應(yīng)濤,王雪寶,田威,周成,侯小陽(yáng)

1.海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院,武漢 430033

2.海軍士官學(xué)校 電子對(duì)抗雷達(dá)聲納系,蚌埠 233012

非合作無源探測(cè)系統(tǒng)是利用第三方非合作輻射源發(fā)射的信號(hào)探測(cè)目標(biāo)的雙/多基地?zé)o源雷達(dá)系統(tǒng)。該系統(tǒng)本身不發(fā)射能量,而是被動(dòng)地接收目標(biāo)散射的非合作輻射源電磁信號(hào),對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)、定位及跟蹤,具有戰(zhàn)場(chǎng)生存能力強(qiáng)、成本低、反隱身能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn),因此受到各國(guó)軍方重視。目前,非合作無源探測(cè)系統(tǒng)利用的第三方輻射源信號(hào)除FM 廣播信號(hào)、數(shù)字廣播信號(hào)、衛(wèi)星信 號(hào)、WIFI信號(hào)、UMTS 信號(hào)以及GSM 信號(hào)和LTE 信號(hào)等民用輻射源信號(hào)以外,還包括己方或敵方非合作雷達(dá)等軍用輻射源信號(hào),英國(guó)雷卡公司防御系統(tǒng)分部利用倫敦蓋特威克機(jī)場(chǎng)的遠(yuǎn)程空管雷達(dá)開展了非合作無源探測(cè)系統(tǒng)的研究,國(guó)防科技大學(xué)選擇預(yù)警機(jī)雷達(dá)信號(hào)作為輻射源信號(hào),開展了基于空基輻射源的非合作無源探測(cè)系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)研究。戰(zhàn)時(shí),由于可利用的民用輻射源匱乏,利用己方或敵方雷達(dá)作為輻射源進(jìn)行非合作無源探測(cè)將變得尤為重要。線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號(hào)作為一種時(shí)寬-帶寬積較大的信號(hào),具有低截獲概率特性和較好的抗干擾能力,廣泛應(yīng)用于雷達(dá)系統(tǒng)。因此,本文將以發(fā)射LFM 信號(hào)的雷達(dá)作為非合作輻射源,開展非合作無源探測(cè)系統(tǒng)中參考信號(hào)的提純研究。

非合作無源探測(cè)系統(tǒng)有2個(gè)接收通道,即接收輻射源直達(dá)波作為參考信號(hào)的參考通道和接收目標(biāo)散射回波的監(jiān)測(cè)通道。參考通道中的直達(dá)波參考信號(hào)主要有2個(gè)方面的作用：①監(jiān)測(cè)通道接收到的目標(biāo)回波中,往往伴隨著大量的直達(dá)波干擾和多徑雜波干擾,且功率遠(yuǎn)大于目標(biāo)回波,這對(duì)目標(biāo)檢測(cè)造成很大干擾。這時(shí),需要純凈的參考通道直達(dá)波信號(hào)作為參考信號(hào),抑制監(jiān)測(cè)通道的直達(dá)波干擾和多徑雜波干擾；②參考通道直達(dá)波信號(hào)作為二維互相關(guān)檢測(cè)的參考信號(hào),參考信號(hào)的純凈程度將直接決定系統(tǒng)的檢測(cè)性能。但在實(shí)際情況中,參考通道接收到的輻射源直達(dá)波信號(hào)不可避免地受到多徑信號(hào)的干擾,是輻射源直達(dá)波信號(hào)及多徑雜波信號(hào)的疊加,參考通道為監(jiān)測(cè)通道提供的參考信號(hào)不再“純凈”,對(duì)系統(tǒng)探測(cè)性能造成嚴(yán)重影響。

目前,獲取“純凈”直達(dá)波參考信號(hào)主要有2條技術(shù)思路,即“重構(gòu)”和“提純”。“重構(gòu)”是指基于輻射源信號(hào)的特殊結(jié)構(gòu)特性,通過信道估計(jì)和同步解調(diào)來精確重構(gòu)參考信號(hào),文獻(xiàn)[20]在壓縮感知的匹配追蹤算法基礎(chǔ)上,利用數(shù)字地面多媒體廣播信號(hào)的特性,提出了一種參考信號(hào)重構(gòu)新方法?！疤峒儭眲t是利用時(shí)域和空域自適應(yīng)濾波等方法,通過抑制參考通道接收信號(hào)中的多徑干擾,獲取“純凈”的參考信號(hào),但提取信號(hào)純度受限于天線方向性,且對(duì)參考通道接收天線提出了更高的要求。

當(dāng)有用信號(hào)與干擾信號(hào)在時(shí)域或者頻域上重疊時(shí),要想將有用信號(hào)從干擾信號(hào)中提取出來,通常從有用信號(hào)的特性出發(fā),考慮將混合信號(hào)變換到有用信號(hào)與干擾信號(hào)可分離的變換域上,然后采用濾波方法將有用信號(hào)提取出來。通常,在進(jìn)行非合作無源探測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和部署時(shí),會(huì)對(duì)輻射源信號(hào)進(jìn)行調(diào)研和分析,獲取有關(guān)先驗(yàn)知識(shí),因此可對(duì)輻射源信號(hào)特性進(jìn)行研究,并充分利用輻射源信號(hào)的這些特性,將參考通道中直達(dá)波與多徑的混合信號(hào)變換到對(duì)信號(hào)時(shí)延敏感的變換域上,在此變換域上將直達(dá)波信號(hào)與多徑信號(hào)分離開,實(shí)現(xiàn)直達(dá)波信號(hào)的提取。從這個(gè)思路出發(fā),可以考慮將混合信號(hào)變換到對(duì)時(shí)延敏感的稀疏域上,由于信號(hào)在稀疏域上具有有效能量的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少,直達(dá)波信號(hào)與多徑信號(hào)在稀疏域上具有低概率交疊特性,可以想象,最為理想的稀疏變換就是輻射源信號(hào)在此稀疏域上表示為一個(gè)點(diǎn)的沖激函數(shù),此時(shí),只要該稀疏變換對(duì)時(shí)延敏感,則直達(dá)波與多徑的混合信號(hào)在此稀疏域上的表示將分別對(duì)應(yīng)于直達(dá)波和多徑且在稀疏域上相互分離的多個(gè)點(diǎn)的沖激函數(shù),則接下來就可以利用濾波方法或參數(shù)估計(jì)的方法來抑制多徑信號(hào)或恢復(fù)直達(dá)波信號(hào),實(shí)現(xiàn)直達(dá)波信號(hào)的提取。本文將從雷達(dá)輻射源的信號(hào)特性出發(fā),充分利用線性調(diào)頻信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transformation,FRFT)域上的稀疏特性,根據(jù)變換關(guān)系,通過FRFT 域的尖峰參數(shù)推導(dǎo)出直達(dá)波信號(hào)的參數(shù),恢復(fù)直達(dá)波信號(hào),從而實(shí)現(xiàn)直達(dá)波信號(hào)提純。

1 問題描述

假定系統(tǒng)是岸基固定的,且參考天線主瓣對(duì)準(zhǔn)輻射源,則進(jìn)入?yún)⒖纪ǖ赖哪繕?biāo)回波信號(hào)十分微弱可以忽略。實(shí)際情況中,參考通道接收到的輻射源直達(dá)波信號(hào)伴隨著多徑干擾信號(hào),如圖1所示。假設(shè)在所接收到的參考通道中,存在個(gè)多徑信號(hào),則

圖1 參考信號(hào)受多徑干擾示意圖Fig.1 Reference signal interfered by multipath signals

式中：()為參考通道接收信號(hào)；()為輻射源直達(dá)波信號(hào)；是參考通道中直達(dá)波信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；()為參考通道中的噪聲；c和τ分別為第個(gè)多徑信號(hào)的復(fù)包絡(luò)和時(shí)延,不失一般性,令=1,τ＜τ。

為了進(jìn)一步分析參考通道中多徑信號(hào)對(duì)目標(biāo)檢測(cè)性能的影響,假設(shè)有2個(gè)強(qiáng)目標(biāo)和1個(gè)弱目標(biāo),在距離-多普勒曲面分別位于(19.5 km,50 Hz)、(60.0 km,-83 Hz)和(75.0 km,60 Hz),信噪比分別為-16.9、-18.3和-24.4 dB,監(jiān)測(cè)通道接收信號(hào)中除了3 個(gè)目標(biāo)回波外,還包含1個(gè)直達(dá)波干擾和10個(gè)多徑干擾。1個(gè)直達(dá)波干擾的干擾噪聲比是62.3 dB,10個(gè)多徑干擾的干擾噪聲比處于(4～34 d B)范圍內(nèi),仿真場(chǎng)景如圖2所示。

圖2 仿真場(chǎng)景Fig.2 Simulation scenario

當(dāng)參考信號(hào)不受多徑干擾時(shí),采用文獻(xiàn)[22]中的方法,將監(jiān)測(cè)通道接收信號(hào)投影到多徑干擾的正交補(bǔ)子空間內(nèi),消除強(qiáng)直達(dá)波與強(qiáng)多徑干擾,并進(jìn)行二維互相關(guān)檢測(cè),得到的結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看出,利用“純凈”的直達(dá)波信號(hào)作為參考信號(hào)進(jìn)行監(jiān)測(cè)通道的多徑雜波對(duì)消和二維互相關(guān)檢測(cè),3個(gè)目標(biāo)可以很容易被檢測(cè)到。當(dāng)參考通道接收信號(hào)除了輻射源直達(dá)波信號(hào)外,還包含10個(gè)多徑干擾時(shí),直達(dá)波與多徑雜波功率之比分 別 為2.1、3.2、4.8、6.5、9.2、12.3、11.6、14.9、17.2、19.8 dB,如果直接利用“不純凈”的參考信號(hào)進(jìn)行監(jiān)測(cè)通道的多徑雜波對(duì)消和二維互相關(guān)檢測(cè),得到的結(jié)果如圖4 所示。與圖3 相比,2個(gè)強(qiáng)目標(biāo)雖然能夠被檢測(cè)到,但由于參考信號(hào)的“不純凈”,不能為多徑雜波對(duì)消和二維互相關(guān)檢測(cè)提供準(zhǔn)確樣本,導(dǎo)致強(qiáng)目標(biāo)產(chǎn)生模糊旁瓣,同時(shí),還出現(xiàn)虛假目標(biāo),且弱目標(biāo)被抑制,很難被檢測(cè)到。因此,參考通道直達(dá)波信號(hào)提純對(duì)于系統(tǒng)目標(biāo)檢測(cè)性能十分重要。

圖3 參考信號(hào)不含多徑雜波時(shí)的互模糊函數(shù)Fig.3 Cross correlation function for a reference signal without multipath

圖4 參考信號(hào)含多徑信號(hào)時(shí)的互模糊函數(shù)Fig.4 Cross correlation function for a reference signal with multipath

2 參考信號(hào)的稀疏性

從數(shù)學(xué)角度,分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可被理解為時(shí)頻平面內(nèi)坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度后構(gòu)成的表示方法,是傳統(tǒng)傅里葉變換的廣義形式,可作為信號(hào)時(shí)頻分析的一種方法。

從積分核的角度出發(fā),輸入函數(shù)()的階FRFT 定義為

本文以發(fā)射LFM 脈沖信號(hào)的雷達(dá)作為非合作輻射源,非合作無源探測(cè)系統(tǒng)參考通道接收的直達(dá)波信號(hào)可表示為

式中：為直達(dá)波信號(hào)包絡(luò)；為起始頻率；=/為調(diào)頻斜率,為信號(hào)持續(xù)時(shí)間,為信號(hào)調(diào)頻帶寬。不失一般性,取=0,=1,則信號(hào)階FRFT 為

將式(5)變量代換后簡(jiǎn)化為

由式(6)可看出,當(dāng)變換階次=arccot(-)/(π/2)時(shí),直達(dá)波信號(hào)在FRFT 域上表現(xiàn)出了良好的能量聚集稀疏特性。也就是說,只要找到與直達(dá)波信號(hào)能量聚集特性對(duì)應(yīng)的最佳階次,與之對(duì)應(yīng)的FRFT域的正交基字典就可以被構(gòu)造出來,在該字典下,直達(dá)波信號(hào)將滿足稀疏性和正交性。FRFT的周期為4,∈(-2,2],對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)角度∈(-π,π],由FRFT 的時(shí)頻旋轉(zhuǎn)特性可知,當(dāng)變換階次從0變化到1,即可展示出信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域的所有特征,根據(jù)對(duì)稱性,只要觀察∈(-1,1]就可找到符合條件的最佳變換階次。

正交基字典矩陣是能否將信號(hào)進(jìn)行稀疏表示的關(guān)鍵,由于直達(dá)波信號(hào)是在FRFT 基上分解信號(hào)的,可考慮用離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Discrete Fractional Fourier Transformation,DFRFT)核矩陣來構(gòu)成正交字典K ,由上述分析可知,K 能很好地稀疏表示直達(dá)波信號(hào),不同的變換階次對(duì)應(yīng)不同的核變換矩陣。下面將根據(jù)DFRFT 核構(gòu)造出正交基字典K ,并證明直達(dá)波信號(hào)在K 下的正交性和稀疏性。

考慮直接采樣連續(xù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換核來獲得DFRFT核矩陣,進(jìn)一步由離散核矩陣來構(gòu)造FRFT正交基字典。這類方法中,Pei采樣型算法具有計(jì)算復(fù)雜度最低、運(yùn)算效率最高等特點(diǎn),得到了廣泛的使用。為了使離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具備正交性和可逆性,其對(duì)連續(xù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在分?jǐn)?shù)階傅里葉域和時(shí)域選擇合適的采樣間隔。本文基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的正交基字典構(gòu)造方法步驟如下：

對(duì)輸入函數(shù)()和輸出函數(shù)X ()分別以Δ和Δ為采樣間隔進(jìn)行采樣,即()=(Δ),Y ()=X (Δ),∈[-,],∈[-,]。

由連續(xù)FRFT 定義式(2)可知

由變換可逆性可知,式(9)對(duì)求和等于(-),即

式中：是與2+1互質(zhì)的整數(shù)。

將式(10)代入式(8)歸一化得

令=sgn(sin)=±1,當(dāng)sin＞0時(shí),代入式(11)得

采用正交基字典,令=,就可以得到所要構(gòu)造的DFRFT 正交基字典

進(jìn)一步,可以得出利用FRFT 核矩陣構(gòu)成的字典K 也是參考通道接收信號(hào)()的正交基字典,證明詳見附錄A。

3 參考信號(hào)提純

由第2節(jié)的分析可知,通過對(duì)參考通道接收信號(hào)進(jìn)行FRFT,可將時(shí)域上混疊在一起的直達(dá)波信號(hào)和多徑信號(hào)在稀疏域上分離開,通?？紤]采用濾波器技術(shù)就可將其他多徑信號(hào)抑制掉。但實(shí)際情況中,很難設(shè)計(jì)出一種理想的濾波器將多徑信號(hào)完全抑制的同時(shí)還能盡可能完整地保留直達(dá)波信號(hào),尤其在多徑時(shí)延很小的情況。因此,本節(jié)考慮從FRFT 變換關(guān)系出發(fā),由參考通道接收信號(hào)在FRFT 域的尖峰參數(shù)推導(dǎo)出直達(dá)波的參數(shù),重構(gòu)提純直達(dá)波信號(hào)。

由參考通道接收信號(hào)模型式(1)和式(3)可知,多徑信號(hào)需要估計(jì)的參數(shù)有：調(diào)頻斜率、多徑信號(hào)包絡(luò)c和時(shí)延τ,下面給出這些參數(shù)的估計(jì)。

從分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)可以得出,直達(dá)波信號(hào)的包絡(luò)估計(jì)為

得到直達(dá)波信號(hào)的參數(shù)估計(jì)后,就可以參考信號(hào)提純

綜上所述,基于稀疏特性的直達(dá)波參考信號(hào)提取方法步驟如下：

連續(xù)變化旋轉(zhuǎn)角度或者階次,對(duì)參考通道接收信號(hào)()進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換,形成參考通道接收信號(hào)的能量在(,)平面上的三維分布圖。

利用步驟3中估計(jì)出的直達(dá)波信號(hào)參數(shù),根據(jù)式(17)實(shí)現(xiàn)直達(dá)波信號(hào)提純。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證基于稀疏特性的直達(dá)波信號(hào)提純算法的有效性,進(jìn)行相應(yīng)的仿真實(shí)驗(yàn)。對(duì)雷達(dá)輻射源LFM 直達(dá)波信號(hào)仿真參數(shù)設(shè)置如下：信號(hào)帶寬=5 MHz,觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)=8μs,LFM 信號(hào)的調(diào)頻斜率=/=6.25×10Hz/s,信號(hào)采樣頻率=100 MHz,采樣間隔=1/=10s,信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為800,信號(hào)歸一化幅度為1,信噪比SNR=8 dB的直達(dá)波信號(hào)如圖5所示。用不同的延時(shí)=1μs和=2μs以及對(duì)應(yīng)的幅度=05和=08來模擬2條多徑信號(hào),參考通道中直達(dá)波與多徑信號(hào)的混合信號(hào)如圖6所示。

圖5 直達(dá)波信號(hào)(SNR=8 dB)Fig.5 Direct signal(SNR=8 dB)

圖6 參考通道接收的混合信號(hào)Fig.6 Mixture of direct signal and multipath signals received by reference channel

圖7 參考通道接收信號(hào)的FRFT 三維圖Fig.7 3D plot of FRFT of the received signal in reference channel

圖8 DFRFT 字典矩陣Fig.8 Dictionary matrix of DFRFT

圖9 參考通道接收信號(hào)在最佳旋轉(zhuǎn)角度下的FRFTFig.9 FRFT of received signal in reference channel with the best rotation angle

從分?jǐn)?shù)階傅里葉變換與輸入信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā),根據(jù)第3節(jié)中的參數(shù)估計(jì)方法消除多徑信號(hào),實(shí)現(xiàn)參考信號(hào)提純后,參考通道接收信號(hào)的FRFT 三維圖和在最佳旋轉(zhuǎn)角度下的FRFT 如圖10和圖11所示。不難看出,參考通道接收信號(hào)中的多徑信號(hào)得到了很好地抑制,直達(dá)波信號(hào)得到了很好地保留,提取出的直達(dá)波波形與純凈的直達(dá)波波形十分接近,如圖12所示。

圖10 參考通道接收信號(hào)的FRFT 三維圖(多徑信號(hào)消除后)Fig.10 3D plot of FRFT of received signal in reference channel after multipath removal

圖11 參考通道接收信號(hào)在最佳旋轉(zhuǎn)角度下的FRFT(多徑信號(hào)消除后)Fig.11 FRFT of received signal in reference channel with the best rotation angle after multipath removal

圖12 多徑信號(hào)消除后的直達(dá)波信號(hào)Fig.12 Direct signal after multipath removal

為了進(jìn)一步定量評(píng)價(jià)本文方法參考信號(hào)提純的性能,定義波形失真率為

式中：()為純凈的直達(dá)波信號(hào)；()為提取的直達(dá)波信號(hào),波形失真率表示提取的直達(dá)波信號(hào)與純凈的直達(dá)波信號(hào)之間的相似程度。同時(shí),與需要采用多通道接收機(jī)的空域自適應(yīng)濾波方法相比,本文算法可適用于單通道接收機(jī),無需增加接收機(jī)硬件復(fù)雜度,故將本文方法與時(shí)域自適應(yīng)濾波方法進(jìn)行仿真性能對(duì)比,圖13給出了不同信噪比下2 種方法提取的直達(dá)波信號(hào)波形失真率?？梢钥闯?本文方法提純信號(hào)的波形失真率比時(shí)域自適應(yīng)濾波方法要小,直達(dá)波參考信號(hào)提純效果更好。隨著信噪比的增大,采用本文方法提取的直達(dá)波信號(hào)波形失真率在不斷減小,提取的直達(dá)波信號(hào)精度越高。這是由于隨著信噪比的增大,參數(shù)估計(jì)的精度會(huì)提高,字典的稀疏表達(dá)能力越強(qiáng),多徑信號(hào)的參數(shù)估計(jì)精度也越高,因此提取的直達(dá)波信號(hào)波形失真率減小,直達(dá)波信號(hào)提純效果越好。

圖13 不同信噪比下2種方法的波形失真率Fig.13 Waveform Distortion rate of the two methods with different SNRs

由于非合作無源探測(cè)中的目標(biāo)檢測(cè)是在參考信號(hào)與監(jiān)測(cè)信號(hào)進(jìn)行匹配濾波的基礎(chǔ)之上進(jìn)行的,波形失真率越低,參考信號(hào)提純效果越好,則匹配濾波獲得的目標(biāo)信號(hào)增益越大,越有利于目標(biāo)檢測(cè)。因此,匹配濾波后的目標(biāo)信號(hào)峰值信噪比可衡量目標(biāo)檢測(cè)性能的好壞。為便于分析,假定有一個(gè)目標(biāo)距離為15 km 的固定目標(biāo),圖14和圖15分別給出了波形失真率分別為62%和28%時(shí),提純的參考信號(hào)與目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行匹配濾波的結(jié)果。從圖中不難看出,當(dāng)波形失真率越低,參考信號(hào)提純效果越好,匹配濾波獲得的目標(biāo)信號(hào)增益越高,目標(biāo)信號(hào)信噪比就越高,目標(biāo)就越容易被檢測(cè)出來。

圖14 波形失真率為62%時(shí)匹配濾波輸出Fig.14 Output of match filter of waveform distortion rate of 62%

圖15 波形失真率為28%時(shí)匹配濾波輸出Fig.15 Output of match filter of waveform distortion rate of 28%

5 總 結(jié)

針對(duì)非合作無源探測(cè)中的參考信號(hào)提純問題,本文以發(fā)射線性調(diào)頻脈沖信號(hào)的雷達(dá)作為非合作輻射源,提出了一種基于稀疏特性的參考信號(hào)提純新方法。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文方法能夠充分利用LFM 信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域上的稀疏特性,將直達(dá)波信號(hào)與多徑信號(hào)在稀疏域上分離,通過參數(shù)估計(jì)實(shí)現(xiàn)參考信號(hào)有效提純,且與時(shí)域自適應(yīng)濾波方法相比,提純的直達(dá)波參考信號(hào)失真更小。雖然,本文方法主要適用于基于LFM 脈沖雷達(dá)輻射源的非合作無源探測(cè)系統(tǒng),但本文方法的技術(shù)思路仍可參考借鑒應(yīng)用于利用其他輻射源信號(hào)的系統(tǒng),關(guān)鍵是尋找到合適的稀疏域。

利用FRFT 核矩陣構(gòu)成的字典K 是參考通道接收信號(hào)()的正交基字典。

證明 本命題可分解為2個(gè)子命題：①證明字典K 是正交字典；②證明多徑信號(hào)在K 上是稀疏的。

1)根據(jù)FRFT 定義式,K 是由一組Chirp信號(hào)展開成的滿足正交條件的完備正交基,在離散核矩陣來構(gòu)造FRFT 正交基字典過程中,各個(gè)基函數(shù)之間相互正交。

2)令參考通道接收信號(hào)中直達(dá)波信號(hào)FRFT 為X (),當(dāng)變換階次滿足=arccot(-)/(π/2)時(shí),大小為(),具有稀疏性。

令=-,=-cos代入式(A1)得

式(A2)化簡(jiǎn)可得

令=-cos,換元后可得

可以看出,多徑信號(hào)的FRFT 與X ()只存在著不同的相移和時(shí)移因子,且同一階數(shù)下FRFT 將具有相同的模。

選取最佳階次=arccot(-)/(π/2),=π/2,有X ()=(),則F [(-)]是一個(gè)經(jīng)過一定時(shí)移和相移后的沖激函數(shù),且域時(shí)移與域時(shí)延對(duì)應(yīng)關(guān)系為=cos,也具有稀疏性,證明完畢。