文|王張妮

浙教版小學《數(shù)學》教材主編張?zhí)煨⒗蠋熝邪l(fā)了“天平中的推理”系列題目，目前正由團隊做成微課——《張?zhí)煨⑿W數(shù)學思維訓練題析》（簡稱“一題一課”），力圖把深刻的教育思想演化為踏實、有效的思維訓練。在制作微課的過程中，我們深入體驗和思考，有許多心得和體會。下面以一個天平推理問題為例，詳細分析小學生在解決這個問題的過程中，數(shù)學化水平逐漸深化的過程，以期給廣大教師帶去更多代數(shù)教學的啟發(fā)。

原題如圖1 所示：呈現(xiàn)了三架天平，第一架天平中，2 輛玩具車的質(zhì)量等于1 只玩具熊貓的質(zhì)量；第二架天平中，2 堆積木的質(zhì)量等于1 只玩具熊貓的質(zhì)量；第三架天平中，1 堆小球和1 堆積木的質(zhì)量之和等于1 只玩具熊貓的質(zhì)量。要求：1 輛玩具車的質(zhì)量等于幾塊積木的質(zhì)量，1 塊積木的質(zhì)量等于幾個小球的質(zhì)量，1 只玩具熊貓的質(zhì)量等于幾個小球的質(zhì)量。

圖1 原題選自《跟張爺爺學數(shù)學2A》

制作成微課時，我們參照弗賴登塔爾數(shù)學化層次的幾個定義，同時根據(jù)題型自身的特征，做了一些優(yōu)化和延伸。具體可分析為：

第一層次，情境層次。這一層次的活動主要是從背景信息中找出有關條件，思考怎樣解決問題。針對本題，我們首先更為關注的是學生對天平中各個元素之間關系的理解和表達，不管是單架天平中“元素與元素”之間的關系，還是多架天平中“天平與天平”之間的關系，都需要學生經(jīng)過觀察、分析和處理。這雖然是一個非常直觀的層次，我們?nèi)匀唤o予學生充裕的時間去尋找天平中的線索，梳理圖像信息，并引導他們用自己的言語盡可能準確地表達出來，外化他們的思維。確認學生能夠關注到每兩架天平之間可以替換，或者說傳遞相等。

第二層次，指涉層次，指利用具體的數(shù)學模型或數(shù)學式子去代表特定的數(shù)學對象，且必須指涉問題所衍生的情境。簡言之，就是用數(shù)學的模型或語言去表達情境。需要強調(diào)，這里的數(shù)學化層次更多指用數(shù)學語言去描摹所看到的情境，即對數(shù)學符號的理解和表達，與上一層次原始情境的解讀是不一樣的。本題，我們在做微課的時候會一點點將日常語言演化為數(shù)學式子的表達，等式與情境結合，在情境中推演，用數(shù)學等式記錄，在學生心中建立兩者的聯(lián)系，使得數(shù)學語言的應用越來越自然、嫻熟。

圖2 用數(shù)學語言描述天平的平衡狀態(tài)

第三層次，普遍層次，指使用具有普遍意義的數(shù)學模型去分析蘊含的關系。這時模型的建立不再依賴背景環(huán)境，而是單純地從數(shù)量關系中討論數(shù)學關系。對本題，學生不需要時時回到天平情境，而可以直接對符號進行運算。低段學生經(jīng)過前兩個層次后，逐漸過渡到第三個層次，是我們尤為期待的。當然，前兩個過程是漫長的，允許出錯和適當?shù)雇?。只有前兩個層次逐漸牢固，第三個層次甚至過渡到第四個層次才更有深度和更為順利。天平推理的最終歸宿是代數(shù)思維的建立和推理能力的增強。學生最終將不需要依賴天平圖像，僅通過等式就能觀察出結構，分析出關系，作出更廣泛和靈活的推理。

圖3 進行一般化的數(shù)學推理

第四個層次，形式層次，這個層次允許學生進行思維、反思及欣賞活動。這是因為數(shù)學對象已經(jīng)在數(shù)學范疇內(nèi)用規(guī)范化的步驟和符號進行表述和操作的緣故。天平推理系列題目的教學目標不在于總結出一個公式、一套算法，但處在形式層次的學生可以時時返回到任何一個環(huán)節(jié)進行思維方法的反思、欣賞和創(chuàng)造。學生在推理過程中不再對符號、等式這樣抽象的內(nèi)容感到心理壓力。相反的，在任何一個環(huán)節(jié)中，所有形式化的內(nèi)容和情境本身一樣清晰明朗，甚至更加簡練和概括，帶來思維的自信和樂趣。

有的學生在進行天平的兩兩比較后發(fā)現(xiàn)還有另一種方法：三架天平比較。并且在后續(xù)的計算中，也會不斷地從已知等式中抽取想要的結果，而不是按部就班全部重新算一遍。更具體來說：例如，綜合三幅圖像，建立2 輛小車的質(zhì)量=2 堆積木的質(zhì)量=1 堆小球和1 堆積木的質(zhì)量和后，可以立刻從連等式中知道1 堆積木的質(zhì)量=1 堆小球的質(zhì)量，從而優(yōu)化連等式為：2 輛小車的質(zhì)量=2 堆積木的質(zhì)量=2 堆小球的質(zhì)量；最后對整個等式進行折半處理，得到1 輛小車的質(zhì)量=1 堆積木的質(zhì)量=1 堆小球的質(zhì)量，牢牢地把握“量變，關系不變”。

圖4 在形式化的基礎上進行評價、反思活動

總之，任務的運用是為了更好地達成學習目標。天平是很好的發(fā)展代數(shù)思維的工具，天平推理時可有效訓練小學生的數(shù)學化水平。像這樣利用好每一道題，并在系列題目中有所側重，反復推進，對學生思維的發(fā)展多有裨益。