郭文丹，聶麟飛

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

新型冠狀病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019,COVID-19）是一種傳染性極強(qiáng)的多宿主傳染病,其病原體不僅可以在野生動物中長期存活并造成動物之間的傳播,也可以通過野生動物傳播給人類.利用數(shù)學(xué)模型預(yù)測疾病的流行趨勢對評估公共衛(wèi)生和制定防控策略有著重要的意義.目前,新型冠狀病毒肺炎流行病學(xué)模型的研究引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注,得到了一系列重要的研究成果[1-4].眾所周知,從新型冠狀病毒被發(fā)現(xiàn)到疫情在全球各地暴發(fā),人口的流動起到了推波助瀾的作用.事實(shí)上,許多傳染病在傳播過程中,染病者從一個地區(qū)到另一個地區(qū)的遷移也加速了疾病在各個地區(qū)之間的快速蔓延.因此，在過去的幾十年里，眾多國內(nèi)外學(xué)者建立了具有人口遷移影響傳染病的模型,討論了人口遷移對疾病傳播的影響.例如,文獻(xiàn)[5]提出了一類包括感染個體遷移和可變?nèi)丝谝?guī)模在內(nèi)的疾病傳播模型,研究了地方病平衡態(tài)的存在性與穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[6-7]提出了具有種群遷移效應(yīng)的兩斑塊傳染病模型,給出了基本再生數(shù)的表達(dá)式,并討論了遷移率對疾病消除和流行的影響.進(jìn)一步,文獻(xiàn)[8]系統(tǒng)地給出了斑塊環(huán)境的傳染病模型基本再生數(shù)的第二代矩陣方法.對于斑塊遷移模型的研究還有一系列重要的成果[9-10].基于目前新型冠狀病毒肺炎在世界各地區(qū)不斷蔓延，人口流動的不斷增加以及無癥狀感染者的不斷涌現(xiàn),本文提出了具有人口遷移和無癥狀感染者的兩斑塊COVID-19傳播模型,研究模型各類平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性,探討防控措施對疾病流行的影響.

1 模型建立

根據(jù)COVID-19的主要流行病特征,將兩個區(qū)域的人群分為以下五類:易感人群、無癥狀感染人群、有癥狀感染人群、隔離的人群和康復(fù)人群,他們在t時刻的數(shù)量分別記為Si(t),Ai(t),Ii(t),Qi(t),Ri(t)(i=1,2);將媒介分為兩類:易感媒介和染病媒介,它們在t時刻的數(shù)量分別記為Sv(t),Iv(t).假設(shè)在第一個斑塊上,COVID-19不僅在野生動物間傳播,也通過野生動物傳播給人類,同時病毒也在人與人之間傳播;而在第二個斑塊上,考慮到區(qū)域的差異性,病毒僅在人與人之間傳播.進(jìn)一步,假設(shè)兩個斑塊之間僅考慮單向遷移,即斑塊1的人群會向斑塊2遷移.根據(jù)以上假設(shè),建立如下常微分方程模型

模型其它參數(shù)及生物解釋如下:Λi和Λv分別為人類和野生動物的補(bǔ)充率,μi和μv分別為人類和野生動物的自然死亡率,βvh為病毒從感染野生動物到易感人類的傳播率,βvv為病毒從感染野生動物到易感野生動物的傳播率,βi為病毒從無癥狀感染者到易感人類的傳播率,piβi為病毒從有癥狀感染者到易感人類的傳播率(0

是模型(1)和(2)的正不變集.本文主要在Ω區(qū)域內(nèi)研究模型(1)和模型(2)的動力學(xué)性質(zhì).

2 無遷移模型的無感染平衡態(tài)的穩(wěn)定性

為確保疾病的消除與初始狀態(tài)無關(guān),需要驗(yàn)證無感染平衡態(tài)E01是全局漸近穩(wěn)定的.目前,統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,大部分易感者被COVID-19感染后都會經(jīng)歷無癥狀感染期,且在無癥狀階段具有一定的感染力.下面的結(jié)論給出了κ1=0時無感染平衡態(tài)E01的全局漸近穩(wěn)定性.

因此,若R01<1,則dV(t)/dt ≤0,且{E01}是{(S1,A1,I1,Sv,Iv)∈Ω|dV(t)/dt=0}中最大的不變集.由LaSalle不變原理[12]可知,E01在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

對于模型(2),如果不考慮遷移效應(yīng)對疾病傳播的影響,即,m=0,類似于模型(1)的討論,模型(2)的基本再生數(shù)為

類似于定理1和2的證明,有下面的結(jié)論.

定理3若m=0且R02<1,則模型(2)的無感染平衡態(tài)E02(Λ2/μ2,0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的,R02>1,則不穩(wěn)定.

定理4若κ2=m=0且R02<1,則模型(2)的無感染平衡態(tài)E02是全局漸近穩(wěn)定的.

3 無遷移效應(yīng)模型的地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性

由于地方病平衡態(tài)的表達(dá)式相對復(fù)雜,這就導(dǎo)致在驗(yàn)證特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時的閾值條件下很難驗(yàn)證.雖然這個工作可以借助數(shù)學(xué)軟件來完成,但是整個過程過于繁瑣且得到的條件很難驗(yàn)證.因此,此處僅討論κ1=βvh=0時模型(1)地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性.

因此,由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知,當(dāng)R01>1時,特征方程H2(λ)=0的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部.進(jìn)而,特征方程(5)的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部.即,模型(1)的地方病平衡態(tài)E1*是局部漸近穩(wěn)定的.

關(guān)于模型(1)中疾病的一致持久性有下面的結(jié)論.

定理6若βvh=0且R01>1,則模型(1)是一致持久的.即,存在正常數(shù)ε,使得liminft→∞(S1(t),A1(t),I1(t),Q1(t),R1(t),Sv(t),Iv(t))≥(ε,ε,ε,ε,ε,ε,ε).

證明由模型(1)的第一個和第六個方程可知

4 全系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定理11若R01>1,全系統(tǒng)(1)和(2)是一致持久的.

注定理11表明,如果高風(fēng)險地區(qū)的疫情得不到控制,那么要么徹底阻斷高風(fēng)險地區(qū)向低風(fēng)險地區(qū)的人口流動,要么對高風(fēng)險地區(qū)的流出人員進(jìn)行必要的篩查和隔離措施,把牢外防輸入關(guān)口.

5 數(shù)值模擬

為了解釋主要的理論結(jié)果,探討防控措施的有效性,我們給出相應(yīng)的數(shù)值模擬,這里使用四階的Runge-Kutta方法和數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬.選取模型的基本參數(shù)為

直接計算基本再生數(shù)為R0=0.93<1,此時染病人口和染病媒介的數(shù)量均趨于零,即無感染平衡態(tài)E0是局部漸近穩(wěn)定的,如圖1左圖所示.而當(dāng)R0=14.878 6>1,圖1右圖表明地方病平衡態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的.

圖1 系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)無感染平衡態(tài)和地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性

下面討論隔離率和人口遷移率對COVID-19傳播的影響.為此,依次選取隔離率q1的值為0.07,0.09,0.11,從圖2的左圖不難看出,隨著q1增大第一個斑塊的染病人數(shù)顯著減小.換句話說,在疾病的傳播過程中對染病者進(jìn)行及時有效的隔離,是控制疾病的重要措施之一.另一方面,如果將第一斑塊到第二斑塊的遷移率m的值從0.1增加到0.2和0.3,圖2的右圖顯示隨著m的增加,第二個斑塊病例的峰值有明顯的增加,這將對第二斑塊的疫情防控帶來極大的隱患,給有限的醫(yī)療資源帶來嚴(yán)峻挑戰(zhàn),特別是發(fā)展中國家和欠發(fā)達(dá)地區(qū).因此,對本地區(qū)的COVID-19的疑似病例或確診病例進(jìn)行必要的隔離,對疫情高風(fēng)險地區(qū)的外來人口實(shí)施嚴(yán)格的醫(yī)學(xué)觀察依舊是當(dāng)前乃至今后一段時期疫情防控的重要措施.

圖2 隔離率q1以及遷移率m對COVID-19的影響

6 結(jié)論與討論

考慮到地區(qū)之間的人口流動和COVID-19傳播過程中無癥狀感染者的普遍存在性,以及基于當(dāng)前疫情防控措施,本文提出了一類具有人口遷移效應(yīng)和隔離策略的兩斑塊COVID-19傳播數(shù)學(xué)模型.首先,不考慮遷移效應(yīng)下,給出了各子系統(tǒng)的基本再生數(shù)的精確表達(dá)式,其決定了無感染平衡態(tài)和地方病平衡態(tài)的存在性與穩(wěn)定性,以及疾病的持久性.進(jìn)一步,討論了全系統(tǒng)的無感染平衡態(tài)的穩(wěn)定性,以及各斑塊基本再生數(shù)大于1或小于1的情形下全系統(tǒng)各類邊界平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性,疾病的持久性.

在當(dāng)前疫情防控局勢依舊嚴(yán)峻,國內(nèi)疫情零星散發(fā),在全國復(fù)工復(fù)產(chǎn)有序推進(jìn)下,人口流動不可避免.在此背景下,各個地區(qū)如何采取有效的防控措施,降低疫情對人民生產(chǎn)生活的影響,一直是各級政府和疾病防控部門關(guān)注的重點(diǎn)問題之一.依據(jù)本文所建立的模型和得到的理論結(jié)果與數(shù)值模擬,我們不難發(fā)現(xiàn):(1) 嚴(yán)把高風(fēng)險地區(qū)人員的流出,特別是對高風(fēng)險地區(qū)流出人員進(jìn)行必要的篩查并進(jìn)行醫(yī)學(xué)觀察是低風(fēng)險地區(qū)疫情防控的第一道防線;(2) 對于低風(fēng)險地區(qū)內(nèi)部,疫情防控的重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在對高風(fēng)險人群的定期篩查方面,通過及時的篩查將無癥狀感染者在感染初期識別出來并進(jìn)行有效的隔離,避免疫情反彈.