數(shù)（MIF），以測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的實(shí)部加權(quán)求和與幅值之比最小的原理來描述模態(tài)純度；美國(guó)航天飛機(jī)的地面垂直振動(dòng)試驗(yàn)中采用了模態(tài)純度比（MAP）的概念[7]。在我國(guó)的航天行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)中[8]，規(guī)定了以MIF作為參考的誤差評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)（認(rèn)為MIF值大于0.9為純共振，0.7～0.9為共振較好，小于0.7為共振較差），相位散布圖法（加速度、位移、應(yīng)變測(cè)點(diǎn)落在虛軸上，速度測(cè)點(diǎn)落在實(shí)軸上），以及在同樣試驗(yàn)條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)獲得的模態(tài)參數(shù)的一致性進(jìn)行評(píng)定。但在目前的研究中尚未找到對(duì)實(shí)測(cè)模態(tài)參數(shù)具體誤差值的量化評(píng)估方法。

1 頻率誤差分析的理論基礎(chǔ)

1.1 多點(diǎn)穩(wěn)態(tài)正弦調(diào)諧模態(tài)試驗(yàn)

辨識(shí)火箭/導(dǎo)彈的模態(tài)參數(shù)需要進(jìn)行全箭/彈模態(tài)試驗(yàn)[9]，主要采用多點(diǎn)穩(wěn)態(tài)正弦調(diào)諧模態(tài)試驗(yàn)。試驗(yàn)一般在全箭振動(dòng)塔內(nèi)進(jìn)行，采用彈簧繩懸吊的支撐方式模擬自由邊界，要求支撐系統(tǒng)的固有頻率盡可能小于被測(cè)結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)頻率。試驗(yàn)中多臺(tái)激振器同時(shí)激振，并根據(jù)激振器的位置控制激振力的相位為同相或反相，控制激振頻率在特定的某階模態(tài)頻率附近，小幅度調(diào)節(jié)激振頻率，盡可能達(dá)到相位共振狀態(tài)。試驗(yàn)中當(dāng)MIF值達(dá)到極大值時(shí)，此時(shí)的激振頻率即認(rèn)為是該階模態(tài)頻率。

對(duì)于彈性阻尼n自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

因此，向量{x}可以表示為代入式（1）可得

由實(shí)部虛部分別相等，可得

滿足 [K] -ω2[M]= {0}的ωr為第r階模態(tài)頻率值，代入可得第r階模態(tài)振型為{φr} ，進(jìn)而得到滿足第r階模態(tài)相位共振條件的激振力為

試驗(yàn)中通常用模態(tài)指示函數(shù)（MIF）作為所激勵(lì)模態(tài)純度的參考

MIF值是由加速度響應(yīng)的幅值和相位決定的。當(dāng)某測(cè)點(diǎn)加速度響應(yīng)超前參考激振力90度時(shí)，該測(cè)點(diǎn)達(dá)到相位共振。若結(jié)構(gòu)上所有的測(cè)點(diǎn)皆滿足上述條件時(shí)，結(jié)構(gòu)以純模態(tài)形式振動(dòng)，此時(shí)的MIF值為1，這是一種理想情況。在試驗(yàn)中，MIF值總是小于1的，也就是無法完全達(dá)到相位共振，這是由多方面因素造成的，主要包括激振力無法完全平衡阻尼力，結(jié)構(gòu)的非線性影響等等。MIF值也作為模態(tài)參數(shù)精確程度的一個(gè)參考標(biāo)準(zhǔn)[12]。

1.2 頻率誤差的分析原理

對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，加速度響應(yīng)計(jì)算公式如下[13]

其中，ω為實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率，ωr為第r階模

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的疊加，各階模態(tài)的貢獻(xiàn)不同。在多點(diǎn)穩(wěn)態(tài)正弦調(diào)諧模態(tài)試驗(yàn)中，調(diào)諧第r階模態(tài)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)為第r階模態(tài)和剩余模態(tài)（第1～r-1階模態(tài)和第r+ 1 ～N階模態(tài)）的疊加。當(dāng)調(diào)諧滿足要求時(shí)，MIF達(dá)到一個(gè)較高值，此時(shí)響應(yīng)中第r階模態(tài)占據(jù)主導(dǎo)地位，剩余模態(tài)的貢獻(xiàn)為一個(gè)小量，忽略剩余模態(tài)的影響，得到加速度響應(yīng)計(jì)算公式為：

代入MIF 表達(dá)式，并化簡(jiǎn)得 第i點(diǎn)的加速度響應(yīng)可以表示為

定義頻率相對(duì)誤差（以下簡(jiǎn)稱為頻率誤差）為

得到MIF與頻率誤差和阻尼比的顯式解析關(guān)系式，也可表示為，即頻率誤差只與MIF值和第r階模態(tài)模態(tài)阻尼比有關(guān)。

2 頻率誤差的分析方法

2.1 剩余模態(tài)影響小的情況

剩余模態(tài)影響小的情況如圖1所示。

圖1 剩余模態(tài)影響較小的頻響曲線 Fig. 1 Residual modes have less effect on the frequency response curve

調(diào)諧第r階模態(tài)，當(dāng)MIF值足夠高時(shí)，在分析第r階模態(tài)時(shí)可以忽略剩余模態(tài)的影響，頻率誤差滿足上述的MIF值解析關(guān)系式。

將MIF值隨頻率誤差和阻尼比的變化關(guān)系繪成曲面圖如圖2所示。

圖2 “MIF—頻率誤差、阻尼比”曲面 Fig. 2 "MIF - Frequency error, Damping ratio" surface

分別取不同阻尼比，得到MIF—η曲線，如圖3所示（從內(nèi)到外，，阻尼比分別為0.005、0.008、0.01、0.03、0.065、0.1、0.5）。

圖3 “MIF—頻率誤差”曲線 Fig..3 "MIF-Frequency Error" curve

分別取不同的頻率誤差，觀察MIF值隨阻尼比的變化規(guī)律。在同一個(gè)頻率誤差下，阻尼比越大，MIF值越大，如圖4所示（從左至右，頻率誤差分別為0.5%，1%，2%，3%，5%，10%）。在其中取部分點(diǎn)寫入表1。

表1 各阻尼比下，各誤差點(diǎn)的MIF理論值 Table 1 MIF theoretical value of each error point at each damping ratio

圖4 “MIF—阻尼比”曲線 Fig.4 "MIF - damping ratio" curve

2.2 剩余模態(tài)影響大的情況

圖5所示是剩余模態(tài)影響大的情況的頻響曲線。此時(shí)，剩余模態(tài)的的貢獻(xiàn)產(chǎn)生影響，第i點(diǎn)的加速度響應(yīng)，如式（11）所示。

圖5 剩余模態(tài)影響較大的頻響曲線 Fig.5 Residual modal influences the frequency response curve

式中， O（ Res）為剩余模態(tài)的影響，實(shí)際的MIF值應(yīng)包含剩余模態(tài)的影響

針對(duì)不同剩余模態(tài)的截?cái)嘤绊?，需要建立不同阻尼比下的頻率誤差與MIF值之間的關(guān)系。

3 八自由度系統(tǒng)頻率誤差的仿真分析

考慮8自由度離散“質(zhì)量—阻尼—彈簧”系統(tǒng)，兩端固定，對(duì)其第一階模態(tài)進(jìn)行仿真。質(zhì)量塊的質(zhì)量為m，彈簧的的剛度為k，阻尼系數(shù)為c。如圖6所示

圖6 8自由度系統(tǒng)模型 Fig.6 eight degrees of freedom system model

振動(dòng)微分方程為

運(yùn)用狀態(tài)空間法，設(shè)狀態(tài)量

代入狀態(tài)方程，輸出量為加速度響應(yīng)

式中，A、B 、C、D矩陣分別為

設(shè)置質(zhì)量m=1，剛度k=100，則系統(tǒng)的第一階模態(tài)頻率為ω1=3.4729635(rad/s)，第一階模態(tài)振型為

激振力的頻率以第一階模態(tài)頻率 1ω為參考，引入適量誤差，分析在不同頻率誤差下MIF值的變化規(guī)律。取不同的阻尼比，計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)代入阻尼矩陣。仿真得到8個(gè)測(cè)點(diǎn)的加速度響應(yīng)的時(shí)域曲線，分別取各測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)段數(shù)據(jù)，用正弦曲線進(jìn)行曲線擬合，得到各個(gè)測(cè)點(diǎn)的幅值和相位數(shù)據(jù)，代入MIF值表達(dá)式，計(jì)算MIF值，如表2～表4所示。

表2 各誤差點(diǎn)的MIF仿真值（8點(diǎn)激振） Table 2 MIF simulation value of each error point (8-point excitation)

表4 各誤差點(diǎn)的MIF仿真值（2點(diǎn)激振） Table 4 MIF simulation value of each error point)

針對(duì)第一階模態(tài)，分別取阻尼比為0.005、0.01和0.065，激振頻率 Tω分別取為 1(15%)ω- 、(1- 2%)ω1、 (1- 1 %)ω1、 (1- 0.5%)ω1、ω1、(1+ 0.5%)ω1、(1 +1 %)ω1、(1 + 2%)ω1、(1 + 5%)ω1，根據(jù)激勵(lì)點(diǎn)數(shù)量和位置的不同，分為以下三種情況：1）在8個(gè)點(diǎn)全部施加激勵(lì)；2）在4個(gè)點(diǎn)（1、3、5、7）施加激勵(lì)；3）在2個(gè)點(diǎn)（1、8）施加激勵(lì)。

表3 各誤差點(diǎn)的MIF仿真值（4點(diǎn)激振） Table 3 MIF simulation value of each error point

對(duì)比仿真值與理論曲線，如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 MIF仿真值與理論值對(duì)比（8點(diǎn)激振） Fig.7 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (8-point excitation)

圖8 MIF仿真值與理論值對(duì)比（4點(diǎn)激振） Fig.8 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (4-point excitation)

圖9 MIF仿真值與理論值對(duì)比（2點(diǎn)激振） Fig.9 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (two-point excitation)

在圖10中，橫坐標(biāo)為頻率誤差，縱坐標(biāo)為MIF仿真值（包含剩余模態(tài)的影響）與MIF理論值（不包含剩余模態(tài)的影響）的偏差。由圖10可知，仿真值與理論值基本吻合。在頻率誤差較小時(shí)，模態(tài)純度較高，剩余模態(tài)影響較小，仿真值與理論值吻合程度很好。在頻率誤差增大時(shí)，剩余模態(tài)的影響也隨之增大，在大阻尼比情況下更容易看出這個(gè)微小影響。

圖10 三種阻尼比下MIF的仿真值與理論值的誤差曲線 Fig.10 Under three damping ratios, simulation values of MIF and the theoretical values of MIF

4 結(jié)論與展望

本文以多點(diǎn)穩(wěn)態(tài)正弦調(diào)諧模態(tài)試驗(yàn)和模態(tài)純度指示函數(shù)為基礎(chǔ)，建立了頻率誤差分析原理，提出了頻率誤差分析方法。運(yùn)用狀態(tài)空間法仿真八自由度系統(tǒng)，頻率誤差的仿真值與理論曲線一致，表明了頻率誤差分析方法的可行性。下一步開展針對(duì)連續(xù)彈性系統(tǒng)的研究，進(jìn)行頻率誤差的分析與仿真，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。