陳雙喜

（成都大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 成都610106）

和輪軌列車(chē)不同，磁懸浮列車(chē)的推進(jìn)、懸浮和導(dǎo)向功能均由電磁力來(lái)完成。當(dāng)電磁鐵提供最大懸浮時(shí)，磁鐵處在力與距離特性曲線(xiàn)的非線(xiàn)性部分［1］。由于工作環(huán)境復(fù)雜，負(fù)載變化大，磁浮列車(chē)需要控制能力強(qiáng)的非線(xiàn)性控制系統(tǒng)。因此，磁懸浮列車(chē)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與控制系統(tǒng)具有顯著的非線(xiàn)性特征。磁浮車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中，懸浮間隙會(huì)出現(xiàn)極限環(huán)運(yùn)動(dòng)、多頻率耦合、懸浮失穩(wěn)振動(dòng)等動(dòng)力學(xué)行為，如果進(jìn)行線(xiàn)性化處理，這些復(fù)雜的現(xiàn)象就會(huì)被忽略。國(guó)防科大的CMS 試驗(yàn)車(chē)在試驗(yàn)中曾被觀(guān)察到因?yàn)榭刂骗h(huán)節(jié)非線(xiàn)性時(shí)滯導(dǎo)致的車(chē)軌共振現(xiàn)象。武建軍等在研究磁浮車(chē)動(dòng)力學(xué)特性時(shí)發(fā)現(xiàn)了非線(xiàn)性混沌現(xiàn)象［2］?？梢?jiàn)，如果忽略系統(tǒng)中的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)可能導(dǎo)致完全不同的動(dòng)力學(xué)行為［3-5］。因此，研究磁浮列車(chē)系統(tǒng)振動(dòng)的非線(xiàn)性問(wèn)題具有重要的理論和實(shí)際意義。

西南交通大學(xué)趙春發(fā)建立了常溫超導(dǎo)磁浮列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型，并提出了性能評(píng)價(jià)方法［6］。國(guó)防科技大學(xué)施曉紅建立了基于剛性軌道的懸浮控制器模型和電磁鐵模塊的懸浮車(chē)軌耦合系統(tǒng)模型［7］。王洪坡從非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)2 方面著手，揭示了車(chē)軌耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)本質(zhì)［8］。國(guó)防科大趙春霞通過(guò)數(shù)學(xué)建模與仿真的方法建立了列車(chē)沿軌道勻速運(yùn)行時(shí)車(chē)輛系統(tǒng)的導(dǎo)向動(dòng)力學(xué)模型［9］，對(duì)車(chē)輛系統(tǒng)和線(xiàn)路系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)化。陳強(qiáng)將系統(tǒng)誤差變量引入PID 控制系統(tǒng)，生成非線(xiàn)性PID控制算法，改善了跟蹤設(shè)定值與控制撓動(dòng)之間的矛盾［10］。國(guó)防科大劉耀宗建立了包含閉環(huán)控制在內(nèi)的懸浮架動(dòng)力學(xué)方程，仿真分析單點(diǎn)擾動(dòng)時(shí)各個(gè)閉環(huán)懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)［11］。國(guó)防科大賀光建立了中速磁浮列車(chē)整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型，研究了200 km/h中速磁浮列車(chē)的導(dǎo)向能力［12］。同濟(jì)大學(xué)孫友剛針對(duì)單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的非線(xiàn)性、時(shí)變性，提出了一種滑模控制方法［13］。王連春提出了基于磁通導(dǎo)數(shù)反饋的磁浮列車(chē)—鋼梁耦合共振抑制算法［14］。

目前磁浮車(chē)耦合動(dòng)力學(xué)特性研究一個(gè)重要方向是研究耦合系統(tǒng)的非線(xiàn)性振動(dòng)特性。由于非線(xiàn)性振動(dòng)學(xué)理論發(fā)展還不完善，許多問(wèn)題還無(wú)法進(jìn)行理論計(jì)算分析，而數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展和計(jì)算機(jī)性能的提高使數(shù)值仿真分析成為可能。非線(xiàn)性振動(dòng)信號(hào)通常包含頻率調(diào)制或幅值調(diào)制成分，美籍華人Huang 提出了基于信號(hào)的調(diào)制現(xiàn)象定義振動(dòng)非線(xiàn)性度［15］。文中根據(jù)磁浮列車(chē)—軌道—橋梁耦合動(dòng)力學(xué)理論建立典型的中低速磁浮列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算不同控制參數(shù)下車(chē)輛系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，并將非線(xiàn)性度指標(biāo)計(jì)算方法引入仿真數(shù)據(jù)的分析中，研究控制參數(shù)對(duì)車(chē)輛振動(dòng)信號(hào)非線(xiàn)性程度的影響規(guī)律。

1 中低速磁懸浮列車(chē)模型

1.1 磁浮列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型

文中建立典型的中低速磁浮車(chē)輛—軌道—橋梁耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖1 所示。單節(jié)磁浮車(chē)有3個(gè)磁浮轉(zhuǎn)向架，轉(zhuǎn)向架左右2 個(gè)懸浮導(dǎo)向模塊通過(guò)防側(cè)滾梁連接，相同懸浮模塊的懸浮電磁力共用1個(gè)控制器。轉(zhuǎn)向架與車(chē)體之間通過(guò)空氣彈簧連接，而導(dǎo)向結(jié)構(gòu)采用類(lèi)似日本HSST-100 磁浮車(chē)的裝置。建立的磁浮車(chē)模型包括1 個(gè)車(chē)體、3 個(gè)轉(zhuǎn)向架（6 個(gè)懸浮模塊），每個(gè)部件具有5 個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)自由度（沉浮、橫移、點(diǎn)頭、搖頭、側(cè)滾），整車(chē)一共35 個(gè)自由度。

圖1 中低速磁浮車(chē)—軌道—橋梁耦合動(dòng)力學(xué)模型

車(chē)體垂向運(yùn)動(dòng)zc、橫向運(yùn)動(dòng)yc、點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)φc、搖頭 運(yùn) 動(dòng)ψc、側(cè) 滾 運(yùn) 動(dòng)θc微 分 方 程 分 別 為 式（1）～式（5）：

第i個(gè)轉(zhuǎn)向架單側(cè)懸浮塊的垂向運(yùn)動(dòng)zb、橫向運(yùn) 動(dòng)yb、點(diǎn) 頭 運(yùn) 動(dòng)φb、搖 頭 運(yùn) 動(dòng)ψb、側(cè) 滾 運(yùn) 動(dòng)θb運(yùn)動(dòng)微分方程分別為式（6）～式（10）：

式 中：mc為 車(chē) 體 質(zhì) 量；Icx、Icy、Icz分 別 為 車(chē) 體 側(cè) 滾、點(diǎn)頭、搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；mb為轉(zhuǎn)向架懸浮模塊質(zhì)量；Ibx、Iby、Ibz分別為轉(zhuǎn)向架懸浮模塊側(cè)滾、點(diǎn)頭、搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fszl(r)ij、Fsyl(r)ij分別為二系懸掛垂向力、橫向 力；Fpzl(r)ij、Fpyl(r)ij分 別 電 磁 垂 向 力、橫 向 力；Frzij、Fryij分別為單個(gè)轉(zhuǎn)向架防側(cè)滾梁鉸點(diǎn)垂向力、橫向力；Kθ是電磁鐵側(cè)滾剛度。其他參數(shù)為車(chē)輛的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1.2 高架橋梁模型

磁懸浮軌道高架橋梁通常采用混凝土簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，先在工廠(chǎng)制造出單跨梁，然后現(xiàn)場(chǎng)組裝或者焊接成連續(xù)梁。高架橋梁高跨比和寬跨比通常都很小，從材料力學(xué)角度考慮都?xì)w結(jié)為細(xì)長(zhǎng)梁，在低頻振動(dòng)時(shí)候完全可忽略其剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此，高架橋梁完全可采用Bernoulli-Euler 簡(jiǎn)支梁模型來(lái)描述。磁浮高架橋梁的微分方程為式（11）、式（12）：

式中：EI為梁的垂向抗彎剛度；c為梁的阻尼；ms為梁的線(xiàn)密度；fi(t)為外力；ym、ygi分別為梁上作用點(diǎn)位移及其轉(zhuǎn)向架上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移；φn(x)為梁的n階 模 態(tài) 函 數(shù)；qn(t)為n階 模 態(tài) 廣 義 幅 值；kb、cb分別為磁隙剛度、阻尼。

1.3 磁浮系統(tǒng)懸浮控制模型

根據(jù)電磁學(xué)理論，在不考慮磁阻和漏磁情況下，單個(gè)模塊懸浮電磁鐵系統(tǒng)的耦合方程組為式（13）～式（15），式（13）～式（15）分別是力學(xué)、電學(xué)和關(guān)聯(lián)方程。

式中：mb為電磁鐵懸浮質(zhì)量；Fmb為電磁力；Fp為外部干擾力；u、i為電磁鐵電壓、電流；N為線(xiàn)圈匝數(shù)；R0為線(xiàn)圈電阻；A為磁鐵有效磁極面積；δ為懸浮間隙；μ0為真空磁導(dǎo)率；zb為電磁鐵垂向位移。

中低速磁浮列車(chē)一般兩級(jí)串聯(lián)懸浮控制系統(tǒng)，其控制電壓來(lái)自懸浮塊兩端的傳感器。假定電磁與控制電路處于理想狀態(tài)，則懸浮電磁鐵PID控制的數(shù)學(xué)模型為式（16）：

式中：kp、kd、ki分別為懸浮間隙比例、微分和積分反饋控制系數(shù)；Δδczij、δ˙czij分別為懸浮間隙和間隙導(dǎo)數(shù)控制信號(hào)。

2 振動(dòng)信號(hào)非線(xiàn)性度計(jì)算方法

根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)理論，線(xiàn)性系統(tǒng)是一個(gè)狀態(tài)量和輸出量對(duì)所有輸入量、初始狀態(tài)都能滿(mǎn)足疊加、放大原理的系統(tǒng)。該準(zhǔn)則依賴(lài)系統(tǒng)的初始條件和載荷情況，這種系統(tǒng)現(xiàn)實(shí)中很少存在，這是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中的系統(tǒng)比理想要復(fù)雜得多，輸入輸出量很難量化。Huang［15］提出了基于振動(dòng)信號(hào)的波內(nèi)調(diào)制現(xiàn)象來(lái)量化信號(hào)的非線(xiàn)性程度，即式（17）：

式中：std 表示求標(biāo)準(zhǔn)差；IF(t)為瞬時(shí)頻率；IFzc(t)為過(guò)零點(diǎn)頻率；Azc(t)為零點(diǎn)頻率對(duì)應(yīng)的幅值。瞬時(shí)頻率的計(jì)算通常采用正交化Hilbert 變換或者DQ 變換［16］。文中采用DQ 變換方法。

3 磁浮車(chē)振動(dòng)響應(yīng)非線(xiàn)性度分析

假定磁浮列車(chē)運(yùn)行在直線(xiàn)高架橋梁軌道上，列車(chē)運(yùn)行速度v為100 km/h；車(chē)體質(zhì)量12 000 kg；車(chē)體側(cè)滾、點(diǎn)頭、搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Icx=2 500 kg·m2、Icy=150 000 kg·m2、Icz=150 000 kg·m2；模 塊 質(zhì) 量1 000 kg；模塊側(cè)滾、點(diǎn)頭、搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ibx=100 kg·m2、Iby=1 200 kg·m2、Ibz=1 200 kg·m2；二系懸掛垂向、橫向剛度分別為120 000 N·m、25 000 N·m；二系阻尼分別為60 000 N·s/m、40 000 N·s/m；抗側(cè)滾梁垂向、橫向剛度分別為10 000 N·m、1 000 N·m；橋梁設(shè)定為12 跨，總長(zhǎng)288 m。橋梁?jiǎn)慰?4 m；抗彎剛度EI=2.456×1010N·m2；線(xiàn)密度m=3 755 kg/m。

磁浮線(xiàn)路的周期性不平順表示為式（18）：

式中：z0=Az為不平順?lè)担沪藌為波長(zhǎng)。仿真分析中，設(shè)定軌道不平順波長(zhǎng)為24 m，幅值為2 mm。

懸浮電磁鐵長(zhǎng)度840 mm，磁極寬度28 mm，線(xiàn)圈匝數(shù)為320，磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7，名義懸浮間隙10 mm，等效輸出電阻1 Ω。電磁鐵側(cè)滾剛度Kθ= 4×105N·m/rad。每個(gè)電磁鐵上集中力數(shù)量為4。懸浮系統(tǒng)采用PID 控制方式，反饋控制系數(shù)kp、kd、ki取 值 范 圍 分 別 為3 000～50 000、200～1 000、0.1～20。磁浮車(chē)輛—高架橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可采用中心差分法和龍格庫(kù)塔法求解，但求解速度較慢，文中采用翟婉明院士提出的一種快速顯式積分法［17］。

在設(shè)定參數(shù)下，磁浮車(chē)典型的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果如圖2 所示。圖中實(shí)線(xiàn)是懸浮模塊的振動(dòng)加速度，虛線(xiàn)是車(chē)體的振動(dòng)加速度?？梢钥闯觯瑧腋∧K振動(dòng)加速度大于車(chē)體，兩者均為1 個(gè)低頻振蕩承載著在載波上下波動(dòng)的高頻振蕩，振動(dòng)信號(hào)具有顯著的非線(xiàn)性特征。

對(duì)圖2 的振動(dòng)加速度進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解得到本征模態(tài)函數(shù)，然后求瞬時(shí)頻率IF(t)和過(guò)零點(diǎn)頻率IFzc(t)（幅值A(chǔ)zc(t)），運(yùn)用式（17）計(jì)算振動(dòng)信號(hào)的非線(xiàn)性度DN。磁浮列車(chē)在典型PID 控制方式下，控制參數(shù)對(duì)車(chē)輛振動(dòng)非線(xiàn)性度的影響如下。

圖2 車(chē)體與懸浮模塊垂向振動(dòng)加速度

3.1 控制參數(shù)kp 對(duì)振動(dòng)非線(xiàn)性度的影響

懸浮控制參數(shù)kp是比例反饋系數(shù)，成比例地反映控制系統(tǒng)懸浮間隙的偏差信號(hào)Δδczij，偏差一旦產(chǎn)生，立即產(chǎn)生控制作用以減小偏差。由偏差理論知，增大kp雖然可以減小偏差，但不能徹底消除偏差。比例控制系數(shù)kp作用的大小除與偏差Δδczij有關(guān)之外，還取決于比例系數(shù)kp的大小。比例系數(shù)kp越小，控制作用越小，系統(tǒng)響應(yīng)越慢；反之，比例系數(shù)kp越大，控制作用也越強(qiáng)，則系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)kp在3 000～50 000 范圍內(nèi)，磁浮車(chē)車(chē)體、懸浮模塊的垂向振動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性度隨參數(shù)變化情況如圖3、圖4 所示。當(dāng)kp=3 000 時(shí)，車(chē)體振動(dòng)DN最大值0.32，非線(xiàn)性程度很大；當(dāng)kp＞30 000 時(shí)，DN減 小 到0.1 以 下，非 線(xiàn) 性 程 度 大幅度減小?？傮w上，車(chē)體、懸浮塊垂向振動(dòng)非線(xiàn)性度DN隨kp增 大 而 減 小，且 當(dāng)3 000＜kp＜10 000，DN下降幅度比kp＞10 000 時(shí)大。因此，合理范圍內(nèi)增大比例系數(shù)kp，不僅可以增強(qiáng)控制作用，加快系統(tǒng)響應(yīng)，而且可以降低振動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性程度。

圖3 kp 對(duì)車(chē)體垂向振動(dòng)非線(xiàn)性度DN 影響

圖4 kp 對(duì)模塊垂向振動(dòng)非線(xiàn)性度DN 影響

3.2 控制系數(shù)kd 對(duì)振動(dòng)非線(xiàn)性度的影響

磁浮PID 控制系統(tǒng)微分環(huán)節(jié)的作用是反映磁浮間隙偏差信號(hào)的變化速率δ˙czij，并在間隙偏差信號(hào)Δδczij變得太大之前引入1 個(gè)有效的修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度。微分輸出只與偏差的變化速度δ˙czij有關(guān)，而與磁浮間隙偏差Δδczij的大小以及偏差是否存在無(wú)關(guān)。如果磁浮間隙偏差Δδczij為固定值，不管多大，只要不變化，則輸出的變化一定為0，磁浮控制器沒(méi)有任何控制作用。合理的微分控制系數(shù)kd有助于克服振蕩，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。設(shè)定kp和ki為固定值（設(shè)定kp=7 000，ki=10），分析kd對(duì)振動(dòng)非線(xiàn)性度的影響。當(dāng)kd在200～1 000 范圍內(nèi)，磁浮車(chē)車(chē)體、懸浮模塊的垂向振動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性度隨參數(shù)變化情況如圖5 所示。當(dāng)kd=200，模塊、車(chē)體振動(dòng)DN最大值分別為0.26、0.20，具 有 較 大 非 線(xiàn) 性 度；當(dāng)kd=1 000，模塊、車(chē)體振動(dòng)DN分別減小到0.08、0.07，非線(xiàn)性程度大幅度減小?？傮w上，車(chē)體、懸浮塊垂向振動(dòng)非線(xiàn)性度DN隨kd增大而迅速減小。

圖5 kd 對(duì)車(chē)體與模塊垂向振動(dòng)非線(xiàn)性度DN 影響

3.3 控制系數(shù)ki 對(duì)振動(dòng)非線(xiàn)性度的影響

磁浮PID 控制系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)中，控制器的輸出與輸入誤差信號(hào)Δδczij的積分成正比關(guān)系。積分控制作用的存在與偏差Δδczij的存在時(shí)間有關(guān)，只要磁浮間隙存在著偏差，積分環(huán)節(jié)就會(huì)不斷起作用，對(duì)輸入偏差Δδczij進(jìn)行積分，使控制器的輸出和執(zhí)行器的開(kāi)度不斷變化，產(chǎn)生控制作用以減小懸浮間隙偏差。當(dāng)積分控制系數(shù)ki在0.1～20 范圍內(nèi)，磁懸浮模塊的垂向振動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性度隨參數(shù)變化情況如圖6 所示。當(dāng)ki=0.1，模塊振動(dòng)DN最大值為0.309，具有較大非線(xiàn)性度；當(dāng)ki=20，模塊振動(dòng)DN最小為0.302，非線(xiàn)性程度幾乎沒(méi)有變化。計(jì)算結(jié)果表明：積分控制系數(shù)ki對(duì)車(chē)體、懸浮塊垂向振動(dòng)非線(xiàn)性度DN幾乎沒(méi)有影響，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性程度并不會(huì)隨著ki增加而明顯減小。

圖6 ki 對(duì)車(chē)體與模塊垂向振動(dòng)響應(yīng)非線(xiàn)性度DN 影響

4 結(jié) 論

根據(jù)磁浮列車(chē)車(chē)輛—軌道—橋梁耦合動(dòng)力學(xué)理論建立典型的中低速磁浮列車(chē)模型，計(jì)算不同控制參數(shù)下車(chē)輛系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，并將非線(xiàn)性度指標(biāo)計(jì)算方法引入仿真數(shù)據(jù)的分析中，研究磁浮控制系統(tǒng)參數(shù)對(duì)車(chē)輛振動(dòng)信號(hào)非線(xiàn)性度的影響規(guī)律。通過(guò)仿真分析得到如下結(jié)論：

磁浮列車(chē)PID 控制系統(tǒng)的比例反饋系數(shù)kp和微分反饋系數(shù)kd對(duì)車(chē)輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)非線(xiàn)性度DN有很大影響。kp、kd較小時(shí)，車(chē)體、懸浮塊振動(dòng)信號(hào)具有很強(qiáng)的非線(xiàn)性特征，但非線(xiàn)性度隨kp、kd增大而迅速減小。積分反饋系數(shù)ki對(duì)車(chē)體、懸浮塊振動(dòng)非線(xiàn)性度影響很小，幾乎不會(huì)改變磁浮車(chē)輛動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的強(qiáng)非線(xiàn)性特征。從降低振動(dòng)非線(xiàn)性度方面考慮，可給出一組優(yōu)化的控制參數(shù)：kp=10 000，kd=1 000，ki=10。