文|潘小福（特級(jí)教師）

《長(zhǎng)方形和正方形的面積》一課，是蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。作為“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它適于以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式展開(kāi)探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷面積計(jì)算公式的推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)過(guò)程。同時(shí)這是平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的起始課，是“種子課”，學(xué)好了這節(jié)課，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維會(huì)有質(zhì)的飛躍，能讓學(xué)生對(duì)平面圖形面積計(jì)算推導(dǎo)形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形、圓等面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，提供良好的、可遷移的研究方法結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生自主、獨(dú)立地展開(kāi)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

一、解析教材編排的意圖

蘇教版教材在編寫(xiě)《長(zhǎng)方形和正方形的面積》這一內(nèi)容時(shí)，共編排了三個(gè)例題，這三個(gè)例題的編排有其特有的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)與編排意圖。

第一個(gè)例題（教材第66 頁(yè)例4），用幾個(gè)1 平方厘米的正方形擺長(zhǎng)方形，初步體會(huì)擺出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與小正方形個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系，初步感知小正方形的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形的面積之間的聯(lián)系，強(qiáng)化對(duì)“擺了多少個(gè)小正方形，長(zhǎng)方形的面積就是多少平方厘米”這一知識(shí)的認(rèn)識(shí)。第二個(gè)例題（教材第66 頁(yè)例5），用1 平方厘米的正方形“量”已知長(zhǎng)方形的面積，引導(dǎo)學(xué)生在探索快速“量”出長(zhǎng)方形面積的過(guò)程中，想到“要知道一共可以擺幾個(gè)正方形，只要知道橫排擺幾個(gè)，豎排擺幾個(gè)，就可計(jì)算長(zhǎng)方形面積”的簡(jiǎn)便方法。第三個(gè)例題（教材第66 頁(yè)例6），對(duì)已知長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形，不用邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形擺，就能“想”出它的面積是多少平方厘米。引導(dǎo)學(xué)生在與同伴的互動(dòng)交流中，理解、鞏固長(zhǎng)方形的面積與擺的正方形個(gè)數(shù)之間的多重關(guān)系，并能利用“計(jì)算的方法”得到長(zhǎng)方形的面積。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)回顧反思以上學(xué)習(xí)過(guò)程，在“長(zhǎng)方形的面積與什么有關(guān)？可以怎樣求長(zhǎng)方形的面積？”的引領(lǐng)下，推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。

教材的編寫(xiě)結(jié)構(gòu)引導(dǎo)著學(xué)生的思維過(guò)程。從“滿(mǎn)擺”（第一個(gè)例題）到“簡(jiǎn)擺”（第二個(gè)例題），再到“想擺”（第三個(gè)例題），引導(dǎo)著學(xué)生建構(gòu)起長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從“滿(mǎn)擺”中發(fā)現(xiàn)“橫排正方形的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，豎排正方形的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形的寬，正方形的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形的面積?！痹谟谜叫巍傲俊遍L(zhǎng)方形的面積過(guò)程中，引發(fā)學(xué)生思考“是否一定要把長(zhǎng)方形擺滿(mǎn)才能得到長(zhǎng)方形的面積”，從而引出“簡(jiǎn)擺”。在充分“擺”的過(guò)程中，得出結(jié)論“長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬”。在此過(guò)程中，每一次的思考、發(fā)現(xiàn)，即學(xué)生思維火花的迸發(fā)，都是在“擺”的實(shí)踐活動(dòng)中自然生成，因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)成為學(xué)生思維的助推器，幫助學(xué)生在推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積的計(jì)算過(guò)程中，不僅有明晰的思維方向，還有豐富的數(shù)學(xué)思維體驗(yàn)。

二、把握數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特征

數(shù)學(xué)知識(shí)本身是抽象的，數(shù)學(xué)結(jié)論需要通過(guò)嚴(yán)密的演繹得到，但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程可以是靈動(dòng)的、活潑的。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)借助物化工具，讓學(xué)生在清晰的實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊I(lǐng)下，通過(guò)規(guī)范的實(shí)驗(yàn)操作，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化的分析和結(jié)論表達(dá)，幫助學(xué)生個(gè)性化地建構(gòu)數(shù)學(xué)意義。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以充分激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、互動(dòng)合作的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培育創(chuàng)新意識(shí)。

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要有清晰的實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?/h3>

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同于一般的操作活動(dòng)，在實(shí)驗(yàn)前要明確解決什么問(wèn)題，問(wèn)題聚焦指向目標(biāo)。譬如，教材的第一個(gè)例題，用1 平方厘米的正方形擺長(zhǎng)方形，并填寫(xiě)表格。如果單從這一活動(dòng)要求看，這僅是一個(gè)操作活動(dòng)，學(xué)生只要按要求擺出長(zhǎng)方形，填寫(xiě)表格，至于為什么擺，填寫(xiě)表格后有什么發(fā)現(xiàn)，都沒(méi)在活動(dòng)之前告知學(xué)生。要用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生思維，就必須在實(shí)驗(yàn)操作之前清晰實(shí)驗(yàn)的目的，在第一個(gè)例題教學(xué)之初，就率先提出問(wèn)題（實(shí)驗(yàn)?zāi)康模洪L(zhǎng)方形的面積與什么有關(guān)？然后引導(dǎo)開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要重視規(guī)范的操作。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往要借助物化工具，依托《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)單》開(kāi)展操作活動(dòng)。譬如，教材的第二個(gè)例題，用1平方厘米的正方形量長(zhǎng)方形的面積時(shí)，怎么“量”才能很好地引發(fā)思考，就需要引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范實(shí)驗(yàn)過(guò)程。教學(xué)時(shí)可以為學(xué)生提供《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)單》，包括“實(shí)驗(yàn)問(wèn)題、實(shí)驗(yàn)材料、實(shí)驗(yàn)過(guò)程、實(shí)驗(yàn)結(jié)論”等幾個(gè)方面，尤其是實(shí)驗(yàn)過(guò)程，要把實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵步驟記錄下來(lái)，便于后續(xù)互動(dòng)交流的深化，更為學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)論的得出提供充分的數(shù)學(xué)事實(shí)基礎(chǔ)。

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要重視數(shù)學(xué)化的分析和結(jié)論表達(dá)。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不僅要重視實(shí)驗(yàn)體悟，更為關(guān)鍵的是要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維。譬如，當(dāng)學(xué)生用1 平方厘米的正方形擺出不同的長(zhǎng)方形并填寫(xiě)表格后，“擺”“填”兩項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)，都只是提供了數(shù)學(xué)事實(shí)，而真正引發(fā)思維的，是“從中發(fā)現(xiàn)了什么”，這就需要用到數(shù)學(xué)的方法，引導(dǎo)學(xué)生多向“對(duì)比”：橫向擺了幾個(gè)正方形，長(zhǎng)是幾厘米；縱向擺了幾個(gè)正方形，寬是幾厘米；一共擺了幾個(gè)正方形，面積是多少平方厘米；長(zhǎng)相同，寬越長(zhǎng)，面積越大；寬相同，長(zhǎng)越長(zhǎng)，面積越大。通過(guò)這樣的對(duì)比，就容易形成數(shù)學(xué)結(jié)論：長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)。還可以引導(dǎo)學(xué)生概括：擺出的第1 個(gè)長(zhǎng)方形，用“長(zhǎng)×寬”算出的正好是這個(gè)長(zhǎng)方形的面積，擺出的第2、3、4……個(gè)長(zhǎng)方形也是如此，由此提出數(shù)學(xué)猜想：長(zhǎng)方形的面積是否可以用“長(zhǎng)×寬”來(lái)計(jì)算。這樣，就發(fā)揮了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生思維的作用。

三、創(chuàng)生學(xué)會(huì)思維的課堂

根據(jù)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)類(lèi)型，結(jié)合兒童認(rèn)知規(guī)律與思維特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)一般有規(guī)律發(fā)現(xiàn)式、策略探究式、問(wèn)題解決式、意義建構(gòu)式這四種課型范式（如下圖）。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師要靈活應(yīng)用，創(chuàng)造適合的學(xué)習(xí)方式，更好地幫助學(xué)生思維。

在《長(zhǎng)方形和正方形的面積》一課中，常州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)的陳老師和溧陽(yáng)市竹簀中心小學(xué)的芮老師，都是在用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生思維，且在具體課堂實(shí)踐中能根據(jù)學(xué)生學(xué)情的特點(diǎn)，采用不同的方法策略。

陳老師執(zhí)教的學(xué)校是常州市中心城區(qū)的學(xué)生，他們見(jiàn)識(shí)廣泛、思維活躍。因此，陳老師沒(méi)有拘泥于教材的教學(xué)邏輯，而是先提出挑戰(zhàn)性問(wèn)題：“這里有兩個(gè)沒(méi)有分好格子的長(zhǎng)方形，想知道它的面積有什么好辦法呢？”讓學(xué)生的思維發(fā)散開(kāi)來(lái)，順勢(shì)開(kāi)展第一次的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。該數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)屬于問(wèn)題解決式，學(xué)生開(kāi)動(dòng)大腦，充分嘗試，并不斷自我糾偏或討論完善，初步得出結(jié)論：長(zhǎng)方形的面積要用邊長(zhǎng)是1 厘米的小正方形去量，長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)，初步發(fā)現(xiàn)，用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相乘就可以算出長(zhǎng)方形的面積。進(jìn)而，深化學(xué)生的思維：兩、三個(gè)例子是否就能得出“長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬”的數(shù)學(xué)結(jié)論？于是開(kāi)展第二次實(shí)驗(yàn)，采用規(guī)律發(fā)現(xiàn)式，讓學(xué)生充分舉例，用邊長(zhǎng)是1 厘米的小正方形擺出不同的長(zhǎng)方形來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，擺出各種不同大小的長(zhǎng)方形，并試圖尋找反例，進(jìn)而深入思考：為什么舉不出反例來(lái)？發(fā)現(xiàn)橫排擺出的正方形的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，而豎排擺出的正方形的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是長(zhǎng)方形的寬，由于正方形的個(gè)數(shù)根據(jù)乘法的意義可以用橫排個(gè)數(shù)乘豎排個(gè)數(shù)，那么自然長(zhǎng)方形的面積可以用“長(zhǎng)×寬”來(lái)計(jì)算。最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思兩次實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，形成思維鏈，順勢(shì)推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。在此過(guò)程中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開(kāi)提供了數(shù)學(xué)事實(shí)，也促進(jìn)了其思維的進(jìn)階，讓學(xué)生充分體驗(yàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)！

芮老師執(zhí)教的學(xué)校是鄉(xiāng)村小學(xué)校的學(xué)生，因而芮老師遵循了蘇教版教材的編排邏輯，在課始先安排了一個(gè)觀察活動(dòng)，教師動(dòng)態(tài)演示，拉動(dòng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)?，讓長(zhǎng)或?qū)挼拈L(zhǎng)度發(fā)生變化，同時(shí)觀察面積的變化，從而形成共識(shí)：長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有關(guān)。繼而，設(shè)計(jì)了第一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：長(zhǎng)方形的面積到底與長(zhǎng)、寬有怎樣的關(guān)系呢？把擺出的長(zhǎng)方形列表整理，分析表格中的數(shù)據(jù)，初步發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬。接著設(shè)計(jì)了第二個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，用正方形“量”長(zhǎng)方形的面積，在多維度的觀察、比較、思辨、交流中理解“面積單位的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形的面積”之間的內(nèi)在關(guān)系。最后，深化思考，概括長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。芮老師的教學(xué)在動(dòng)手?jǐn)[、量的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生理解長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)、寬的關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、具體到抽象的概括過(guò)程，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯線(xiàn)索，不僅幫助學(xué)生理解長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，還發(fā)展了學(xué)生的歸納推理能力，使學(xué)生理解到位，學(xué)得扎實(shí)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生思維，就單一實(shí)驗(yàn)活動(dòng)而言，有著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)應(yīng)有的規(guī)范，但當(dāng)幾個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“串聯(lián)”起來(lái)時(shí)，就會(huì)創(chuàng)造出鮮活多姿的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂。教師要依據(jù)不同的學(xué)情特點(diǎn)，靈活選擇適切的、有助于學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)展開(kāi)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程思維涌動(dòng)、活力綻放。