衛(wèi)福山

(上海市松江二中 201600)

1 基本概念

(1)數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學

數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學，就是從數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計和組織教學，以完善和發(fā)展學生原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程.美國心理學家布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務(wù)必使學生理解學科的基本結(jié)構(gòu).”這里數(shù)學的基本結(jié)構(gòu)包括了數(shù)學的基本觀念(數(shù)學概念、命題、思想方法)以及這些數(shù)學觀念的內(nèi)在聯(lián)系、學習態(tài)度和方法等.

(2)數(shù)學思想方法

數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學方法是人們從事數(shù)學活動時所使用的方法.數(shù)學思想與數(shù)學方法既有聯(lián)系又有區(qū)別，思想是對事物和客觀規(guī)律的本質(zhì)的概括認識，而方法是達成這種認識的手段和步驟.張奠宙教授指出：“同一個數(shù)學成就，當用它去解決別的問題時，稱之為方法，當評價它在數(shù)學體系中的自身價值和意義時，稱之為思想.”因此，數(shù)學思想與數(shù)學方法有時不加區(qū)別，常?；煊没蚝嫌?，統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法.

2 高中數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)——以上海2020年高中數(shù)學新教材為例

北京師范大學數(shù)學系教授、人民教育出版社普通高中課程標準實驗教科書主編劉紹學先生在《中學數(shù)學概觀》中指出：“在進行具體內(nèi)容的教學時，對它在中學數(shù)學整體結(jié)構(gòu)中的位置有一清晰的了解是重要的，為此需要對中學數(shù)學有一個概括性的描述.這里我把中學數(shù)學概括為一些知識點，并選擇‘數(shù)量關(guān)系’‘空間形式’‘數(shù)形結(jié)合’等三條粗線條把它們編織起來，以便大家對它有一條粗線條但略有秩序的理解.”按照劉紹學教授的觀點，中學數(shù)學的主要知識即三條主線：數(shù)量關(guān)系(代數(shù))、空間形式(幾何)、數(shù)形結(jié)合(思想方法)，涵蓋了內(nèi)容與方法，也說明我們在關(guān)注數(shù)學知識的同時，也要重視數(shù)學思想方法.

上海高中數(shù)學新教材課程的結(jié)構(gòu)及內(nèi)容如圖1所示.結(jié)合劉紹學教授的觀點，我們可以把上海高中數(shù)學新教材主要內(nèi)容的結(jié)構(gòu)圖展示如圖2所示.

圖1

圖2

結(jié)合數(shù)學本質(zhì)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系、空間形式、數(shù)形結(jié)合等三條粗線分別進行結(jié)構(gòu)化分析，如圖3所示.

圖3 數(shù)形結(jié)合的知識結(jié)構(gòu)

從以上三種分類所形成的結(jié)構(gòu)分析可以發(fā)現(xiàn)，由“數(shù)量關(guān)系”形成的結(jié)構(gòu)以及由“空間形式”形成的結(jié)構(gòu)反映出的知識是靜態(tài)的，是由單純的知識按照各自關(guān)系形成；而由“數(shù)形結(jié)合”所形成的結(jié)構(gòu)則有方法技能的體現(xiàn)，反映知識動態(tài)的一面.通過“數(shù)”與“形”及“數(shù)形結(jié)合”歸納的高中數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)，有以下優(yōu)點：①按照數(shù)學的本質(zhì)對高中數(shù)學知識進行結(jié)構(gòu)分類，便于知識的整合與重組；②對空間形式所形成的結(jié)構(gòu)通過數(shù)形結(jié)合的方式實現(xiàn)圖形從定性分析向定量分析轉(zhuǎn)化，同時對“數(shù)量關(guān)系”中的結(jié)構(gòu)可以利用幾何直觀使問題簡化；③靜態(tài)知識結(jié)構(gòu)與動態(tài)結(jié)構(gòu)的結(jié)合，是結(jié)構(gòu)的不同表征，有利于探究知識的發(fā)生過程及學生思維結(jié)構(gòu)的形成.

3 基于結(jié)構(gòu)化觀點的高中數(shù)學思想方法的教學

3.1 為什么要進行數(shù)學思想方法的教學

(1)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)本身就包括數(shù)學方法

數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的大致構(gòu)成如圖4所示.

圖4

數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)既指數(shù)學教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)即數(shù)學內(nèi)容及其排列、組合方式，也指數(shù)學內(nèi)容本身所固有的內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu).數(shù)學內(nèi)容本身的邏輯結(jié)構(gòu)，如立體幾何中空間的角與距離都是通過轉(zhuǎn)化為平面的角與距離來加以定義的.數(shù)學方法結(jié)構(gòu)既指數(shù)學內(nèi)容中所蘊含的思想方法及其排列與組合的方式，也指解決某一數(shù)學問題所用的具體方法或步驟.如冪、指、對數(shù)函數(shù)教材內(nèi)容所蘊含的思想方法是：從實例抽象概括出一般數(shù)學模型，再用特殊到一般、具體到抽象、分類討論、數(shù)形結(jié)合等方法研究函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決問題.

(2)課程標準的要求

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出：“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱‘四基’)；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱‘四能’).”“四基”與“四能”蘊含了數(shù)學思想方法.

(3)數(shù)學教育的本質(zhì)，即思維的要求

數(shù)學知識本身很重要，但數(shù)學知識所承載的思維方法更重要.而理解問題是思維活動最有效的形式，理解問題的過程就是在運用理性的思維去試圖解釋問題、探尋解決問題的方法.學生思維能力培養(yǎng)要達到的目標就是學生會用數(shù)學的方法思考問題、提出問題、解決問題.而思維能力的培養(yǎng)，依據(jù)數(shù)學中的概念等基本知識，主線是學科思想，最終目標即學科核心素養(yǎng).比如在《數(shù)列》的學習中，教師除了要教授學生掌握等差、等比數(shù)列基本概念與性質(zhì)、數(shù)列其他性質(zhì)外，還應(yīng)該從知識背后的思想方法的角度引發(fā)學生思考，即函數(shù)的思想、類比的思想等，這樣學生就能自己學習與思考了.

(4)培養(yǎng)學生數(shù)學能力的根本途徑

大量實踐表明，試圖通過讓學生做大量習題，進行解題訓(xùn)練來培養(yǎng)學生的數(shù)學能力的教學并不成功或者事倍功半，主要原因是忽視了數(shù)學思想方法的作用.事實上，在學生具備了一定的知識之后，數(shù)學能力培養(yǎng)的關(guān)鍵是運用數(shù)學方法在數(shù)學活動中積累感性認識，隨著感性認識的積累達到一定的程度，學生的認識便會發(fā)生飛躍(類似于哲學中的從量變到質(zhì)變)，形成對一類數(shù)學活動的理性認識，即有關(guān)的數(shù)學思想，與之相伴隨，學生的數(shù)學與能力便逐漸形成.因此，數(shù)學思想方法是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的根本途徑，對學生數(shù)學能力的提高具有統(tǒng)攝作用.如“運算能力”是指會根據(jù)有關(guān)法則、公式正確處理數(shù)據(jù)，能夠根據(jù)問題條件尋找并設(shè)計合理而簡捷的運算途徑.運算能力的高低取決于運算技能、思維水平以及對算理的理解等，其核心則是在正確理解概念的基礎(chǔ)上掌握轉(zhuǎn)化的思想方法，提高學生對數(shù)或式的變形能力.學生在高中學習解析幾何有關(guān)內(nèi)容時，運算能力很薄弱，經(jīng)常算錯或算不下去，凸顯運算能力的欠缺，而究其原因，可能是概念理解、轉(zhuǎn)化、變形等方面出現(xiàn)了問題，教學中便可以對癥下藥.

(5)培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵

進入新世紀以來，創(chuàng)新能力作為適應(yīng)社會發(fā)展需要所必備的能力，已被確立為基礎(chǔ)教育中必須著重培養(yǎng)的能力.數(shù)學作為基礎(chǔ)學科，在創(chuàng)新能力的培養(yǎng)中發(fā)揮獨特的作用，而數(shù)學思想方法在其中發(fā)揮著極其重要的作用，主要體現(xiàn)在它為學生提供了有關(guān)如何學習、如何思考的策略性知識.這種策略性知識與事實性知識的結(jié)合非常緊密，相互滲透，相互融合，這就要求在數(shù)學教學中，教師要把這些策略性知識與數(shù)學具體知識結(jié)合起來，從而使學生在獲得知識的同時，體會到知識發(fā)生發(fā)展過程中的思想和方法.

3.2 數(shù)學思想方法教學的原則

由于數(shù)學思想方法是隱藏在數(shù)學知識背后的暗線，數(shù)學思想方法的教學一般采用滲透的形式進行.如何滲透、怎么滲透，是值得我們在教學前思考的問題.在課堂教學中滲透數(shù)學思想方法，一般應(yīng)遵循以下原則：

(1)反復(fù)滲透

數(shù)學知識的學習本來就是一個螺旋上升、連續(xù)反復(fù)的過程，數(shù)學思想方法比數(shù)學知識的學習更加抽象、困難，因此數(shù)學思想方法的學習不可能一蹴而就，而需要一個連續(xù)反復(fù)的過程，可以在教學的各個階段進行滲透.比如三角比，初中學了簡單的銳角三角比，到了高中，將角的概念推廣到任意角，繼續(xù)三角比的學習，并學習了三角比的誘導(dǎo)公式，最后又把任意角的三角比化成銳角三角比.為什么推廣了角的概念及三角比的定義，又要回到銳角三角比呢？這其中肯定有它的道理，蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，需要教學中多次反復(fù)，幫助學生加深理解.

(2)循序漸進

數(shù)學思想方法的學習過程是一個抽象的認知的過程，需要經(jīng)歷從領(lǐng)悟到形成、從鞏固到應(yīng)用的發(fā)展過程，要遵循“教師引導(dǎo)、逐步滲透、適時總結(jié)”的程序.在教學時滲透必須遵循教學規(guī)律，由淺及深、由表及里逐步滲透，并根據(jù)具體知識與方法的不同采用不同教學手段循序漸進地進行.比如函數(shù)思想，初中按依賴關(guān)系定義了函數(shù)，并學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)，到了高中階段逐步深化，從集合的角度重新定義了函數(shù)，并學習了冪、指、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)，研究了這些初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).學生開始不明白也不了解為什么函數(shù)要重新定義，經(jīng)過一段時間的反復(fù)、循序漸進的學習后，學生對函數(shù)的思想才逐步明確.

(3)主體參與

數(shù)學教學要體現(xiàn)教師主導(dǎo)、學生主體的原則，就是要通過各種數(shù)學活動讓學生成為主體.數(shù)學思想方法也是數(shù)學活動的內(nèi)容之一，需要學生親自去感受與體驗，教師通過學生的理解再去引導(dǎo)與講解，才有助于學生真正領(lǐng)悟和掌握數(shù)學思想方法的內(nèi)涵.比如橢圓標準方程的推導(dǎo)，這是一個繁瑣的計算過程，完全可以讓學生參與進來，鍛煉思維能力和計算能力.試想一下，如果教師直接快速按教材推導(dǎo)出來或者干脆不推導(dǎo)，直接告訴學生最后的結(jié)果，學生就沒有體會到其中的運算技巧與運算策略，甚至公式背后的故事(如圓錐曲線的第二定義).相反，學生主動參與后，印象會很深刻，既提升了運算能力，也對后續(xù)雙曲線、拋物線的學習有很好的參考作用.

(4)系統(tǒng)歸納

數(shù)學教學的主要任務(wù)是形成并完善學生的認知結(jié)構(gòu)，這需要對知識定期地做系統(tǒng)的梳理(復(fù)習)，也就是說，教師要引導(dǎo)學生把分散的知識點和某種思想系統(tǒng)起來，并加以儲存、提取和應(yīng)用，以便形成一個較為完善的認知結(jié)構(gòu).在數(shù)學教學中，數(shù)學思想方法以數(shù)學知識為載體，通過教學過程逐步滲透，但考慮到內(nèi)容、進度等因素，數(shù)學思想方法的滲透是間斷的，這就需要教師適時地把體現(xiàn)某一數(shù)學思想方法的分散的問題重新搜集起來，并加以歸納和系統(tǒng)化.比如數(shù)形結(jié)合思想，表現(xiàn)的具體方法有圖解法、解析法、復(fù)數(shù)法、向量法等，與之有關(guān)的知識系統(tǒng)有集合中的數(shù)軸、函數(shù)中的圖象、解析幾何中的直角坐標系、復(fù)數(shù)中的復(fù)平面、向量中的平行四邊形(三角形)法則等.教師可以根據(jù)學生的實際情況，分階段、分內(nèi)容地對蘊含的數(shù)學思想加以歸納，這將有利于學生對數(shù)學思想方法系統(tǒng)性的認識.

3.3 數(shù)學思想方法教學的途徑

(1)新知識的形成過程中滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學新知識的發(fā)生過程需要教師引導(dǎo)學生選擇合適的方法，使其逐步領(lǐng)悟并應(yīng)用數(shù)學思想方法解決問題.教師可以設(shè)計合適的情境、一定的問題，引導(dǎo)學生思考、概括問題的本質(zhì)，并提升到數(shù)學思想方法的高度，幫助學生領(lǐng)悟新知識中蘊含的數(shù)學思想方法.

案例1

三角比的定義教學片斷

·復(fù)習引入

回顧：在初中我們學習了銳角的三角比，它是在直角三角形的條件下，通過角

α

的對邊、鄰邊與斜邊之間兩兩的比值來定義的.你能在直角三角形中正確表示銳角的各個三角比嗎？

·引申鋪墊

問題1

前面我們學習了象限角，即把角放在平面直角坐標系中研究.把上面的角

α

放在平面直角坐標系中，如何表示角

α

的正弦、余弦、正切呢？

問題2

上面問題1中的角

α

是Rt△

OPM

的一個內(nèi)角(銳角)，結(jié)合象限角的概念，點

P

是角

α

終邊上的一個點，換一個點(如

Q

，圖5)來表示角

α

的正弦、余弦、正切，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

圖5

問題3

以上研究的是銳角

α

的正弦、余弦、正切，如果角

α

是鈍角呢？

·分析歸納

通過以上的分析，給出平面直角坐標系下任意角

α

的正弦、余弦、正切的定義，拓展給出任意角

α

的正割、余割、余切的定義.并歸納定義的關(guān)鍵與本質(zhì)，即用角終邊上任意一點的坐標表示三角比.

以上教學片斷通過設(shè)置若干循序漸進的問題，引導(dǎo)學生思考.教師可以在學生回答的基礎(chǔ)上適當引導(dǎo)學生思考本質(zhì)，挖掘出知識背后的思想方法，這樣學生對三角比定義的理解才比較深刻.

(2)新知識的鞏固過程中應(yīng)用數(shù)學思想方法

數(shù)學新知識需要及時鞏固才能形成技能培養(yǎng)能力.鞏固新知識的過程就是大量練習的過程，通過系統(tǒng)的歸納總結(jié)揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，這為數(shù)學思想方法的形成和滲透提供了很好的機會，在鞏固學生解題能力的同時也發(fā)展了學生的思維能力.

案例2

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學片斷

例1

比較大?。?p>1)1.2與1.2；2)0.2與0.2；

與與0.3；

5)1.4與0.9.

例2

若

a

<

a

(

a

>0,

a

≠1)，比較

m

,

n

的大小.

設(shè)計說明

例1的5個小題分別代表不同類型，以此讓學生深化對基本知識的理解與運用，體會轉(zhuǎn)化與化歸思想方法.從例1的特殊到例2的一般化，對參數(shù)(字母)的不確定性需要討論(基于例1的特殊情況的歸納總結(jié))，培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想.

(3)新知識的總結(jié)歸納中概括數(shù)學思想方法

每節(jié)新授課一般都會有課堂小結(jié)，歸納知識點的同時應(yīng)注意對思想方法的概括.同一個知識點可能會包含多種數(shù)學思想方法，反過來，一種數(shù)學思想方法又可能出現(xiàn)在多個知識點中，所以教師要正確引導(dǎo)學生學會概括思想方法.

案例3

“函數(shù)的奇偶性”課堂小結(jié)片斷通過框圖(圖6)比較清晰地展現(xiàn)了本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師在引導(dǎo)學生小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容的同時，要同時系統(tǒng)歸納其中的數(shù)學思想方法.如研究函數(shù)的奇偶性要先看定義域是否對稱，再看解析式是否滿足定義，這蘊含化歸的思想方法；“

f

(-

x

)=

f

(

x

)”與“

f

(-

x

)=-

f

(

x

)”有幾種等價變形，蘊含了等價轉(zhuǎn)化的思想方法；函數(shù)奇偶性的判斷結(jié)果有且只有四種，即奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，這是分類討論思想方法的應(yīng)用.

圖6

(4)反思中引導(dǎo)學生領(lǐng)悟數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法要被學生接受和應(yīng)用，除了教師的滲透和訓(xùn)練，還需要學生自己在解題后的反思中去領(lǐng)悟.著名數(shù)學家弗賴登塔爾曾說過：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力.”教師如果能經(jīng)常引導(dǎo)學生反思解題的過程及其中蘊含的數(shù)學思想方法，總結(jié)常見的錯誤及原因，將數(shù)學學習上升到數(shù)學思想方法學習的高度，對提升學生的思維能力和水平必將有幫助.比如在推導(dǎo)完等比數(shù)列求和公式后，教師帶領(lǐng)學生反思推導(dǎo)過程中運用的分類討論思想，反思：為什么要分類？分類的標準如何確定？如果不分類，結(jié)果如何？這樣的反思有助于學生加深對分類討論思想方法的深刻理解.

(5)解題教學中滲透數(shù)學思想方法

學習數(shù)學離不開解題，但這不等同于“題海戰(zhàn)術(shù)”.解題教學是在教師指導(dǎo)下，學生將所學知識應(yīng)用于解決數(shù)學問題的一種實踐性活動.弗賴登塔爾認為：“學習數(shù)學的唯一方法是實行‘再創(chuàng)造’”，這就要求學生把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造出來，教師進行引導(dǎo)與輔助，而不是滿堂灌.因此，在解題教學中，教師應(yīng)組織學生分析已知、未知和所求，然后學生自己嘗試尋求解決問題的辦法，通過觀察、歸納、類比、聯(lián)想和論證提出各種解題策略，運用數(shù)學思想方法確定問題的最終解法.著名數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中提出解題過程分為四大步驟：弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧反思，其中“擬定計劃”這一過程展現(xiàn)了思維過程，教師可以滲透數(shù)學思想方法.

案例4

一道期末考試題解答的教學片斷題目：已知

a

,

b

,

c

分別為△

ABC

三個內(nèi)角

A

,

B

,

C

的對邊，

S

為△

ABC

的面積，sin(

B

+

C

)證明：

A

=2

C

.第一步：弄清問題，明確題目的已知與所求，即即有關(guān)三角形邊、角、面積關(guān)系的推理問題，需要不斷應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.怎么轉(zhuǎn)化？我們可以將題目的條件與結(jié)論化整為零.比如在三角形中，學生熟知的基本知識有：sin(

B

+

C

)=sin

A

，

S

=

A

=2

C

?sin

A

=sin 2

C

?sin(

A

-

C

)=sin

C

?

C

.

第二步：擬定計劃，對題目的條件與結(jié)論變形分析后綜合聯(lián)想，注意到理解三角形問題的一般策略是“化邊”或“化角”，擬定如下的解題思路：

思路1 (條件化角)由于于是條件化為即sin于是sin

A

-sin

C

=sin

B

sin

C

，利用和差化積公式有sin(

A

-

C

)=sin

C

.思路2 (條件化邊)由條件得sin于是有

a

-

c

=

bc

.欲證

A

=2

C

，即證sin

A

=sin 2

C

，也即證sin

A

=2sin

C

cos

C

，化成邊，即證將條件代入即可.

第三步：實現(xiàn)計劃，按照擬定計劃的思路，可以完成本題的解答，這里省略.

從以上解題過程來看，數(shù)學思想方法對正確解題起到了一定的指導(dǎo)與引領(lǐng)作用，特別是進行一題多解、多題一解、一題多變教學時，一定要從引導(dǎo)數(shù)學思想方法的高度對解題進行反思與提煉，這樣才能有助于學生更好地掌握解題策略與解題方法.

3.4 高中數(shù)學基本數(shù)學思想方法

高中數(shù)學中重要而基本的數(shù)學思想方法主要有：數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程，如表1所示.

表1 高中數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法基本涵義關(guān)系圖數(shù)形結(jié)合利用數(shù)與形的優(yōu)勢互補來解決問題分類討論將一個大問題(范圍較廣)劃分為若干小問題(范圍較小)并逐一解決轉(zhuǎn)化與化歸把有待解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題函數(shù)與方程用函數(shù)與方程的觀點去處理變量、未知數(shù)之間的關(guān)系,然后使問題得到解決