麻岳敏，聶 敏，武學(xué)良，朱凱博

（中車大同電力機車有限公司 技術(shù)中心，山西大同037038）

我國1/3 的鐵路線是曲線，因此，機車在設(shè)計過程中必須進行幾何曲線通過計算，以保證機車順利通過小半徑曲線和滿足限界要求。確定機車所能通過曲線的最小半徑和為此目的所需的輪對橫動量，給出機車轉(zhuǎn)向架通過曲線時的轉(zhuǎn)心位置，確定在曲線上機車轉(zhuǎn)向架對于車體的偏轉(zhuǎn)角，以及車體與建筑限界的關(guān)系等［1］是重中之重。為了提高行車質(zhì)量，許多學(xué)者和工程人員對這些問題進行了深入的研究。

目前工程設(shè)計人員主要采用幾何作圖法、幾何公式計算法和參數(shù)化計算法來求解幾何曲線通過。劉冰等［2］對這幾種設(shè)計方法的優(yōu)缺點進行了對比分析。羅仁等［3］結(jié)合繪圖法得到車輛通過不同曲線時的姿態(tài)，分析了車輛連掛狀態(tài)通過圓曲線S 形曲線等工況下車鉤轉(zhuǎn)角。李強等［4］給出了車體和轉(zhuǎn)向架相對轉(zhuǎn)動角度和車鉤轉(zhuǎn)角的幾何公式，但在有含直線的S形曲線上沒有給出解析解。聶敏等［5］運用解析幾何的基本理論，推導(dǎo)出有軌電車通過平面曲線、豎曲線時鉸接裝置轉(zhuǎn)角及車鉤夾角的計算方法。王璐科［6］引入“等效曲線半徑”概念，簡化了原本復(fù)雜的考慮轉(zhuǎn)向架偏移的機車車輛曲線通過計算。王文濤等［7］使用AutoLISP 和DCL 語言編制出機車幾何曲線通過計算程序?qū)崿F(xiàn)了自動計算及參數(shù)化繪圖。丁長權(quán)等［8］介紹了基于VB 的車輛幾何曲線通過參數(shù)化計算方法，求出了轉(zhuǎn)向架與車體最大的相對轉(zhuǎn)角。商躍進［9］利用在SolidWorks 平臺下的尺寸驅(qū)動特性和方程式功能建立了B0-B0軸式軌道車輛幾何曲線通過計算模板，求出了給定參數(shù)下的車體與轉(zhuǎn)向架最大夾角。文獻［7-9］利用參數(shù)化計算方法計算了車體和轉(zhuǎn)向架的轉(zhuǎn)角，但沒有給出車鉤轉(zhuǎn)角的算法，也沒有計算可通過的最小曲線半徑。

針對上述問題，文中利用MATLAB 強大的功能，提出一種基于MATLAB 的軌道車輛幾何曲線通過計算方法，實現(xiàn)求解車鉤轉(zhuǎn)角和最小曲線半徑的簡便化和可視化。

1 計算原理

1.1 幾何曲線通過

1.1.1 車鉤轉(zhuǎn)角的計算[5]

機車通過曲線時，相鄰兩車輛的中心線將會出現(xiàn)相對轉(zhuǎn)動，車鉤中心線相對車體也會出現(xiàn)相對轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生的相對運動會影響車輛運行平穩(wěn)性和安全性。因此，在新車型設(shè)計時，需要計算連掛車輛通過曲線時的車鉤轉(zhuǎn)角和對應(yīng)的輪對橫動量，避免產(chǎn)生干涉以確保列車能夠安全通過曲線。利用“等效曲線半徑”來求解車鉤轉(zhuǎn)角，如圖1 所示，在該計算中假設(shè)相鄰接車鉤不能相對轉(zhuǎn)動，始終在一直線上，且相鄰兩車鉤旋轉(zhuǎn)中心距離不變。

圖1 機車過曲線示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系求解車鉤轉(zhuǎn)角為式（1）、式（2）：

式中：γ1和γ2是車鉤轉(zhuǎn)角，∠PBO、∠OBC、∠OCQ、∠OCB是和兩節(jié)車體輪對總橫動量有關(guān)的參數(shù)。

PA、PA′、QD、QD′表示車體中心到轉(zhuǎn)向架中心之距；AB、A′B′、CD、C′D′ 表示轉(zhuǎn)向架中心到車鉤旋轉(zhuǎn)中心之距；BC表示兩車鉤旋轉(zhuǎn)中心之距；OP、OQ表示曲線中心到車體中心之距；AA′和DD′表示車體總橫動量。

通過這2 個方程可以在車體輪對橫動量已知的情況下，求出車鉤轉(zhuǎn)角；也可以已知一個車鉤允許的最大轉(zhuǎn)角，求出另一個車鉤轉(zhuǎn)角和車體輪對橫動量（默認2 節(jié)車的輪對總橫動量相同）。

1.1.2 機車能通過的最小曲線半徑[1]

轉(zhuǎn)向架式機車能夠通過的最小曲線半徑，受限于轉(zhuǎn)向架在構(gòu)造上允許的最大轉(zhuǎn)角。當機車通過曲線時，轉(zhuǎn)向架相對于車體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角，曲線半徑越小，轉(zhuǎn)角越大。當兩轉(zhuǎn)向架各自的端軸用盡了橫動量之后，各轉(zhuǎn)向架以外端軸貼靠外軌，內(nèi)端軸貼靠內(nèi)軌，此時為機車通過最小曲線半徑Rmin時的情況。為了簡便且考慮安全裕量，假定各軸均無橫動量，根據(jù)幾何關(guān)系，可求出可通過的最小曲線半徑為式（3），如圖2 所示。

圖2 機車通過最小曲線半徑的示意圖

式中：a為轉(zhuǎn)向架中心距；θ′為轉(zhuǎn)向架構(gòu)造上允許的最大轉(zhuǎn)角；θ表示轉(zhuǎn)向架輪對分別靠內(nèi)外軌產(chǎn)生的角度，為式（4）：

式中：p為轉(zhuǎn)向架軸距；σ+Δ 為輪緣與鋼軌的總間隙。

1.2 MATLAB 參數(shù)化

MATLAB 是功能全面、操作直觀和簡潔的數(shù)據(jù)計算和處理的計算軟件，其數(shù)學(xué)計算方面功能相當強大，實現(xiàn)及驗證算法非常便利，同時具有非常強的編程和結(jié)果的可視化功能。文中利用MATLAB 自身的函數(shù)來求解幾何曲線通過，利用GUI 來可視化。每一個GUI 界面對應(yīng)著一個M 文件，根據(jù)數(shù)學(xué)模型，編輯相應(yīng)的M 文件，在GUI 界面輸入初始條件，點擊運行，得到結(jié)果。通過GUI，用戶就可以不需要輸入任何的腳本或命令，不需要了解任務(wù)的內(nèi)部運行方式，只要用鼠標點擊系統(tǒng)窗口中的按鍵，就可能輕松得到想要的結(jié)果。

幾何曲線通過計算界面分為3 個模塊，可分別去計算求解，它們之間互不干涉，每1 個模塊都可單獨生成研究報告，如圖3 所示。模式1 是已知輪對總橫動量求車鉤轉(zhuǎn)角，模式2 是已知最大一車鉤轉(zhuǎn)角求另一個轉(zhuǎn)角和輪對總橫動量，模式3 是求可通過最小曲線半徑。可視化界面還設(shè)置了工具欄，放一些常用的工具以方便操作者使用。

圖3 幾何曲線通過GUI 界面

MATLAB 提供了一系列的畫圖函數(shù)，用戶不需要過多的考慮畫圖的細節(jié)，僅僅給出一些基本參數(shù)就能得到所需圖形。繪制幾何曲線求車鉤轉(zhuǎn)角圖原理：以O(shè)點為坐標原點（0，0）。根據(jù)給定的參數(shù)，來確定點P、B、C、Q的坐標，然后將其各點依次連接，再根據(jù)向量內(nèi)積和向量長度計算出車鉤轉(zhuǎn)角。最后通過輸出函數(shù)將結(jié)果顯示在圖上。繪制求最小半徑圖原理：根據(jù)數(shù)學(xué)公式，輸入運行參數(shù)，得到最小半徑值。將各點的坐標值通過畫圖函數(shù)連接起來，最后通過輸出函數(shù)將結(jié)果顯示在圖上。

MATLAB 可以將編制好的獨立可執(zhí)行程序發(fā)布為后綴.exe 的應(yīng)用程序，此程序可脫離MATLAB 環(huán)境獨立運行。為了便于本程序的傳播和交流，最后將本程序發(fā)布為后綴.exe 的應(yīng)用程序。

2 應(yīng)用實例

選取某B0-B0軸式機車車輛幾何曲線通過計算主要技術(shù)參數(shù)，見表1。利用MATLAB 求解車鉤轉(zhuǎn)角和最小曲線半徑。

表1 機車幾何曲線通過主要技術(shù)參數(shù) 單位：mm

2.1 計算工況

工況1：曲線半徑為200 m。

工況2：曲線半徑為250 m。

工況3：曲線半徑為200 m，最大允許車鉤轉(zhuǎn)角γ1max=6°。

工況4：曲線半徑為250 m，最大允許車鉤轉(zhuǎn)角γ1max=6°。

2.2 計算結(jié)果

將表1 技術(shù)參數(shù)輸入到GUI 界面上模式1 和模式2，計算各工況下的車鉤轉(zhuǎn)角以及求已知最大的一車鉤轉(zhuǎn)角情況下的輪對橫動量和另一車鉤轉(zhuǎn)角。B0-B0軸式機車幾何曲線通過計算結(jié)果見表2，并生成圖4、圖5。

表2 計算結(jié)果

機車車輛通過曲線半徑200、250 m 時得到的車鉤轉(zhuǎn)角示意圖，如圖4、圖5 所示。為了驗證用MATLAB 編程來計算車鉤轉(zhuǎn)角的可靠性，利用CAD 繪圖軟件通過幾何繪圖法分別繪制出了過曲線半徑200、250 m 時的車鉤轉(zhuǎn)角并進行測量，如圖6、圖7 所示。當橫動量為82.5 mm，機車通過幾何曲線半徑為200、250 m 時，車鉤轉(zhuǎn)角分別為13°和10°，14°和9°。通過2 種方法的計算結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，曲線半徑為200 m 時，誤差相對較大，曲線半徑為250 m 時，計算結(jié)果基本一致。因為CAD 繪圖時，將車體長度、轉(zhuǎn)向架長度和車鉤長度的橫向投影距離默認為實際長度距離，存在著誤差，造成曲線半徑越小，誤差越大。而軟件程序計算依據(jù)公式法完成，公式在前期假設(shè)了一些理想條件，也會對程序計算結(jié)果造成一定誤差。無論是繪圖法的誤差或者程序化的誤差，都在允許的范圍內(nèi)，不影響機車車輛設(shè)計分析需要。

圖4 過曲線半徑200 m 時的車鉤轉(zhuǎn)角

圖5 過曲線半徑250 m 時的車鉤轉(zhuǎn)角

圖6 過曲線半徑200 m 時的車鉤轉(zhuǎn)角（CAD 作圖）

圖7 過曲線半徑250 m 時的車鉤轉(zhuǎn)角（CAD 作圖）

當假設(shè)轉(zhuǎn)向架構(gòu)造上允許的最大轉(zhuǎn)角為θ′=2°，在GUI 界面輸入運行參數(shù)求得該車型通過的最小半徑為109.242 4 m，示意圖結(jié)果如圖8 所示。為了更直觀的了解它們的關(guān)系，通過MATLAB 畫出轉(zhuǎn)向架構(gòu)造上允許的最大轉(zhuǎn)角和最小曲線圓半徑的關(guān)系圖，如圖9 所示。從圖9 中可以看出，最小曲線圓半徑受轉(zhuǎn)向架構(gòu)造上允許的最大轉(zhuǎn)角影響很大。因此，合理確定轉(zhuǎn)向架構(gòu)造上允許的最大轉(zhuǎn)角是確定最小曲線圓半徑的關(guān)鍵。

圖8 機車通過最小半徑示意圖

圖9 轉(zhuǎn)向架構(gòu)造上允許的最大轉(zhuǎn)角和最小曲線半徑關(guān)系

3 結(jié) 論

文中利用MATLAB 設(shè)計出一種非常簡明、直觀的操作方式來解決目前計算幾何曲線通過存在問題，采取計算機結(jié)合編程來處理數(shù)據(jù)，將現(xiàn)有的幾何曲線通過計算程序化，盡可能地挖掘出數(shù)據(jù)所包的各種有用信息。

運用GUI 圖形界面，降低團隊其他成員對計算機語言的要求，進而提高了工作效率。通過程序畫出的示意圖，能直白地表達出所求參數(shù)。計算程序化的開發(fā)對企業(yè)的設(shè)計能力和影響力的提升有重要意義。

生成獨立的可執(zhí)行的.exe 程序文件，可以在未安裝MATLAB 程序的電腦直接執(zhí)行，使其使用范圍更廣，實用性更強。

本研究主要針對計算車鉤轉(zhuǎn)角和最小曲線半徑，而幾何曲線通過要解決的問題遠不止這些，因此下一步還需要不斷地完善和改進，并不斷擴充其功能。