楊芳芳，楊斌鑫

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

Fe-Cu合金除了是具有重要技術(shù)意義的合金系統(tǒng)外，由于彼此之間幾乎沒有固溶性，因此經(jīng)常在實(shí)驗(yàn)研究中用作模型系統(tǒng)。關(guān)于Fe-Cu合金系統(tǒng)中富Cu相的析出順序有很多研究[1-3]。普遍認(rèn)為，初始沉淀開始于與鐵基體相干的亞穩(wěn)體心立方(bcc)相[4-6]。在隨后的生長和粗化過程中，析出物經(jīng)歷了六方有序相(9R和3R)的斷層結(jié)構(gòu)，最終成為Cu的平衡面心立方(fcc)結(jié)構(gòu)[2]。有研究表明其他合金元素(如鎳和錳)的存在會(huì)導(dǎo)致形成具有富Ni-Mn的金屬間B2環(huán)和富銅的核的環(huán)/核沉淀物形態(tài)[7-8]。該熱穩(wěn)定的金屬間相的存在阻止了進(jìn)一步的擴(kuò)散生長，從而導(dǎo)致稍后富含銅的沉淀物緩慢變粗。此外，金屬間B2殼層充當(dāng)緩沖層，以緩解Cu析出物與Fe基體之間的晶格失配應(yīng)變。由于Fe-Cu合金在工業(yè)中得到了廣泛使用，因此概述了幾種建模和模擬方法來量化沉淀動(dòng)力學(xué)[9]。CALPHAD(CAL的PHAse圖的模擬)數(shù)據(jù)庫已用于Fe-Cu-Mn-Ni系統(tǒng)的熱力學(xué)描述，以便定量預(yù)測(cè)在相場(chǎng)公式內(nèi)旋節(jié)線狀態(tài)下的微觀結(jié)構(gòu)演變建模[10]。

由于有限差分法和有限元法具有局部特征，通常未知函數(shù)由小子域上的低階多項(xiàng)式來解釋。相反，頻譜方法通常使用高階多項(xiàng)式或傅立葉級(jí)數(shù)來表示全局[11-12]。頻譜逼近的收斂速度僅取決于解的光滑度，與其他兩種方法相比，它們以更少的采樣點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了更高的精度。這個(gè)事實(shí)在很多文獻(xiàn)中被稱為“光譜準(zhǔn)確性”。頻譜方法最常在周期性的域中獲得成功，這在大多數(shù)相場(chǎng)建模仿真中都是如此。傅里葉譜方法作為一種求解偏微分方程的數(shù)值計(jì)算方法，將偏微分方程的解近似地展開成光滑函數(shù)的有限級(jí)數(shù)展開式，再由此有限級(jí)數(shù)展開式與偏微分方程，求解得到有限級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)方程組。使用傅里葉譜方法求解相場(chǎng)方程，不需要繼續(xù)計(jì)算復(fù)雜的九點(diǎn)差分格式的算子，并且對(duì)于與周期性邊界條件，傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算更為便捷，譜方法的精度更為準(zhǔn)確，相比有限差分方法，傅里葉譜方法的使用大大加快了求解相場(chǎng)方程的運(yùn)算速度，提高了數(shù)值計(jì)算與數(shù)值模擬的效率[13-17]。

合金的研究一直以來都是各個(gè)工業(yè)領(lǐng)域研究的重點(diǎn)內(nèi)容，合金具有硬度大，熔點(diǎn)低，可塑性好等特點(diǎn)。合金對(duì)溫度非常敏感[18]，研究合金與溫度場(chǎng)的關(guān)系也成了重要課題。本文的目的是在Fe-Cu-Ni-Mn合金系統(tǒng)中利用傅里葉譜方法進(jìn)行數(shù)值求解以及數(shù)值模擬，參考傅里葉譜方法在相場(chǎng)方程中的應(yīng)用[19]。研究了恒溫條件下合金析出行為[20]，并增加非恒溫溫度場(chǎng)的條件，觀察在此條件下對(duì)于四元合金析出行為的影響[21]。得出結(jié)論，與恒溫條件下相比較，非恒溫溫度場(chǎng)的條件下合金各元素在溫度高的地方的析出更快更明顯。

1 相場(chǎng)方程的建立

1.1 相場(chǎng)控制方程

用文獻(xiàn)[10]中的Fe-Cu-Mn-Ni體系的公式。由Cahn-Hilliard和Allen-Cahn方程控制的自由能減少驅(qū)動(dòng)的多組分合金系統(tǒng)的微觀結(jié)構(gòu)演變：

(1)

(2)

其中ci(r,t)描述合金元素的濃度場(chǎng)(作為空間位置r和時(shí)間t的函數(shù))(即，對(duì)于Fe，Cu，Mn和Ni分別為i=1,2,3,4)。相場(chǎng)變量η(r,t)表征了Cu沉淀物中α(bcc)和β(fcc)相的相分布，取0

Mi(η,T)=

(3)

總自由能F包括因組成和相不均勻性引起的短程相互作用以及長程彈性相互作用，可表示為[10]：

F=

(4)

(5)

在具有磁性貢獻(xiàn)的Fe-Cu-Mn-Ni四元體系中，φ相(φ=α或γ)的吉布斯能量函數(shù)可以通過次正規(guī)解來近似[10]。

(6)

(7)

1.2 溫度場(chǎng)控制方程

由焓守恒定律導(dǎo)出的溫度場(chǎng)T的演化方程：

(8)

上式中T無量綱化的溫度。τ是一種無量綱潛熱，它與潛熱成正比，與冷卻強(qiáng)度成反比。

2 用傅里葉譜方法演化相場(chǎng)模型

2.1 Cahn-Hilliard方程的離散化

通過在式(1)中取函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

(9)

通過對(duì)式(1)兩邊進(jìn)行傅里葉變換得到空間離散化公式：

(10)

通過隱式地處理線性和二階算子，并顯式地處理其他項(xiàng)，式(10)的半隱式形式是：

(11)

重新排列可得：

(12)

其中Δt是n+1和n之間的時(shí)間增量，{·}k是括號(hào)內(nèi)數(shù)量的傅里葉變換，κ是傅里葉空間中的向量。

2.2 Allen-Cahn方程的離散化

通過在(2)中取函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

(13)

通過對(duì)式(2)兩邊進(jìn)行傅里葉變換得到空間離散化公式：

(14)

通過隱式地處理線性和二階算子，并顯式地處理其他項(xiàng)，式(14)的半隱式形式是

(15)

重新排列可得：

(16)

其中Δt是n+1和n之間的時(shí)間增量，{·}k是括號(hào)內(nèi)數(shù)量的傅里葉變換，κ是傅里葉空間中的向量。

2.3 溫度場(chǎng)的離散化

對(duì)溫度場(chǎng)方程(8)進(jìn)行傅里葉譜變換：

(17)

式(17)的半隱式形式是：

(18)

Δt是時(shí)間步長n+1和n之間的時(shí)間增量，通過重新排列式(18)，得：

(19)

3 模擬結(jié)果

在具有網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)Nx=Ny=128的仿真單元，網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離dx=dy=0.5，合金標(biāo)稱成分選擇為15%的Cu，1%的Ni和1%的Mn中進(jìn)行仿真。利用傅里葉譜方法對(duì)此方程進(jìn)行了求解，并在此方法的基礎(chǔ)上增加了溫度場(chǎng)方程，對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果如下圖：

圖1展示了合金元素Cu、Mn、Ni以及序參量在恒溫T=823 K狀態(tài)下的時(shí)間演變。從圖中可以看出Cu的沉淀物先從過飽和固溶體中均勻析出，Cu析出物變得粗大且尺寸增加，Ni和Mn移至Cu析出物與Fe基體之間的界面區(qū)域，最終形成了環(huán)形/殼層。

圖1 合金在恒溫狀態(tài)下的時(shí)間演變

圖2展示了合金在加入非恒溫溫度場(chǎng)條件下的時(shí)間演變。從結(jié)果圖中可以看出依然是Cu的沉淀物先從過飽和固溶體中均勻析出，且在加入非恒溫溫度場(chǎng)的情況下，Cu、Mn、Ni的析出更快；在溫度較高的地方，合金元素析出的更快。

圖2 合金在加入非恒溫溫度場(chǎng)條件下的時(shí)間演變

4 結(jié)論分析

推導(dǎo)了由Cahn-Hilliard和Allen-Cahn方程控制的自由能減少驅(qū)動(dòng)的多組分合金系統(tǒng)的微觀結(jié)構(gòu)演變方程，進(jìn)而建立并求解了非恒溫溫度場(chǎng)方程在合金系統(tǒng)中的模型。得到了非恒溫溫度場(chǎng)對(duì)合金中各元素析出的影響。結(jié)果表明：兩次模擬中都是Cu的沉淀物先從過飽和固溶體中析出，Mn、Ni隨后析出；在此階段，Ni和Mn是在固溶體和沉淀之間分配。隨著時(shí)間的行進(jìn)，對(duì)于模擬一，Cu析出物變得粗大且尺寸增加，Ni和Mn移至Cu析出物與Fe基體之間的界面區(qū)域，最終形成了環(huán)形/殼層。而模擬二中，在相場(chǎng)中加入溫度場(chǎng)，可以看出溫度隨著序參量的變化而變化，進(jìn)而影響合金的析出。溫度場(chǎng)的加入使得Cu析出物變得粗大且尺寸增加，Ni和Mn移至Cu析出物與Fe基體之間的界面區(qū)域，最終形成了環(huán)形/殼層的過程變得更短暫更快速，且Cu和Ni、Mn在溫度較高的地方析出也更快更明顯。