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        Schr?dinger方程解的點態(tài)收斂性

        2022-03-26 09:16:44
        關(guān)鍵詞:定義

        胡 蘭

        (湖南工程學(xué)院 計算科學(xué)與電子學(xué)院,湘潭 411104)

        1 引言及主要結(jié)果

        設(shè)f∈L2(Rn),n≥1.f的Fourier變換為:

        Carleson[1]最早研究了u(x,t)的幾乎處處收斂性.他證明了:若n=1,f(x)∈Hs(R)且s≥1/4,那么當(dāng)t→0+時u(x,t)幾乎處處收斂于f(x).同時,他構(gòu)造了f(x),u(x,t)幾乎處處無界發(fā)散.之后,Dahlberg和Kenig[2]指出s≥1/4是充要條件.當(dāng)n=2時,Sj?lin、Bourgain、Moyua-Vargas-Vega等討論了u(x,t)的幾乎處處收斂性[3-5].基于拋物面的雙線性限制性估計理論的發(fā)展,Tao-Vargas[6]和Tao[7]分別在s>15/32與s>2/5的條件下證明了收斂性.而更進一步,Lee[8]把正則性條件減弱為s>3/8.當(dāng)n>2,Bourgain[9]指出收斂性成立的條件是s>1/2-1/(4n).在這些文獻中,研究者都是把收斂性的證明轉(zhuǎn)化為算子有界性來證明.施咸亮[10]討論了n=1時的情形,給出了另一種形式的幾乎處處收斂的判別法.為了陳述他的結(jié)果,先介紹一些概念.

        定義1.設(shè)f是R上的局部可積函數(shù).x∈R是f的一個Lebesgue點,如果-f(x)|du=0.

        定義2.設(shè)Λ={}λk為給定的正的遞增數(shù)列,且Σ1/λk=∞.對于R上任意的緊區(qū)間I和f(x)∈L(I)定義:

        μI(f)=若{Ik}為R上不重疊區(qū)間列,f(x)在R上局部可積,且

        其中ω(u)是定義在[0,+∞)上的非負(fù)函數(shù).

        將證明下述定理.

        定理1.設(shè)f(x)∈L2(R)有緊支集,ω(u)=uα-1,0<α<1/2.那么當(dāng)λ→+∞時,在f(x)的Lebesgue點Sω,λ(f,x)收斂于f(x).

        定理1改進了定進A和定理B,使收斂性成立由ΛBMVc(R)空間擴展為L2(R).函數(shù)f∈ΛBMVc(R)是較難判別的,但函數(shù)f∈L2(R)容易判別.

        2 相關(guān)引理

        3 定理的證明

        最后由(8),(29),(30)式,定理得證.

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