凌婷婷,丁伯倫,段雙雙

(1.揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部,江蘇 揚(yáng)州 225127;2.安徽信息工程學(xué)院 通識(shí)教育與外國(guó)語(yǔ)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

0 引言

新型冠狀病毒的變異病毒德爾塔和奧密克戎等的“生長(zhǎng)優(yōu)勢(shì)”,使得有些城市地區(qū)發(fā)生了較大規(guī)模的疫情傳播,從而需啟動(dòng)多輪全員核酸檢測(cè)工作。然而,由于疫情來(lái)的突然,全員核酸檢測(cè)人數(shù)眾多,醫(yī)護(hù)人員人手不足,如果沒(méi)有合理優(yōu)化設(shè)置的核酸檢測(cè)點(diǎn),將會(huì)導(dǎo)致大量的人員聚集,從而增加病毒的傳染幾率,也會(huì)使居民因等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)而引發(fā)不滿。因此,科學(xué)合理地設(shè)置全員核酸檢測(cè)點(diǎn)以及測(cè)算檢測(cè)點(diǎn)合理日容量尤為重要。近幾年來(lái),排隊(duì)模型的研究仍然集中于單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型[1-2]和多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型[3-4]的優(yōu)化控制,而在實(shí)際生活中,多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型的應(yīng)用更加廣泛,主要集中在超市排隊(duì)等待收銀[5-6]、交通優(yōu)化管理[7]以及醫(yī)院排隊(duì)就醫(yī)[8-9]等方面,也取得了一些優(yōu)化方法。本文以排隊(duì)論為基礎(chǔ)研究全員核酸檢測(cè)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)置,通過(guò)控制平均等待隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間,運(yùn)用MATLAB軟件得到模型的最優(yōu)服務(wù)強(qiáng)度,測(cè)算出檢測(cè)點(diǎn)合理日容量,從而得出核酸檢測(cè)點(diǎn)的最優(yōu)設(shè)置方案。

1 全員核酸檢測(cè)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)置排隊(duì)模型

1.1 模型描述

1)系統(tǒng)有c(c≥1)個(gè)服務(wù)臺(tái)獨(dú)立并行服務(wù)。

2)系統(tǒng)中顧客到達(dá)均為泊松到達(dá),到達(dá)率為λ。

3)系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布,平均服務(wù)率相同,均為u。

4)系統(tǒng)中各隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服務(wù)機(jī)制為先到先服務(wù)(first-come-first-served,FCFS)。

1.2 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)

系統(tǒng)穩(wěn)定下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示。

圖1 模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

采用文獻(xiàn)[10]的方法得系統(tǒng)狀態(tài)概率的平衡方程:

(1)

穩(wěn)態(tài)指標(biāo):

(2)

(3)

(4)

(5)

1.3 最優(yōu)約束條件

(6)

可得最優(yōu)服務(wù)強(qiáng)度ρ*與檢測(cè)點(diǎn)日容量。

2 實(shí)例分析

2.1 檢測(cè)窗口數(shù)與工作時(shí)間分析

現(xiàn)以揚(yáng)州市主城區(qū)第一輪全員核酸檢測(cè)為例,主城區(qū)約有170萬(wàn)人進(jìn)行核酸檢測(cè),第一輪核酸檢測(cè)共設(shè)置了340個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn),即平均每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)約5 000人,系統(tǒng)平均服務(wù)率 μ=3人/min。若要求一天內(nèi)完成全員核酸檢測(cè)任務(wù),當(dāng)日工作時(shí)間不超過(guò)14 h,則每個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)至少需要設(shè)置2個(gè)檢測(cè)窗口,即c≥2,才能保證系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度ρ<1。若設(shè)置3個(gè)檢測(cè)窗口,即c=3時(shí),為保證系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度ρ<1,當(dāng)日工作時(shí)間至少需要9.3 h。設(shè)所需醫(yī)護(hù)人員數(shù)為R,分析c=2和c=3時(shí)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)。

由式 (2)～式 (5) 可得系統(tǒng)各項(xiàng)指標(biāo),見表1:

表1 當(dāng)日工作時(shí)間最少時(shí)c=2與c=3系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)對(duì)比

由表1可知,若要求一天內(nèi)完成核酸檢測(cè)任務(wù),如果單點(diǎn)窗口數(shù)為2,工作時(shí)間14 h時(shí),系統(tǒng)平均等待隊(duì)長(zhǎng)為122.514人,平均逗留時(shí)間為20.917 min;如果單點(diǎn)窗口數(shù)為3,工作時(shí)間9.3 h時(shí),系統(tǒng)平均等待隊(duì)長(zhǎng)為247.121人,平均逗留時(shí)間為27.910 min。兩種情形下系統(tǒng)中排隊(duì)人數(shù)都很多,逗留時(shí)間較長(zhǎng),服務(wù)效率較低,且容易造成大量人員聚集,大大提高了新冠病毒的傳染率;如果單點(diǎn)窗口數(shù)為3,而服務(wù)時(shí)間延長(zhǎng)至14 h,此時(shí)系統(tǒng)的利用率較低,且需要醫(yī)務(wù)人員較多,不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定。因此,在3種情形下,系統(tǒng)指標(biāo)達(dá)不到最優(yōu)化,需要進(jìn)一步分析系統(tǒng)的最優(yōu)服務(wù)強(qiáng)度與檢測(cè)點(diǎn)日容量。

2.2 系統(tǒng)最優(yōu)服務(wù)強(qiáng)度與檢測(cè)點(diǎn)日容量分析

表2 控制平均等待隊(duì)長(zhǎng)時(shí)c=2系統(tǒng)指標(biāo)分析

表3 控制平均等待時(shí)間時(shí)c=2系統(tǒng)指標(biāo)分析

表4 控制平均等待隊(duì)長(zhǎng)時(shí)c=3系統(tǒng)指標(biāo)分析

表5 控制平均等待時(shí)間時(shí)c=3系統(tǒng)指標(biāo)分析

對(duì)比上述兩種設(shè)置可知,相同條件下c=3時(shí),相對(duì)系統(tǒng)利用率更高,顧客等待時(shí)間更短,可降低傳染率,節(jié)約居民的等待時(shí)間成本,系統(tǒng)更加穩(wěn)定。

2.3 優(yōu)化分析

由于揚(yáng)州主城區(qū)人口分布不均勻,可供調(diào)配的醫(yī)護(hù)人員人數(shù)有限,且采取就近檢測(cè)的原則也會(huì)影響核酸檢測(cè)點(diǎn)的設(shè)置,故,當(dāng)某片區(qū)的常住人口在[2 000,4 000]內(nèi),該檢測(cè)點(diǎn)設(shè)置2個(gè)檢測(cè)窗口,通過(guò)調(diào)節(jié)當(dāng)日工作時(shí)間,合理安排檢測(cè)時(shí)間段,可達(dá)到最優(yōu)服務(wù)強(qiáng)度,此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定性最好,工作時(shí)間隨檢測(cè)人數(shù)變化情況如圖2所示。

圖2 c=2和c=3時(shí)工作時(shí)間隨檢測(cè)人數(shù)的變化情況

當(dāng)某片區(qū)常住人口在[4 000,6 115]內(nèi),該檢測(cè)點(diǎn)設(shè)置3個(gè)檢測(cè)窗口,也可通過(guò)調(diào)節(jié)當(dāng)日工作時(shí)間,合理安排檢測(cè)時(shí)間段達(dá)到最優(yōu)服務(wù)強(qiáng)度,確保系統(tǒng)穩(wěn)定性最好,此時(shí)工作時(shí)間隨檢測(cè)人數(shù)變化情況如圖2所示。

當(dāng)某片區(qū)常住人口超過(guò)6 115人時(shí),采取就近檢測(cè)的原則,該片區(qū)應(yīng)與其他片區(qū)合并開設(shè)2個(gè)檢測(cè)點(diǎn)。

若以揚(yáng)州主城區(qū)第一輪全員核酸檢測(cè)為例,共設(shè)置了340個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn),則179個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)可設(shè)置2個(gè)檢測(cè)窗口,161個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)可設(shè)置3個(gè)檢測(cè)窗口,并根據(jù)片區(qū)常住人口數(shù)進(jìn)行合理分布。

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于排隊(duì)論的基礎(chǔ)理論,建立了符合實(shí)際的全員核酸檢測(cè)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)置排隊(duì)模型,首先通過(guò)控制平均等待隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間,分別得到檢測(cè)窗口數(shù)為2和3時(shí)的最優(yōu)服務(wù)強(qiáng)度和最優(yōu)日容量,其次綜合考慮主城區(qū)人口分布情況以及就近檢測(cè)原則,選擇最優(yōu)檢測(cè)窗口,并通過(guò)調(diào)節(jié)當(dāng)日工作時(shí)間,合理安排檢測(cè)時(shí)間段,確保每種檢測(cè)點(diǎn)的服務(wù)強(qiáng)度達(dá)到最優(yōu),從而得到全員核酸檢測(cè)點(diǎn)優(yōu)化設(shè)置的合理方案,減少居民接觸率,降低病毒傳染率。