劉 羽, 李樹勇, 肖 可
(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學(xué)院, 四川 綿陽 621000)
中立型隨機(jī)泛函微分方程因?yàn)槠湓诤娇蘸教斓阮I(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注,關(guān)于其系統(tǒng)穩(wěn)定性討論一直是熱點(diǎn)話題且各類穩(wěn)定性結(jié)果已被建立[1-14].例如,Mao[7]討論一類中立型隨機(jī)泛函微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性,利用Razumikhin 技巧建立了系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性和a.s.指數(shù)穩(wěn)定性.Wu等[9]討論了具有無窮時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程在一般衰減率下的幾乎必然穩(wěn)定性條件,并將該條件應(yīng)用于幾乎必然魯棒穩(wěn)定性問題之中.莊劉等[10]利用局部鞅收斂定理和不等式分析技巧 研究了一類中立型隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性,并得到系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性和a.s.指數(shù)穩(wěn)定性.Pavlovic 等[12]基于Razumikhin 方法得到有限時(shí)滯中立型隨機(jī)泛函微分方程在一般衰減率下的p階矩穩(wěn)定性和a.s.穩(wěn)定性的Razumikhin 定理.Wu等[13]討論了具有無界時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程的一般衰減穩(wěn)定性,利用Razumikhin 技巧研究并建立了該系統(tǒng)在一般衰減率下的p階矩ψγ穩(wěn)定性和a.s.ψγ穩(wěn)定性.
近年來,基于系統(tǒng)的多維性,分量Lyapunov 函數(shù)的Razumikhin 技巧在處理多維隨機(jī)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性中發(fā)揮了重要作用[14-17].例如,Liu等[16]利用隨機(jī)分析技巧和M-矩陣性質(zhì)建立隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)p階指數(shù)穩(wěn)定的分量Razumikhin 型定理,給出一類隨機(jī)時(shí)滯微分系統(tǒng)解指數(shù)穩(wěn)定的新判據(jù).Liu[17]利用Razumikhin 技巧和分量Lyapunov 函數(shù)討論隨機(jī)泛函微分方程的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性,建立隨機(jī)泛函微分方程的Razumikhin 型p階矩指數(shù)輸出狀態(tài)穩(wěn)定性定理.
受他們思想的啟發(fā),本文將利用Razumikhin 技巧和分量Lyapunov 函數(shù)方法,討論一類具有無限時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程的一般衰減率下的穩(wěn)定性問題,建立系統(tǒng)具有一般衰減率的p階矩ψγ穩(wěn)定性和a.s.ψγ穩(wěn)定性的分量Razumikhin 型判別定理,豐富隨機(jī)泛函微分方程穩(wěn)定性的理論.
設(shè)(Ω,,{t}t≥0,是給定的完備概率空間,其中{t}t≥0為σ-代數(shù)流且滿足通常條件.
w(t)=(w1(t),w2(t),…,wm(t))
是定義在該空間上的一個(gè)m- 維布朗運(yùn)動(dòng).記
+=[0,+∞),
CC((-∞,0];d),
設(shè)G為一個(gè)向量或矩陣,用G≥0表示G中所有元素非負(fù),G?0表示G中每個(gè)元素都為正.此外,記Zn×n={A=(aij)n×n:aij≤0,i≠j}.若存在向量x?0,使得矩陣Ax?0,則稱矩陣A∈Zn×n是一個(gè)非奇異M-矩陣.記
ΩM(A)={x∈n|Ax?0,x?0}.
考慮具有無限時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程
d[x(t)-u(xt)]=F(t,xt)dt+G(t,xt)dw(t),
t≥0,
(1)
其中,x(t)是d值的隨機(jī)過程,
xt(θ)= {x(t+θ):-∞<θ≤0 }∈C,
u:C→n為給定的連續(xù)函數(shù),F:+×C→d,以及G:+×C→d×m是Borel 可測(cè)函數(shù)且滿足下面所設(shè)條件.本文約定
則方程(1)可改寫為
t≥0.
(2)
x0(s)=ξ(s), -∞
的全局解x(t,ξ)(簡(jiǎn)記x(t)) 唯一存在(文獻(xiàn)[18]).假設(shè)
u(0)=0,F(t,0)≡0,G(t,0)≡0,
因而方程(1) 始終存在零解.
對(duì)任意W(t,x) ∈C1,2(×d;+),定義
W(t,φ)=W
Wx(t,x(t))G(t,xt)dw(t).
(4)
任給p>0,γ≥0,約定記號(hào)
定義 1.1函數(shù)ψ:→(0,+∞)被稱為ψ-類函數(shù),如果函數(shù)ψ(t)在上是連續(xù)可微的不減函數(shù),并且滿足以下條件:
(i)ψ(0)=1,ψ(∞)=∞;
(ii)ψ1(t)=ψ′(t)/ψ(t),φ=
(iii)ψ(t)ψ(-s)≤ψ(t-s),s,t≥0.
下面使用的函數(shù)ψ(t)均指ψ-類函數(shù).
E|x(t)|p≤Lψ-γ(t),t≥0,
則稱方程(1) 的解x(t)是p階矩ψγ穩(wěn)定的.特別地,當(dāng)ψ(t)=et時(shí),即解x(t)是p階矩指數(shù)穩(wěn)定.
定義 1.3若存在常數(shù)γ>0使得方程(1) 的解x(t)滿足
則稱方程(1) 的解x(t)是a.s.ψγ穩(wěn)定.
定理 2.1令p≥1.若存在
W1,…,Wn∈C1,2(×d;+),
ζi(t)(i=1,…,n)∈C(+;+),
使得ψγ(t)ζi(t)可測(cè),且滿足以下條件:
(i) 存在常數(shù)c1,c2>0,使得
(6)
(ii) 存在常數(shù)κ∈[0,1),使得
E|u(φ)|p≤κp‖φ‖pγ;
(7)
(iii) 設(shè)
Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0
為實(shí)矩陣且Λ-A是非奇異M-矩陣.若存在
使得
(8)
其中
γ=
這里
Γγ=(Γ1,γ(∞),Γ2,γ(∞),…,Γn,γ(∞))∈ΩM(Λ-A),
β=(β1,β2,…,βn)∈ΩM(Λ-A),
則有
(9)
即方程(1) 的零解p階矩ψγ穩(wěn)定.
證明對(duì)任意t∈,η≥0,約定
故對(duì)任意t≥0有
κ1-pE|u(xs)|p]≤
(10)
若要證(9) 式成立,取充分接近于γ的η∈(0,γ),成立不等式
t≥0.
因此,只需證明成立不等式
t≥0.
(11)
由于(10) 式成立,故僅需證明
進(jìn)而只需證明
t≥0
即可.利用條件(i),這又歸于證明不等式
Γri,η(t),t≥0,
(12)
也就是需要證明
Vi(t)ψη(t)EW
c2(1+κ)pβri‖ξ‖pη,t≥0.
(13)
顯然
c2(1+κ)p-1[E|ξ(0)|p+κ‖ξ‖pη]≤
c2(1+κ)pβri‖ξ‖pη.
若(13)式不對(duì)所有的t成立,記常值函數(shù)
Vi(t)≤Ui, ?t∈[0,t*],i=1,2,…,n, (14)
(15)
(16)
應(yīng)用條件(iii),則先驗(yàn)證不等式
事實(shí)上,若t*+θ≥0,則
ψγ(θ)c2E|x(t*+θ)|p≤
若t*+θ≤0,則
c2ψγ(θ)E|x(t*+θ)|p≤
c2ψη(θ)ψ-η(t*+θ)‖ξ‖pη≤
因此,由條件 (iii),有
EW
θ)(c2(1+κ)pβrj‖ξ‖pη+Γrj,η(t*+θ))≤
θ)(c2(1+κ)pβrj‖ξ‖pη+Γrj,η(t*))≤
由Dini 導(dǎo)數(shù)的定義,可知
故有
與(16)式矛盾.證畢.
推論 2.2設(shè)p≥1,若存在
W1,W2,…,Wn∈C1,2(×d;+),c1,c2>0,
使得條件(6) 滿足
ζi(t)(i=1,2,…,n)∈C(+;+),
使得ζi(t)eγt可測(cè),并且
(i) 存在常數(shù)κ∈[0,1),使得
E|u(φ)|p≤κp‖φ‖p0;
(17)
(ii) 設(shè)
Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0
為實(shí)矩陣且Λ-A是非奇異M-矩陣.若存在
和
使得
其中
γ=
這里
Υγ=(Υ1,γ(∞),Υ2,γ(∞),…,Υn,γ(∞))∈
ΩM(Λ-A),
β=(β1,β2,…,βn)∈ΩM(Λ-A),
則有
則方程(1) 的零解p階矩指數(shù)穩(wěn)定.
引理 2.3假設(shè)滿足定理2.1 條件(i).此外,設(shè)
Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0,
B=(bij)n×n≥0
都為實(shí)矩陣.若存在可測(cè)函數(shù)ψγ(t)ν(t),-上的概率測(cè)度ν1,ν2,…,νn,以及函數(shù)
W1,W2,…,Wn∈C1,2(×d;+),
有
|u(φ)|p≤κp|φ|pγ,
(18)
(19)
則當(dāng)Λ-(A+B)是非奇異M-矩陣時(shí),
(20)
這里
γ=
α=(α1,α2,…,αn)∈ΩM(Λ-A),
Ξ=
證明由假設(shè)可知,Λ-(A+B)是非奇異M-矩陣,故存在
α∈ΩM(Λ-(A+B)),
使得
i=1,2,…,n.
(21)
令
則對(duì)任意qi∈(1,βi),有
i=1,…,n.
(22)
顯然γ>0.事實(shí)上,對(duì)任意確定的i,令
由(22) 式可得
則存在唯一的λi>0,使得hi(λi)=0,即
γ=
現(xiàn)證(20)式.利用條件(18) 容易建立不等式
(23)
取充分接近于γ的λ∈(0,γ),因?yàn)?/p>
Wi(t,x)≤c2|x|p,
故只需證
c2ψλ(t)E|x(t)|p≤
由于(23) 式成立,如果有
則只需要證明
(26)
又因?yàn)?/p>
這又歸于證明
i=1,2,…,n.
(27)
現(xiàn)記
(29)
(30)
由(29)式有
所以
(31)
結(jié)合(31) 和(32) 式,有
與(30) 式矛盾,故對(duì)任意t≥0,有(27) 式成立.綜上得證.
定理 2.4令p>1.在引理2.3 條件下,若對(duì)任意i=1,2,…,n,還存在ε,γ>0,D>0,使得
∑ψ-ε(k-1)< ∞,
(33)
(34)
(35)
則
i=1,2,…,n.
(36)
即方程(1) 的零解a.s.ψγ穩(wěn)定.
證明為證明(36)式,只需對(duì)幾乎所有ω∈Ω,都有
ψγ(t)|x(t)|p≤c,t≥0,a.s.,
其中c為常數(shù).由條件(18)有
故只需證
(37)
(38)
將以上不等式轉(zhuǎn)化為如下離散不等式:
若有不等式
由Chebyshev 不等式可得
(
cψ-(γ-ε)(k-1) )≤
這樣bk≤cψ-ε(k-1),進(jìn)而∑bk< ∞.應(yīng)用Borel-Cantelli 引理,當(dāng)t充分大時(shí)有
于是可以得出(38)式a.s.成立.
下證(40)式成立.由引理2.3,記
(41)
因?yàn)閜>1,故有
利用B-D-G 不等式、 Minkowshi 不等式及Jensen 不等式有
又由引理2.3(27)式成立,故對(duì)i=1,2,…,n.有
cψ-γ(k-1),
(44)
cψ-γ(k-1),θ1≤0,
(45)
θ2)dηi(θ2)ds≤αi(Ξ+
cψ-γ(k-1),
(46)
將(44)~(46)式 代入(42)式,可得
即式(40) 成立.綜上,得證.
例子 3.1當(dāng)t≥0時(shí),考慮如下2維非自治系統(tǒng)
(47)
κp‖φ‖pγ.
(48)
若取
對(duì)照定理2.1 中的記號(hào),有
ζi(t)=0,r=2,
及
顯然,μ-A是一個(gè)非負(fù)的M-矩陣.取
β1=2,β2=1,
此時(shí)γ2=0.5.由定理2.1 可得,系統(tǒng)(47) 的平凡解關(guān)于x(t)是均方ψγ穩(wěn)定的.
注若取
可以得到
(49)
若需系統(tǒng)(47) 滿足穩(wěn)定性,此時(shí)
依標(biāo)量型隨機(jī)泛函微分方程穩(wěn)定性條件(參考文獻(xiàn)[1,13]),不存在q滿足方程穩(wěn)定性,故在標(biāo)量的隨機(jī)泛函微分穩(wěn)定性中無法判定.