浙江臺州市椒江區(qū)前所中心校 蔣開林

浙江臺州市椒江區(qū)中山小學 張優(yōu)幼

基于多元表征的極限感知
——從“兔子怎樣追上烏龜”談起

浙江臺州市椒江區(qū)前所中心校 蔣開林

浙江臺州市椒江區(qū)中山小學 張優(yōu)幼

數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，要想學好數(shù)學、用好數(shù)學，就要深入到數(shù)學的“靈魂深處”。極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想，在分析問題和解決問題中有著無法替代的作用。小學階段，可以讓學生借助多元表征來感知極限：借助圖形表征顯性外化，直觀感知無限；借助數(shù)字表征遷移經(jīng)驗，初次感知極限；借助動作表征動態(tài)演繹，孕伏極限思維；通過思維的抽象逆推深化，內(nèi)化極限思維。

小學數(shù)學 思想方法 極限思想 多元表征

曾有學生興沖沖地跑來告訴我，他有一個驚奇的發(fā)現(xiàn)：龜兔賽跑，如果烏龜先跑一會兒，然后再兔子開始跑，不管兔子有多快，永遠也追不上烏龜！這激起了我的好奇心，怎么可能，兔子比烏龜跑得快，只要有足夠的時間，兔子肯定能超過烏龜，怎么會永遠也追不上？雖然第一反應(yīng)是想給他舉個例子，潑一盆冷水，但快到嘴的話，又被我給硬生生地逼回去。該學生思維活躍，平時愛動腦筋，顯而易見的錯誤不會犯。接著，我追問他這烏龜是怎么辦到的。

于是，他一邊拿起筆來畫圖，一邊說：假如兔子的速度是烏龜?shù)?倍，先讓烏龜先跑128米，到達A點。然后兔子再出發(fā)，等兔子跑到A點的時候，烏龜在這段時間里已經(jīng)又跑了64米到B點。等兔子跑到B點的時候，烏龜又前進了32米到C點……（見下表）

兔子0 1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 1 1 2 4 8烏龜1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 1 1 2 4 8 1 1 6 離1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 距1 1 2 4 8 1 1 6

就這樣一直下去，每次前進的路程是前一段的一半。雖然兔子離烏龜越來越近，但烏龜總能再往前一點點。從這一點點分析中，學生的思維和結(jié)論愈加清晰。如果按照這樣的規(guī)律無限進行下去，兔子似乎印證了《莊子》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，掉進了無限的“陷阱”中，永遠也追不上烏龜！解決這樣無限的問題，需要讓學生充分感知，最終把無限轉(zhuǎn)化為有限，感知極限思想，讓兔子能夠“追”上烏龜。

一、借助形的形象顯性外化

圖1

二、借助數(shù)的經(jīng)驗遷移感知

無數(shù)次的追趕、無數(shù)次的逼近，是怎樣追上的？解決的方法就像思維深處有一只頑皮的小貓，知道它的存在，卻難以捉到。因此，我們可以借助數(shù)的經(jīng)驗，通過數(shù)字表征，借助0和1的大小比較，在遷移中尋求答案。

圖2

借助這次對于數(shù)的驗證經(jīng)驗，通過遷移讓學生感知：那只“兔子”像“0”，那只“烏龜”像“1”，看起來似乎怎么追也追不上，但經(jīng)驗告訴我們“兔子”是有可能追上的！把不可能轉(zhuǎn)化為有可能，這是極限思想的魅力之一。

三、借助直觀的操作動態(tài)演繹

想跳出“無限”的陷阱，要先跳出思維的陷阱。借助對于“0.=1”的驗證經(jīng)驗，我讓學生用手指代表0.，隨著小數(shù)部分的展開，讓學生在數(shù)軸上指出0.在數(shù)軸上的位置。0.9、0.99……學生的指尖不斷接近“1”，但又不敢碰到“1”。此時，我讓學生展開思維的翅膀，當小數(shù)部分展開有無數(shù)個9的時候，應(yīng)該指到哪里？由于學生已經(jīng)有“0= 1”論證結(jié)論，學生最終指向“1”的位置。通過手指的動態(tài)演示，讓學生感知在無限逼近的瞬間，有可能達到最終目標。

接著，我讓學生用折線統(tǒng)計圖來表示龜兔賽跑（烏龜?shù)乃俣仁?米/秒，兔子的速度是烏龜?shù)?倍，烏龜先跑1秒，兔子開始出發(fā)），學生繪制相應(yīng)的統(tǒng)計圖（如圖3）。我讓學生分別用兩只手的食指代表兔子和烏龜，借助動作表征來動態(tài)演繹龜兔賽跑的情境。每一次追逐，兔子不斷地逼近烏龜，在第2秒到第3秒之間，學生的動作也越來越慢，演繹著一次又一次的追逐。當指到兩條線的交點處，最終兔子終于追上了烏龜。在接近第3秒的一瞬間，隱藏著無數(shù)次的追逐。通過這樣的動態(tài)演繹，把極限的種子孕伏到學生的思維中去。

四、通過思維的逆推內(nèi)化頓悟

極限思想看似離小學數(shù)學很遠，但不管是在數(shù)與代數(shù)，還是在圖形與幾何、概率和統(tǒng)計中，都蘊含著極限思想。0 到1之間有無數(shù)個小數(shù)；在圓的面積計算公式的推導過程中，把圓形平均分成無數(shù)份，最后能組成一個長方形……小學階段諸多的“無數(shù)個”，都滲透著無限和極限。這有待我們不斷挖掘極限的素材，讓學生去充分感知。借助圖形、數(shù)字、動作操作等多元表征，讓學生通過直觀感知、經(jīng)驗遷移、動態(tài)演繹和抽象內(nèi)化，自主探究、感知極限，孕伏下極限思維的種子。靜待花開，小學階段孕伏的這顆思維種子，也許會在學生今后的數(shù)學學習中綻放出極限的魅力。?

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