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        具有無限時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程的分量型ψγ穩(wěn)定性定理

        2022-03-27 07:26:06李樹勇
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        劉 羽, 李樹勇, 肖 可

        (1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學(xué)院, 四川 綿陽 621000)

        中立型隨機(jī)泛函微分方程因?yàn)槠湓诤娇蘸教斓阮I(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注,關(guān)于其系統(tǒng)穩(wěn)定性討論一直是熱點(diǎn)話題且各類穩(wěn)定性結(jié)果已被建立[1-14].例如,Mao[7]討論一類中立型隨機(jī)泛函微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性,利用Razumikhin 技巧建立了系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性和a.s.指數(shù)穩(wěn)定性.Wu等[9]討論了具有無窮時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程在一般衰減率下的幾乎必然穩(wěn)定性條件,并將該條件應(yīng)用于幾乎必然魯棒穩(wěn)定性問題之中.莊劉等[10]利用局部鞅收斂定理和不等式分析技巧 研究了一類中立型隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性,并得到系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性和a.s.指數(shù)穩(wěn)定性.Pavlovic 等[12]基于Razumikhin 方法得到有限時(shí)滯中立型隨機(jī)泛函微分方程在一般衰減率下的p階矩穩(wěn)定性和a.s.穩(wěn)定性的Razumikhin 定理.Wu等[13]討論了具有無界時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程的一般衰減穩(wěn)定性,利用Razumikhin 技巧研究并建立了該系統(tǒng)在一般衰減率下的p階矩ψγ穩(wěn)定性和a.s.ψγ穩(wěn)定性.

        近年來,基于系統(tǒng)的多維性,分量Lyapunov 函數(shù)的Razumikhin 技巧在處理多維隨機(jī)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性中發(fā)揮了重要作用[14-17].例如,Liu等[16]利用隨機(jī)分析技巧和M-矩陣性質(zhì)建立隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)p階指數(shù)穩(wěn)定的分量Razumikhin 型定理,給出一類隨機(jī)時(shí)滯微分系統(tǒng)解指數(shù)穩(wěn)定的新判據(jù).Liu[17]利用Razumikhin 技巧和分量Lyapunov 函數(shù)討論隨機(jī)泛函微分方程的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性,建立隨機(jī)泛函微分方程的Razumikhin 型p階矩指數(shù)輸出狀態(tài)穩(wěn)定性定理.

        受他們思想的啟發(fā),本文將利用Razumikhin 技巧和分量Lyapunov 函數(shù)方法,討論一類具有無限時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程的一般衰減率下的穩(wěn)定性問題,建立系統(tǒng)具有一般衰減率的p階矩ψγ穩(wěn)定性和a.s.ψγ穩(wěn)定性的分量Razumikhin 型判別定理,豐富隨機(jī)泛函微分方程穩(wěn)定性的理論.

        1 基本準(zhǔn)備

        設(shè)(Ω,,{t}t≥0,是給定的完備概率空間,其中{t}t≥0為σ-代數(shù)流且滿足通常條件.

        w(t)=(w1(t),w2(t),…,wm(t))

        是定義在該空間上的一個(gè)m- 維布朗運(yùn)動(dòng).記

        +=[0,+∞),

        CC((-∞,0];d),

        設(shè)G為一個(gè)向量或矩陣,用G≥0表示G中所有元素非負(fù),G?0表示G中每個(gè)元素都為正.此外,記Zn×n={A=(aij)n×n:aij≤0,i≠j}.若存在向量x?0,使得矩陣Ax?0,則稱矩陣A∈Zn×n是一個(gè)非奇異M-矩陣.記

        ΩM(A)={x∈n|Ax?0,x?0}.

        考慮具有無限時(shí)滯的中立型隨機(jī)泛函微分方程

        d[x(t)-u(xt)]=F(t,xt)dt+G(t,xt)dw(t),

        t≥0,

        (1)

        其中,x(t)是d值的隨機(jī)過程,

        xt(θ)= {x(t+θ):-∞<θ≤0 }∈C,

        u:C→n為給定的連續(xù)函數(shù),F:+×C→d,以及G:+×C→d×m是Borel 可測(cè)函數(shù)且滿足下面所設(shè)條件.本文約定

        則方程(1)可改寫為

        t≥0.

        (2)

        x0(s)=ξ(s), -∞

        的全局解x(t,ξ)(簡(jiǎn)記x(t)) 唯一存在(文獻(xiàn)[18]).假設(shè)

        u(0)=0,F(t,0)≡0,G(t,0)≡0,

        因而方程(1) 始終存在零解.

        對(duì)任意W(t,x) ∈C1,2(×d;+),定義

        W(t,φ)=W

        Wx(t,x(t))G(t,xt)dw(t).

        (4)

        任給p>0,γ≥0,約定記號(hào)

        定義 1.1函數(shù)ψ:→(0,+∞)被稱為ψ-類函數(shù),如果函數(shù)ψ(t)在上是連續(xù)可微的不減函數(shù),并且滿足以下條件:

        (i)ψ(0)=1,ψ(∞)=∞;

        (ii)ψ1(t)=ψ′(t)/ψ(t),φ=

        (iii)ψ(t)ψ(-s)≤ψ(t-s),s,t≥0.

        下面使用的函數(shù)ψ(t)均指ψ-類函數(shù).

        E|x(t)|p≤Lψ-γ(t),t≥0,

        則稱方程(1) 的解x(t)是p階矩ψγ穩(wěn)定的.特別地,當(dāng)ψ(t)=et時(shí),即解x(t)是p階矩指數(shù)穩(wěn)定.

        定義 1.3若存在常數(shù)γ>0使得方程(1) 的解x(t)滿足

        則稱方程(1) 的解x(t)是a.s.ψγ穩(wěn)定.

        2 主要結(jié)論

        定理 2.1令p≥1.若存在

        W1,…,Wn∈C1,2(×d;+),

        ζi(t)(i=1,…,n)∈C(+;+),

        使得ψγ(t)ζi(t)可測(cè),且滿足以下條件:

        (i) 存在常數(shù)c1,c2>0,使得

        (6)

        (ii) 存在常數(shù)κ∈[0,1),使得

        E|u(φ)|p≤κp‖φ‖pγ;

        (7)

        (iii) 設(shè)

        Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0

        為實(shí)矩陣且Λ-A是非奇異M-矩陣.若存在

        使得

        (8)

        其中

        γ=

        這里

        Γγ=(Γ1,γ(∞),Γ2,γ(∞),…,Γn,γ(∞))∈ΩM(Λ-A),

        β=(β1,β2,…,βn)∈ΩM(Λ-A),

        則有

        (9)

        即方程(1) 的零解p階矩ψγ穩(wěn)定.

        證明對(duì)任意t∈,η≥0,約定

        故對(duì)任意t≥0有

        κ1-pE|u(xs)|p]≤

        (10)

        若要證(9) 式成立,取充分接近于γ的η∈(0,γ),成立不等式

        t≥0.

        因此,只需證明成立不等式

        t≥0.

        (11)

        由于(10) 式成立,故僅需證明

        進(jìn)而只需證明

        t≥0

        即可.利用條件(i),這又歸于證明不等式

        Γri,η(t),t≥0,

        (12)

        也就是需要證明

        Vi(t)ψη(t)EW

        c2(1+κ)pβri‖ξ‖pη,t≥0.

        (13)

        顯然

        c2(1+κ)p-1[E|ξ(0)|p+κ‖ξ‖pη]≤

        c2(1+κ)pβri‖ξ‖pη.

        若(13)式不對(duì)所有的t成立,記常值函數(shù)

        Vi(t)≤Ui, ?t∈[0,t*],i=1,2,…,n, (14)

        (15)

        (16)

        應(yīng)用條件(iii),則先驗(yàn)證不等式

        事實(shí)上,若t*+θ≥0,則

        ψγ(θ)c2E|x(t*+θ)|p≤

        若t*+θ≤0,則

        c2ψγ(θ)E|x(t*+θ)|p≤

        c2ψη(θ)ψ-η(t*+θ)‖ξ‖pη≤

        因此,由條件 (iii),有

        EW

        θ)(c2(1+κ)pβrj‖ξ‖pη+Γrj,η(t*+θ))≤

        θ)(c2(1+κ)pβrj‖ξ‖pη+Γrj,η(t*))≤

        由Dini 導(dǎo)數(shù)的定義,可知

        故有

        與(16)式矛盾.證畢.

        推論 2.2設(shè)p≥1,若存在

        W1,W2,…,Wn∈C1,2(×d;+),c1,c2>0,

        使得條件(6) 滿足

        ζi(t)(i=1,2,…,n)∈C(+;+),

        使得ζi(t)eγt可測(cè),并且

        (i) 存在常數(shù)κ∈[0,1),使得

        E|u(φ)|p≤κp‖φ‖p0;

        (17)

        (ii) 設(shè)

        Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0

        為實(shí)矩陣且Λ-A是非奇異M-矩陣.若存在

        使得

        其中

        γ=

        這里

        Υγ=(Υ1,γ(∞),Υ2,γ(∞),…,Υn,γ(∞))∈

        ΩM(Λ-A),

        β=(β1,β2,…,βn)∈ΩM(Λ-A),

        則有

        則方程(1) 的零解p階矩指數(shù)穩(wěn)定.

        引理 2.3假設(shè)滿足定理2.1 條件(i).此外,設(shè)

        Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0,

        B=(bij)n×n≥0

        都為實(shí)矩陣.若存在可測(cè)函數(shù)ψγ(t)ν(t),-上的概率測(cè)度ν1,ν2,…,νn,以及函數(shù)

        W1,W2,…,Wn∈C1,2(×d;+),

        |u(φ)|p≤κp|φ|pγ,

        (18)

        (19)

        則當(dāng)Λ-(A+B)是非奇異M-矩陣時(shí),

        (20)

        這里

        γ=

        α=(α1,α2,…,αn)∈ΩM(Λ-A),

        Ξ=

        證明由假設(shè)可知,Λ-(A+B)是非奇異M-矩陣,故存在

        α∈ΩM(Λ-(A+B)),

        使得

        i=1,2,…,n.

        (21)

        則對(duì)任意qi∈(1,βi),有

        i=1,…,n.

        (22)

        顯然γ>0.事實(shí)上,對(duì)任意確定的i,令

        由(22) 式可得

        則存在唯一的λi>0,使得hi(λi)=0,即

        γ=

        現(xiàn)證(20)式.利用條件(18) 容易建立不等式

        (23)

        取充分接近于γ的λ∈(0,γ),因?yàn)?/p>

        Wi(t,x)≤c2|x|p,

        故只需證

        c2ψλ(t)E|x(t)|p≤

        由于(23) 式成立,如果有

        則只需要證明

        (26)

        又因?yàn)?/p>

        這又歸于證明

        i=1,2,…,n.

        (27)

        現(xiàn)記

        (29)

        (30)

        由(29)式有

        所以

        (31)

        結(jié)合(31) 和(32) 式,有

        與(30) 式矛盾,故對(duì)任意t≥0,有(27) 式成立.綜上得證.

        定理 2.4令p>1.在引理2.3 條件下,若對(duì)任意i=1,2,…,n,還存在ε,γ>0,D>0,使得

        ∑ψ-ε(k-1)< ∞,

        (33)

        (34)

        (35)

        i=1,2,…,n.

        (36)

        即方程(1) 的零解a.s.ψγ穩(wěn)定.

        證明為證明(36)式,只需對(duì)幾乎所有ω∈Ω,都有

        ψγ(t)|x(t)|p≤c,t≥0,a.s.,

        其中c為常數(shù).由條件(18)有

        故只需證

        (37)

        (38)

        將以上不等式轉(zhuǎn)化為如下離散不等式:

        若有不等式

        由Chebyshev 不等式可得

        (

        cψ-(γ-ε)(k-1) )≤

        這樣bk≤cψ-ε(k-1),進(jìn)而∑bk< ∞.應(yīng)用Borel-Cantelli 引理,當(dāng)t充分大時(shí)有

        于是可以得出(38)式a.s.成立.

        下證(40)式成立.由引理2.3,記

        (41)

        因?yàn)閜>1,故有

        利用B-D-G 不等式、 Minkowshi 不等式及Jensen 不等式有

        又由引理2.3(27)式成立,故對(duì)i=1,2,…,n.有

        cψ-γ(k-1),

        (44)

        cψ-γ(k-1),θ1≤0,

        (45)

        θ2)dηi(θ2)ds≤αi(Ξ+

        cψ-γ(k-1),

        (46)

        將(44)~(46)式 代入(42)式,可得

        即式(40) 成立.綜上,得證.

        3 例子和數(shù)值模擬

        例子 3.1當(dāng)t≥0時(shí),考慮如下2維非自治系統(tǒng)

        (47)

        κp‖φ‖pγ.

        (48)

        若取

        對(duì)照定理2.1 中的記號(hào),有

        ζi(t)=0,r=2,

        顯然,μ-A是一個(gè)非負(fù)的M-矩陣.取

        β1=2,β2=1,

        此時(shí)γ2=0.5.由定理2.1 可得,系統(tǒng)(47) 的平凡解關(guān)于x(t)是均方ψγ穩(wěn)定的.

        注若取

        可以得到

        (49)

        若需系統(tǒng)(47) 滿足穩(wěn)定性,此時(shí)

        依標(biāo)量型隨機(jī)泛函微分方程穩(wěn)定性條件(參考文獻(xiàn)[1,13]),不存在q滿足方程穩(wěn)定性,故在標(biāo)量的隨機(jī)泛函微分穩(wěn)定性中無法判定.

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