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        用常規(guī)思維解決非常規(guī)問題

        2022-03-25 01:59:50盧紅衛(wèi)
        中學數(shù)學雜志 2022年3期
        關(guān)鍵詞:思路思維學生

        盧紅衛(wèi)

        (江蘇省張家港市外國語學校 215600)

        2021年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試第7題看似形式復(fù)雜,實則用簡潔的常規(guī)思路即可解決.

        題目

        a

        ,

        a

        ,…,

        a

        為1,2,…,21的排列,滿足|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |≥…≥|

        a

        -

        a

        |,這樣的排列的個數(shù)為

        .

        思路1 特殊開路,歸納猜想.

        a

        ,

        a

        ,…,

        a

        為1,2,…,5的排列,滿足|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |這樣的排列的個數(shù)

        N

        =1+2+2+2+1.

        a

        ,

        a

        ,…,

        a

        為1,2,…,7的排列,滿足|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |≥…≥|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |這樣的排列的個數(shù)

        N

        =1+2+2+2+2+2+1.歸納猜想:

        a

        ,

        a

        ,…,

        a

        為1,2,…,21的排列,滿足|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |≥|

        a

        -

        a

        |≥…≥|

        a

        -

        a

        |這樣的排列的個數(shù)

        N

        =1+2+ 2+…+2+2+2+…+2+1=3 070.

        思路2 利用數(shù)軸,一一羅列.

        數(shù)軸上標號為

        i

        (

        i

        =1,2,3,…,20,21)的點記為

        P

        ,共有21個點,

        a

        ,

        a

        ,…,

        a

        分布在這21個點,|

        a

        -

        a

        |表示數(shù)軸上兩點距離.當

        a

        P

        處,則

        a

        (

        i

        =1,2,…,20)在

        P

        +1處,這樣的排列數(shù)為

        N

        =1.當

        a

        P

        處,則

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為1的

        P

        ,

        P

        兩點,

        a

        (

        i

        =3,4,…,20)在

        P

        +1處,這樣的排列數(shù)為

        N

        =2.當

        a

        P

        處,則

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為1的

        P

        ,

        P

        兩點,

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為2的

        P

        ,

        P

        兩點,

        a

        (

        i

        =5,6,…,20)在

        P

        +1處,這樣的排列數(shù)為

        N

        =2.

        ……

        a

        P

        處,則

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為1的

        P

        ,

        P

        兩點,

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為2的

        P

        ,

        P

        兩點,……,

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為10的

        P

        ,

        P

        兩點,這樣的排列數(shù)為

        N

        =2.當

        a

        P

        處,則

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為1的

        P

        ,

        P

        兩點,

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為2的

        P

        ,

        P

        兩點,……,

        a

        ,

        a

        在離

        P

        距離為9的

        P

        ,

        P

        兩點,

        a

        P

        a

        P

        ,這樣的排列數(shù)為

        N

        =2.

        ……

        a

        P

        處,則

        a

        (

        i

        =1,2,3,…,20)依次分布在

        P

        21-處,這樣的排列數(shù)為

        N

        =1.

        綜上,

        思路3 尋找規(guī)律,合理分類.

        因為

        a

        為特殊元素,抓住

        a

        進行分類討論,又根據(jù)對稱性,不難發(fā)現(xiàn):

        a

        =1和

        a

        =21時,|

        a

        -

        a

        |的所有取值情況是一樣的,

        a

        =2和

        a

        =20時,|

        a

        -

        a

        |的所有取值情況是一樣的,

        a

        =

        i

        a

        =22-

        i

        i

        ∈{1,2,…,10}時,|

        a

        -

        a

        |的所有取值情況是一樣的.設(shè)

        a

        =

        k

        ,

        k

        ∈{1,2,…,10,11},對

        i

        =1,2,…,

        k

        -1,有

        a

        2-1,

        a

        2

        k

        -

        i

        ,

        k

        +

        i

        的排列(若

        k

        =1,沒有這樣的

        i

        ),且

        a

        =

        j

        +1(2

        k

        -1≤

        j

        ≤20)(若

        k

        =11,則沒有這樣的

        j

        ),因此

        評析

        思路1通過特殊化思想的運用,先思考兩次數(shù)字較少的情形,很容易得到相應(yīng)的排列數(shù),再通過歸納猜想,就很容易得到此題的正確答案.思路2很好地利用了數(shù)軸這個有力工具,在黑板上直觀呈現(xiàn),排好

        a

        的位置后,讓學生動手操作排

        a

        的位置,隨著

        a

        的變化,學生很容易得出相應(yīng)的排列數(shù).思路3是在思路2的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了

        a

        =

        i

        a

        =22-

        i

        ,

        i

        ∈{1,2,…,10}時,|

        a

        -

        a

        |的所有取值情況是一樣的,因為存在對稱性,所以設(shè)

        a

        =

        k

        ,只需考慮

        k

        ∈{1,2,…,10,11}的情形.數(shù)軸上的操作已經(jīng)讓學生明白其基本原理,學生嘗試總結(jié),教師通過適當輔助,完成

        a

        2-1,

        a

        2

        k

        -

        i

        ,

        k

        +

        i

        的排列(若

        k

        =1,沒有這樣的

        i

        ),且

        a

        =

        j

        +1(2

        k

        -1≤

        j

        ≤20)(若

        k

        =11,則沒有這樣的

        j

        )這樣的規(guī)律總結(jié).整個思維過程順暢,簡潔易懂,學生對解決此類問題所用的研究思路有了深刻感悟.緊接著,筆者給出了以下題目讓學生練習:已知數(shù)列

        a

        =2(

        k

        =1,2,3,…,

        n

        ),則所有可能的乘積

        a

        a

        (1≤

        i

        j

        n

        )的和等于

        .

        課堂上學生很快給出了如下兩種思路:

        思路1 列舉找通項.

        以上求和抓通項,2(2+ 2+1+…+2)=2[(2+2+…+2)-(2+ 2+…+2-1)]=2(2+1-2)=2++1-22,于是

        思路2 利用數(shù)表,直觀呈現(xiàn).

        a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan

        容易得到以上數(shù)表各項和為再將以上數(shù)表分解成左、中、右三個部分(圖1).由對稱性可知,圖1中左和右兩部分各項之和相等,圖1中間部分的各項之和為圖1右邊部分的各項之和為

        圖1

        圖1中間和右邊的各項之和即為所求

        評析

        練習與例題看似不相關(guān)的兩個問題,實則所用的思想方法類似,都是通過特值開路、一一羅列后探求規(guī)律.而數(shù)軸、數(shù)表都是教材上常見的工具,通過這些直觀工具的運用,在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.練習思路1先是取

        i

        =1,羅列

        a

        a

        (1≤

        j

        n

        )所有項的和,再取

        i

        =2,羅列

        a

        a

        (2≤

        j

        n

        )所有項的和,接著找出通項為2(2+2+1+…+2),化簡通項得2++1-22,最后為兩個等比數(shù)列求和.競賽題的思路2利用數(shù)軸,練習的思路2則利用數(shù)表直觀呈現(xiàn),學生通過觀察可將數(shù)表分解為三個部分,由對稱性知左右兩部分各項和相等,中間和右邊各項和即為所求.

        若缺少學生動手操作和數(shù)表呈現(xiàn),直接給出以下答案解法:學生必定陷入深深的焦慮,教學效果可想而知.

        如何提升優(yōu)秀學生的數(shù)學思維,面對復(fù)雜問題,突破思維壁壘,是值得我們思考的問題.數(shù)學競賽題復(fù)雜多變,怎樣在錯綜復(fù)雜中尋找到最佳路線,需要的是巧做、化繁為簡,利用常規(guī)思維方法來思考并解決復(fù)雜問題.學生通過動手操作,發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)規(guī)律,克服畏難情緒,增強學習信心,從而提高學習效率,形成優(yōu)秀的思維品質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng).

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