周福珍，唐新豐，石義芳，彭冬亮*，郭云飛

(1.杭州電子科技大學(xué) 自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018； 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

多目標(biāo)跟蹤一直是目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的研究熱點之一，隨著現(xiàn)代武器戰(zhàn)術(shù)性能提高以及電子干擾技術(shù)發(fā)展，多目標(biāo)跟蹤技術(shù)在戰(zhàn)場態(tài)勢感知、空中交通管制等多個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-4]。在實際的多目標(biāo)跟蹤應(yīng)用中，跟蹤系統(tǒng)常常面臨雜波干擾、目標(biāo)漏檢復(fù)雜環(huán)境的挑戰(zhàn)，不僅需要估計目標(biāo)的動力學(xué)狀態(tài)，同時還需要對大量身份未知的航跡進行自動管理，包括目標(biāo)航跡的起始和維持、虛假航跡的識別和剔除[5]。具備航跡自動管理能力的多目標(biāo)跟蹤被統(tǒng)稱為多目標(biāo)自動跟蹤。本文的主要工作正是基于復(fù)雜環(huán)境下的多目標(biāo)自動跟蹤框架進行。

復(fù)雜環(huán)境多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中常常面臨雜波干擾，測量信息可能來源于不同目標(biāo)等測量來源不確定性問題?；跀?shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的多目標(biāo)跟蹤被大量研究并廣泛應(yīng)用于實際的跟蹤系統(tǒng)中。綜合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(IPDA)[6-8]提出目標(biāo)存在性作為航跡評價指標(biāo)實現(xiàn)單目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)下的目標(biāo)自動跟蹤。聯(lián)合綜合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(JIPDA)[9-11]在IPDA的基礎(chǔ)上提出聯(lián)合可行性事件實現(xiàn)多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)下目標(biāo)自動跟蹤。線性多目標(biāo)綜合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法[12]針對JIPDA方法計算量上的缺陷提出調(diào)制雜波密度方法降低計算量。

在上述這些多目標(biāo)自動跟蹤算法中，通常假設(shè)雜波測量個數(shù)在時間上服從泊松分布，雜波測量在空間上服從均勻分布。雜波密度作為數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的一個重要參數(shù)。在實際的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，需要針對空間分布未知、非均勻且時變的雜波密度進行精確估計。雜波密度估計方法可分為單幀雜波密度估計方法和多幀雜波密度估計方法。多幀雜波密度估計方法[13-14]利用多幀歷史測量信息估計當(dāng)前幀測量的雜波密度，能有效降低目標(biāo)測量對雜波密度估計的影響。單幀雜波密度估計方法可以分為基于航跡和基于測量集2類?；诤桔E的傳統(tǒng)雜波密度估計方法[15]提出利用門限內(nèi)測量的平均雜波個數(shù)與門限超球體體積的比值計算雜波密度但容易導(dǎo)致估計結(jié)果不穩(wěn)定?；诳臻g稀疏度的雜波密度估計(Spatial Clutter Measurement Density Estimator,SCMDE)方法[16-18]以待估點為中心創(chuàng)建一個超球體，并假設(shè)超球體內(nèi)所有測量均為雜波測量，且在超球體內(nèi)服從均勻分布，最后利用超球體體積與超球體內(nèi)測量個數(shù)的比值，估計待估點的雜波稀疏度。該方法中定義雜波稀疏度是雜波密度的倒數(shù)。在雜波未知、非均勻且時變的單目標(biāo)自動跟蹤場景下，SCMDE是無偏的雜波密度估計方法。但在多目標(biāo)尤其是在密集多目標(biāo)自動跟蹤場景中，SCMDE的雜波密度估計正確率急劇下降。這是因為在該場景下SCMDE假設(shè)不成立(超球體內(nèi)的測量都是雜波測量)，超球體內(nèi)包含的目標(biāo)測量會直接導(dǎo)致雜波密度估計結(jié)果偏大，繼而使航跡管理性能急劇下降。

針對SCMDE方法在多目標(biāo)自動跟蹤場景下雜波密度估計正確率急劇下降的問題，提出了一種基于SCMDE改進(Extended SCMDE，ESCMDE)雜波密度在線估計方法。通過計算以待估點為中心的超球體內(nèi)測量來源于雜波的概率估計超球體內(nèi)真實的雜波個數(shù)，消除超球體內(nèi)目標(biāo)測量對雜波密度估計的偏差，提升復(fù)雜環(huán)境下多目標(biāo)自動跟蹤的航跡管理性能。

1 問題描述

1.1 目標(biāo)模型

假設(shè)監(jiān)視區(qū)域內(nèi)目標(biāo)隨機出現(xiàn)和隨機消失，即監(jiān)視區(qū)域內(nèi)目標(biāo)隨機存在。根據(jù)目標(biāo)隨機存在建立目標(biāo)存在概率的時域演變模型為：

(1)

假設(shè)目標(biāo)在監(jiān)視區(qū)域內(nèi)做近似勻速直線運動并在監(jiān)視區(qū)域建立二維笛卡爾坐標(biāo)系，則目標(biāo)動力學(xué)狀態(tài)時域演變模型如下：

(2)

(3)

(4)

式中，I2為2×2的單位矩陣；O2為2×2的零矩陣。ωk為過程噪聲，通常假設(shè)為加性高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Q，且有：

(5)

式中，q為功率譜密度；T為傳感器采樣間隔。

1.2 測量模型

假設(shè)傳感器位于二維笛卡爾坐標(biāo)系原點，傳感器獲取的測量形式是目標(biāo)在二維笛卡爾坐標(biāo)系中x和y方向的位置信息。Zk為tk時刻傳感器產(chǎn)生的測量集合，zk,i為測量集合中第i個測量。

1.2.1 目標(biāo)測量模型

傳感器以一定的檢測概率PD檢測到目標(biāo)，當(dāng)zk,i是目標(biāo)測量，則有：

zk,i=Hxk+υk，

(6)

式中，H表示觀測矩陣，且有：

(7)

υk為傳感器的觀測噪聲，通常假設(shè)為加性高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣記為R。

1.2.2 雜波測量模型

傳感器在tk時刻獲取的測量集合中，雜波測量個數(shù)在時間上服從泊松分布：

(8)

式中，mk為tk時刻雜波個數(shù)；λV為監(jiān)視空間V內(nèi)雜波平均個數(shù)，λ為監(jiān)視空間V內(nèi)的平均雜波密度。

本文要解決的問題是在多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，利用當(dāng)前測量集合Zk，對空間分布未知、非均勻且時變的雜波測量進行在線雜波密度估計，并將雜波密度估計結(jié)果嵌入相應(yīng)的多目標(biāo)自動跟蹤算法，提高航跡管理性能。

2 理論雜波密度計算方法

針對已知雜波的空間分布概率密度函數(shù)，推理出測量空間上任意位置的理論雜波密度值。假設(shè)測量空間上任意位置的真實雜波密度值等價于理論雜波密度值。

假設(shè)測量空間上存在N個雜波測量，雜波測量相互獨立，雜波空間分布概率密度函數(shù)為p(z)，測量空間上點z0的理論雜波密度為：

(9)

雜波測量落入ΔV區(qū)域的概率為：

(10)

根據(jù)二項式分布原理，N個雜波測量落入ΔV區(qū)域的期望個數(shù)為：

(11)

聯(lián)立式(9)和式(11)，則有：

ρ(z0)=Np(z0)。

(12)

3 改進的雜波密度自適應(yīng)估計方法

3.1 基于SCMDE的雜波密度估計方法

SCMDE是一種基于單幀測量的雜波密度估計方法，該方法以待估點為中心創(chuàng)建一個超球體，并假設(shè)超球體內(nèi)所有測量均為雜波測量并且在超球體內(nèi)服從均勻分布，直接利用超球體的體積與超球體內(nèi)測量個數(shù)的比值估計雜波稀疏度。該方法中定義雜波稀疏度是雜波密度的倒數(shù)。SCMDE方法僅利用當(dāng)前幀測量數(shù)據(jù)可對空間分布未知、非均勻且時變的雜波密度進行在線估計，估計精度和實時性好且獨立于跟蹤算法。

(13)

(14)

基于SCMDE的雜波密度估計方法，本文分別定量分析了SCMDE在單目標(biāo)和多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中的雜波密度估計偏差，假設(shè)待估點的雜波密度已知且為λ。

(1) 場景1：單目標(biāo)

(15)

則n階SCMDE稀疏度均值和方差分別為：

(16)

(2) 場景2：多目標(biāo)

在多目標(biāo)自動跟蹤場景中，尤其是在密集多目標(biāo)自動跟蹤場景下，SCMDE方法中假設(shè)超球體內(nèi)所有測量均勻雜波測量的假設(shè)往往不成立。當(dāng)SCMDE方法創(chuàng)建的超球體內(nèi)包含目標(biāo)測量時，會導(dǎo)致稀疏度估計值偏小，即雜波密度估計偏大。為了簡便，僅考慮監(jiān)視區(qū)域內(nèi)有2個目標(biāo)，定量分析SCMDE方法的雜波密度估計偏差。

當(dāng)待估點是目標(biāo)測量時，SCMDE雜波稀疏度估計均值為：

(17)

當(dāng)待估點是雜波測量時，SCMDE雜波稀疏度估計均值為：

(18)

3.2 基于SCMDE改進的雜波密度估計方法

針對SCMDE方法在多目標(biāo)自動跟蹤場景下雜波密度估計存在偏差，提出了基于SCMDE改進的雜波密度估計方法，通過計算以待估點為中心的超球體內(nèi)測量來源于雜波的概率估計超球體內(nèi)真實的雜波測量個數(shù)，來降低超球體內(nèi)可能包含的目標(biāo)測量對雜波密度估計的偏差，從而提高雜波密度估計精度。步驟如下：

步驟1：航跡波門簇劃分

基于最優(yōu)多目標(biāo)自動跟蹤算法的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)考慮所有的聯(lián)合可行事件，但聯(lián)合可行性事件的總數(shù)隨著航跡數(shù)和預(yù)選觀測的增加呈指數(shù)爆炸增長。出于計算量考慮，可將航跡劃分在幾個互斥的波門簇中。波門簇是一組航跡和它們的預(yù)選測量的集合，且每幀波門簇都要重新劃分。波門簇的劃分有2個原則：① 選擇同一測量的不同航跡屬于同一個波門簇且任何選擇波門簇內(nèi)測量的航跡均屬于該波門簇；② 沒有選擇任何波門簇內(nèi)測量的航跡單獨成為一個波門簇。玻門簇劃分圖如圖1所示。

圖1 波門簇劃分Fig.1 Clusters partition

圖1中，τ1，τ2，τ3和τ4表示4條航跡，M1，M2，M3和M4表示被4條航跡選中的測量。根據(jù)波門簇劃分的原則，有2個波門簇。航跡τ1和τ2有共享測量M1，形成一個波門簇。航跡τ3選中該波門簇中的測量M2，它也屬于該波門簇，即航跡τ1，τ2和τ3及其預(yù)選測量構(gòu)成一個波門簇。航跡τ4的預(yù)選測量不與其他航跡共享，則單獨形成一個波門簇。

步驟2：計算測量來源于雜波的概率

在多目標(biāo)自動跟蹤場景中，測量來源可能是不同目標(biāo)或者雜波。為了闡述清晰，針對測量的來源定義以下事件：

根據(jù)步驟1，可知測量和波門簇的對應(yīng)關(guān)系，為了簡便，以測量zk,i為例，該測量所在的波門簇記為Γk。

在波門簇Γk條件下，測量zk,i來源于雜波的概率為：

(19)

(20)

在波門簇Γk條件下，測量zk,i來源于目標(biāo)τ的概率為：

(21)

在波門簇Γk條件下，測量來源是一個完備事件組，則有:

(22)

則有：

(23)

因此，聯(lián)合式(19)和式(23)，可求得波門簇Γk條件下，測量zk,i來源于雜波的概率為：

(24)

步驟3：估計超球體內(nèi)真實雜波個數(shù)

n階的SCMDE方法以待估點為中心創(chuàng)建一個超球體，超球體的半徑為測量空間上待估點到距離待估點第n近測量的歐式距離，直接利用超球體的體積與超球體內(nèi)測量個數(shù)n的比值估計雜波稀疏度。在多目標(biāo)自動跟蹤場景中，n階改進SCMDE雜波密度估計方法同樣以待估點為中心創(chuàng)建一個超球體，超球體的半徑為測量空間上待估點到距離待估點第c近的測量的歐式距離，直接利用超球體的體積與超球體內(nèi)測量來源于雜波概率和的比值估計雜波稀疏度。根據(jù)步驟2，可以計算當(dāng)前測量集合中所有測量來源于雜波的概率。距離待估點第c近的測量需要滿足以下條件：

(25)

為了保證得到超求內(nèi)測量的雜波概率和最接近階數(shù)n，則需：

(26)

因此，對于n階改進的雜波密度估計方法，待估點的雜波稀疏度估計為：

(27)

式中，

(28)

改進的雜波密度估計原理圖如圖2所示，闡述了n=3基于SCMDE改進雜波密度估計方法在二維空間上的實際工作原理。

圖2 改進的雜波密度估計原理Fig.2 ESCMDE principle

4 仿真實驗

仿真以多目標(biāo)自動跟蹤為背景，以線性多目標(biāo)自動跟蹤算法LM-IPDA為多目標(biāo)自動跟蹤方法，針對雜波空間分布未知、非均勻且時變的問題，利用提出的基于SCMDE改進的雜波密度估計方法進行雜波密度在線估計。通過與已知的SCMDE方法比較，驗證本文所提的雜波密度估計方法能提升復(fù)雜環(huán)境下多目標(biāo)自動跟蹤的航跡管理性能。

4.1 性能評價指標(biāo)

仿真實驗的性能指標(biāo)有確認真實航跡率(Confirmed True Target Ratio，CTTR)和均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)2個。CTTR用于衡量目標(biāo)航跡的識別能力和速度，RMSE用于衡量跟蹤目標(biāo)航跡的跟蹤精度。

當(dāng)航跡滿足以下關(guān)系式，該確認航跡就被認定為確認真實航跡：

(29)

(30)

蒙特卡羅實驗下，CTTR的統(tǒng)計方式為：

(31)

式中，CTTR(k)為tk時刻真實航跡確認率；CTTi(k)為tk時刻第i次蒙特卡羅試驗確認真實航跡個數(shù)；N和M分別為蒙特卡羅實驗次數(shù)和監(jiān)視區(qū)域內(nèi)目標(biāo)真實個數(shù)。

RMSE的統(tǒng)計方式為：

(32)

本文設(shè)置2組不同的仿真實驗：雜波空間分布非均勻和雜波空間分布非均勻且時變，仿真實驗?zāi)繕?biāo)個數(shù)為7個。比較相同和不同階數(shù)下ESCMDE和SCMDE兩種方法雜波密度估計結(jié)果對航跡自動管理性能影響。

4.2 雜波空間分布非均勻

假設(shè)雜波測量的空間分布是非均勻且不隨時間變化的。利用不同的均勻分布概率密度函數(shù)和不同的高斯概率密度函數(shù)加權(quán)混合，生成復(fù)雜的空間分布非均勻的雜波測量。假設(shè)雜波測量在空間上服從的概率密度函數(shù)為：

(33)

式中，V表示二維測量空間上的監(jiān)視區(qū)域面積；μ和Σ分別為高斯分布的均值和協(xié)方差矩陣。假設(shè)雜波測量個數(shù)在時間上服從泊松分布且泊松分布均值m為100，則此時測量空間V上任意一點的真實雜波密度為：

ρ(z)=mp(z)。

(34)

真實航跡起始率如圖3所示。7個目標(biāo)在500次蒙特卡羅實驗的目標(biāo)真實航跡起始率，目標(biāo)2的位置估計RMSE如圖4所示。為了公平地比較SCMDE和ESCMDE雜波密度估計方法，通過調(diào)整初始目標(biāo)存在概率，使500次蒙特卡羅實驗中采用2種不同的雜波密度估計方法下確認的虛假航跡個數(shù)為21條，并保持確認航跡的目標(biāo)存在概率閾值和終止航跡的目標(biāo)存在概率閾值與目標(biāo)初始存在概率的關(guān)系不變。同時，利用真實雜波密度嵌入LM-IPDA算法得到真實航跡起始率的上限。如圖3所示，采用相同的階數(shù)進行雜波密度估計，利用本文提出的ESCMDE的雜波密度估計結(jié)果嵌入到LM-IPDA獲得比SCMDE更好的真實航跡起始率，提升了航跡管理性能。當(dāng)同一個雜波密度估計方法采用不同的階數(shù)進行雜波密度估計，可以發(fā)現(xiàn)SCMDE和ESCMDE都會隨著階數(shù)的增加而不同程度地提升目標(biāo)真實航跡起始率。在第25 s前后，此時目標(biāo)之間處于鄰近位置，SCMDE在該時間段的真實航跡起始率受到嚴重的影響;對于n=1的SCMDE，真實航跡起始率甚至出現(xiàn)下降，而本文提出的ESCMDE，并未在多目標(biāo)交叉運動時出現(xiàn)明顯的真實航跡起始率下降問題，且真實航跡起始率高于SCMDE。圖4中位置RMSE只針對確認真實航跡計算所得，僅計算跟蹤目標(biāo)2的真實航跡的跟蹤誤差，可以發(fā)現(xiàn)采用真實雜波密度的RMSE性能總體最優(yōu)，對比本文所提ESCMDE和SCMDE，相同階數(shù)下ESCMDE在目標(biāo)交叉前后的RMSE性能也優(yōu)于SCMDE。

圖3 真實航跡起始率Fig.3 True target track initiation rate

圖4 目標(biāo)2的RMSEFig.4 Location RMSE of target 2

4.3 雜波空間分布非均勻且時變

在上述仿真實驗的基礎(chǔ)上僅改變雜波測量的空間分布，本節(jié)雜波測量的空間分布是時變的。假設(shè)雜波測量在空間上服從的時變概率密度函數(shù)為：

(35)

在雜波空間分布時變情況下，7個目標(biāo)在500次蒙特卡羅試驗下的目標(biāo)真實航跡起始率如圖5所示。跟蹤目標(biāo)2真實航跡的位置RMSE如圖6所示。為了公平地比較SCMDE和ESCMDE雜波密度估計方法，使500次蒙特卡羅實驗中采用2種不同的雜波密度估計方法下確認的虛假航跡個數(shù)為16條，其他參數(shù)條件保持一致。根據(jù)式(35)給出的雜波空間分布概率密度函數(shù)可知，在前19 s內(nèi)，監(jiān)視區(qū)域內(nèi)的雜波測量服從均勻分布，此時真實航跡起始率提升較快。比較n=1和n=5的SCMDE方法可以發(fā)現(xiàn)，n=5的SCMDE方法的真實航跡起始率提升更快，這主要是SCMDE方法的雜波密度估計精度會隨著階數(shù)的增加而降低，這是SCMDE方法的性質(zhì)決定的。在第20～30 s的雜波測量空間分布為高斯分布，第31～50 s的雜波測量空間分布服從均勻分布和高斯分布加權(quán)的復(fù)雜分布。圖5驗證了ESCMDE方法在雜波空間分布非均勻且時變的多目標(biāo)跟蹤環(huán)境下的航跡管理性能優(yōu)于SCMDE方法。圖6中目標(biāo)2的位置估計RMSE也表明ESCMDE在多目標(biāo)交叉區(qū)域可以有效提升跟蹤精度。

圖5 真實航跡起始率Fig.5 True target track initiation rate

圖6 目標(biāo)2的位置RMSEFig.6 Location RMSE of target 2

5 結(jié)束語

雜波觀測密度是計算數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)概率和目標(biāo)存在性所需的重要參數(shù)，即使只有很小的變化，對目標(biāo)跟蹤性能也有很大的影響。本文針對無雜波先驗信息環(huán)境下的非參數(shù)多目標(biāo)跟蹤，提出了一種用于多目標(biāo)自動跟蹤的改進雜波密度自適應(yīng)估計方法。該方法基于SCMDE改進的雜波密度估計方法，通過計算以待估點為中心的超球體內(nèi)測量來源于雜波的概率估計超球體內(nèi)真實的雜波測量個數(shù)，來降低超球體內(nèi)可能包含的目標(biāo)測量對雜波密度估計帶來的偏差，從而提高雜波密度估計精度。它解決了SCMDE在多目標(biāo)跟蹤場景下雜波密度估計偏差急劇增大導(dǎo)致航跡管理性能下降的問題。通過仿真，驗證了該方法的可行性。