李曉珊，田 穎

（石家莊市第二中學(xué)，河北 石家莊 050000）

三角函數(shù)是一種重要的基本初等函數(shù)，用來(lái)刻畫(huà)周期變化現(xiàn)象?；趯W(xué)生已有的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)類比，探索學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)的研究路徑?；诖耍竟?jié)課是在函數(shù)一般概念的基礎(chǔ)上，分層次、分角度循序漸進(jìn)地讓學(xué)生理解任意角三角函數(shù)的定義。

本節(jié)課的第一個(gè)思考點(diǎn)是讓學(xué)生尋求合適的量來(lái)刻畫(huà)單位圓上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的位置變化。這個(gè)思考點(diǎn)的設(shè)置有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是從周期運(yùn)動(dòng)的背景中生成問(wèn)題，從數(shù)學(xué)史的發(fā)展來(lái)看，任意角三角函數(shù)與圓周運(yùn)動(dòng)有直接關(guān)系，這種設(shè)計(jì)合理且不失一般性；二是學(xué)生刻畫(huà)位置的方式往往采取角和坐標(biāo)兩種方式，這是體現(xiàn)數(shù)形關(guān)系的入口。

任意角三角函數(shù)的概念的教學(xué)過(guò)程中，首先明晰角的弧度數(shù)與點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，直接給出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念。之后，又抓住“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，并讓學(xué)生探究銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)一步理解三角函數(shù)定義。

理解好“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，是學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)檫@與學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)不同，這種差異造成了學(xué)生的認(rèn)知障礙。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，課堂采取比較、分析的方式是較為合適的。引領(lǐng)學(xué)生再認(rèn)識(shí)前面學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其解析式都有明確的運(yùn)算含義。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解三角函數(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是“a與y，a與x，a與的直接對(duì)應(yīng)”。雖然a、x、y都是實(shí)數(shù)，但實(shí)際上是“幾何元素間的對(duì)應(yīng)”。

銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的關(guān)系的研究，是借助某例題中求的三角函數(shù)值引出的，設(shè)計(jì)非常巧妙。由于的三角函數(shù)值在初中已非常熟悉，有些學(xué)生直接寫(xiě)出的正弦值、余弦值和正切值，有些學(xué)生通過(guò)找到終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)求得的三角函數(shù)值，兩種做法自然地引發(fā)思考：初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？結(jié)合數(shù)學(xué)史讓學(xué)生了解兩者產(chǎn)生的背景不同，功能性質(zhì)不同。在此過(guò)程中不僅明確了銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，也進(jìn)一步滲透了三角函數(shù)與周期運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系。

課本中任意角的三角函數(shù)的定義是“單位圓定義法”，即角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)角的正弦值和余弦值。由于當(dāng)角確定時(shí)，正弦值、余弦值也隨之確定，那么已知角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，如何求出該角的三角函數(shù)值呢？這個(gè)問(wèn)題的探究，一方面可以借助平面幾何中三角形相似的知識(shí)進(jìn)一步落實(shí)“單位圓定義法”，另一方面這實(shí)質(zhì)上是任意角的三角函數(shù)的“終邊定義法”。

具體教學(xué)設(shè)計(jì)見(jiàn)下：

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；三角函數(shù)的概念；與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

（二）內(nèi)容解析

一直以來(lái)，人們習(xí)慣于把三角函數(shù)看作銳角三角函數(shù)的推廣，而事實(shí)上，銳角三角函數(shù)的研究對(duì)象是三角形，是三角形中邊與角的定量關(guān)系（三角比）的反映。而任意角三角函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是周期性的變化現(xiàn)象，是“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)刻畫(huà)。如果以銳角三角函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行推廣，那么三角函數(shù)概念發(fā)生發(fā)展過(guò)程的完整性將受到破壞。因此，整體上，任意角三角函數(shù)知識(shí)體系的建立，應(yīng)與其它基本初等函數(shù)類似，強(qiáng)調(diào)以周期變化現(xiàn)象為背景，構(gòu)建從抽象研究對(duì)象（即定義三角函數(shù)概念）到研究它的圖象、性質(zhì)再到實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程，與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系可以在給出任意角三角函數(shù)定義后再進(jìn)行探究。

一般地，概念的形成應(yīng)按“事實(shí)——概念”的路徑，即學(xué)生要經(jīng)歷“背景——定義——表示——應(yīng)用”的過(guò)程。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到定義具有周期性的函數(shù)的必要性。

2.經(jīng)歷抽象出三角函數(shù)定義的過(guò)程，理解任意角三角函數(shù)的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。

3.能利用定義，求出特殊角的三角函數(shù)值，并從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

（二）目標(biāo)解析

實(shí)現(xiàn)以下三點(diǎn)以達(dá)成目標(biāo)：

1.學(xué)習(xí)任何函數(shù)都要了解其現(xiàn)實(shí)背景，學(xué)生要知道三角函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是體現(xiàn)周期性變化現(xiàn)象的典型代表。

2.課堂上首先由生活中的周期現(xiàn)象引入，再?gòu)闹羞x取圓周運(yùn)動(dòng)，不失一般性，關(guān)注單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，從而抽象出了研究的問(wèn)題：?jiǎn)挝粓AO上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)作逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，以刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化，

3.學(xué)生能找到用什么量來(lái)刻畫(huà)單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并能分析出這些量的相互關(guān)系，最后抽象出三角函數(shù)的定義，并能夠利用定義求出給定角的三角函數(shù)值。

（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)理解任意角的正弦、余弦的定義；能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。

難點(diǎn)：尋找到刻畫(huà)單位圓上點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的變量，并抽象概括出函數(shù)。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

（一）學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)

三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是函數(shù)的一般概念以及研究?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。本章起始關(guān)于任意角和弧度制的學(xué)習(xí)也為學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。另外還有圓的有關(guān)知識(shí)。這些認(rèn)知準(zhǔn)備對(duì)于分析“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象中涉及的量及其關(guān)系和認(rèn)識(shí)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系并給出定義等都能起到思路引領(lǐng)作用。

（二）學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難

前面學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，解析式都有明確的運(yùn)算含義，在三角函數(shù)中，對(duì)應(yīng)關(guān)系不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是“a與y，a與x，a與的直接對(duì)應(yīng)”。雖然a、x、y都是實(shí)數(shù)，但實(shí)際上是“幾何元素間的對(duì)應(yīng)”。因此三角函數(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)距離較大，因此產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)：分析哪些量刻畫(huà)單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值是如何對(duì)應(yīng)的及其定義方式。

（三）教學(xué)策略分析

為了破除學(xué)生在對(duì)應(yīng)關(guān)系認(rèn)識(shí)上的定勢(shì)，幫助他們搞清三角函數(shù)的三要素，應(yīng)該根據(jù)一般函數(shù)概念引導(dǎo)下的下位學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，先讓學(xué)生明確“給定一個(gè)角，如何得到其終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)”的操作過(guò)程，然后再下定義。這樣可以自然引入三角函數(shù)的定義，并且還可以使學(xué)生又一次認(rèn)識(shí)到一般函數(shù)概念的本質(zhì)。具體操作時(shí)，可以設(shè)計(jì)任務(wù)，先讓學(xué)生完成“給定一個(gè)特殊角，求它的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)”，例如，當(dāng)a=時(shí)，讓學(xué)生找出相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并體會(huì)到點(diǎn)P的坐標(biāo)的唯一確定性；教師借助信息技術(shù)來(lái)展示，讓學(xué)生觀察，給定任意一個(gè)角a∈R，其終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是否唯一，從而為理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系奠定基礎(chǔ)。利用信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)。

四、教學(xué)條件支持

為了準(zhǔn)確把握定義，學(xué)生首先要直觀感受到角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)隨角的變化而變化，需要利用信息技術(shù)建立任意角、角的終邊與單位圓的交點(diǎn)這兩個(gè)幾何量之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而再關(guān)注到角的弧度數(shù)與交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)值這兩組代數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。教學(xué)中，可以動(dòng)態(tài)改變角a的終邊OP（P為終邊與單位圓的交點(diǎn)）的位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察OP位置的變化所引起的點(diǎn)P坐標(biāo)的變化規(guī)律，感受三角函數(shù)的本質(zhì)，同時(shí)感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值，以及各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況。

五、教學(xué)實(shí)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境

教師展示課件中的圖片，讓學(xué)生感受到生活中有很多循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的變化現(xiàn)象，而我們知道的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等都不能刻畫(huà)這種運(yùn)動(dòng)變化。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生初步感受周期現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（二）分析具體問(wèn)題，歸納共同特征，給出三角函數(shù)的概念

問(wèn)題：?jiǎn)挝粓AO上的點(diǎn)P以A點(diǎn)為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如何刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化？

生1：可以用∠AOP（記為a）的大小變化來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化.

生2：可以以圓心O為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為橫軸建立坐標(biāo)系，然后用點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)的位置變化.

師：（追問(wèn)）既然角a和點(diǎn)P的坐標(biāo)都可以刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化，那么a與點(diǎn)P的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系.

生：通過(guò)幾個(gè)特殊角發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a確定時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一確定的.

師：（教師通過(guò)幾何畫(huà)板演示）發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的角a，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是唯一確定的，教師提煉呈現(xiàn)概念，得出三角函數(shù)的定義，并引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)的這種對(duì)應(yīng)與以往的函數(shù)有所不同，不是通過(guò)運(yùn)算建立的對(duì)應(yīng)，是自變量a與函數(shù)值之間的直接對(duì)應(yīng)，然后引導(dǎo)學(xué)生探討函數(shù)的定義域。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)用函數(shù)的模型刻畫(huà)點(diǎn)P的變化規(guī)律的必要性與合理性，并得到由單位圓定義的三角函數(shù)概念。

（三）任意角三角函數(shù)的初步應(yīng)用

師生活動(dòng)：先由學(xué)生發(fā)言，再總結(jié)出從定義出發(fā)求三角函數(shù)值的基本步驟，并得出答案。

設(shè)計(jì)意圖：明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)而進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵。并希望學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)和初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)之間似乎有某種聯(lián)系，自然引出下一環(huán)節(jié)的思考問(wèn)題。

（四）任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

師：通過(guò)例1，你有什么感悟和體會(huì)？

師：那我們來(lái)探究一下：

如圖，設(shè)x∈（0，），把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角x的正弦記為z1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為y1，z1與y1相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？

生：通過(guò)小組討論，由學(xué)生展示結(jié)論，發(fā)現(xiàn)求得的值是一致的。

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生體會(huì)在求銳角的三角函數(shù)值時(shí)，利用銳角三角函數(shù)與利用任意角三角函數(shù)是一致的。教師再介紹，實(shí)際上它們是有區(qū)別的，它們的研究對(duì)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同，任意角三角函數(shù)與圓周運(yùn)動(dòng)有直接關(guān)系，是研究現(xiàn)實(shí)世界中周而復(fù)始變化現(xiàn)象最有表現(xiàn)力的函數(shù)；而銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計(jì)算，更側(cè)重于度量。

（五）進(jìn)一步應(yīng)用定義，體會(huì)由角的終邊上任意一點(diǎn)也可以算出三角函數(shù)值

例2.如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.

生：獨(dú)立思考后小組討論，得出結(jié)果，并找學(xué)生獨(dú)立展示。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本例使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，知道角的終邊上任意一點(diǎn)，就可以求出三個(gè)三角函數(shù)值，這與利用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)是等價(jià)的。

（六）小結(jié)、提升

教師總結(jié)三角函數(shù)概念的形成過(guò)程，是在一般函數(shù)概念下的特殊化，但不以代數(shù)運(yùn)算為媒介，是a與x、y、的直接對(duì)應(yīng)，定義來(lái)源于圓周運(yùn)動(dòng)，它能清楚地反映出周而復(fù)始的變化規(guī)律。然后啟發(fā)學(xué)生利用定義及圓的幾何特征，課下思考有關(guān)三角函數(shù)的更多內(nèi)容。

設(shè)計(jì)意圖：再次回顧三角函數(shù)定義的過(guò)程，體會(huì)這是函數(shù)的“下位概念”，并啟發(fā)學(xué)生思考，為后面同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)做鋪墊。

在高中數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)的內(nèi)容安排在必修課程“主題二 函數(shù)”中，與“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”“函數(shù)的應(yīng)用”視為一個(gè)整體。本章學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)，以及前面建立的函數(shù)的一般概念。研究三角函數(shù)要利用單位圓這一工具，單位圓直觀的幾何特征可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念，這一過(guò)程有利于直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展。三角函數(shù)作為重要的描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，與其他學(xué)科有緊密聯(lián)系，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，因此，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，可以提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。