李曉晴， 劉 瀛， 包素艷

(1.北京交通大學(xué) 機械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044； 2.航天新長征大道科技有限公司，北京 100070；3.北京航天愛銳科技有限責(zé)任公司，北京 100076)

導(dǎo)彈是一種“長期貯存，一次使用”的武器裝備，其健康狀態(tài)通常需要綜合多個參數(shù)進行評定，一旦某一關(guān)鍵部位出現(xiàn)故障，將會給整個系統(tǒng)帶來嚴(yán)重影響，后果不堪設(shè)想。但是測試參數(shù)與導(dǎo)彈健康狀態(tài)之間并不存在明顯的對應(yīng)關(guān)系，所以利用測試參數(shù)評估導(dǎo)彈健康狀態(tài)是一個不確定性推理過程，D-S(Dempster-Shafer)證據(jù)理論可以很好地處理基于多源信息不確定推理的問題，對于發(fā)現(xiàn)潛在故障和優(yōu)化決策等方面具有重要作用。本文針對經(jīng)典D-S證據(jù)理論在數(shù)據(jù)融合過程中存在的問題[1]，通過對比現(xiàn)有的改進算法，并在此基礎(chǔ)上做了進一步修正，最后用一個實際案例證明了該算法的有效性。

1 經(jīng)典D-S證據(jù)理論

D-S證據(jù)理論起源于20世紀(jì)60年代，最早是由美國的數(shù)學(xué)教授Dempster提出來的，該理論利用上下限概率完美地解決了多值映射的問題，后來Shafer對該理論做了進一步完善并進行了推廣[2]。經(jīng)典的D-S證據(jù)理論主要包括3個基本內(nèi)容：基本可信度分配函數(shù)m、信度函數(shù)Bel和Dempster合成規(guī)則。

(1) 基本可信度分配函數(shù)。

(2) 信度函數(shù)。

Dempster合成規(guī)則是證據(jù)理論的核心，其將來自不同信息源的獨立證據(jù)進行組合，產(chǎn)生更可靠的信息。假設(shè)Bel1和Bel2是同一識別框架上的兩個可信度函數(shù)，m1和m2分別是其對應(yīng)的基本可信度分配函數(shù)，則Dempster合成規(guī)則可以表示為

(1)

但是當(dāng)K→1時，即證據(jù)之間的沖突程度較大時，經(jīng)典的D-S證據(jù)理論不再適用。實際上，在評估導(dǎo)彈健康狀態(tài)時，各項測試參數(shù)大多通過傳感器采集，而傳感器采集的信息不乏相互沖突矛盾的，如果直接帶入模型，則會導(dǎo)致結(jié)果分析不準(zhǔn)確，需要對D-S證據(jù)理論進行改進。

針對D-S證據(jù)理論不能合成高沖突證據(jù)的問題，主要有以下兩種改進方法。

(1) 修改證據(jù)源。

該方法的前提是認(rèn)為D-S組合規(guī)則本身沒有問題，但是需要對原始證據(jù)進行處理。Murphy最早提出了加權(quán)平均法[3]，首先求出所有證據(jù)的基本概率分配(Basic Probability Assignment,BPA)的算術(shù)平均值，然后再利用經(jīng)典的D-S證據(jù)組合規(guī)則進行n-1次融合，通過對證據(jù)進行簡單的加權(quán)處理可以提高沖突證據(jù)融合結(jié)果的精確性，彌補了經(jīng)典證據(jù)理論組合規(guī)則的不足之處[2]。但是該方法在進行加權(quán)處理時，默認(rèn)各個證據(jù)對結(jié)果的影響是相同的，但實際上各個參數(shù)指標(biāo)所占的權(quán)重并不相同，所以Murphy方法還需進一步改進。鄧勇等[4]在Murphy改進方法的基礎(chǔ)上，引入了一個度量各個證據(jù)體之間相似度的距離函數(shù)，可以計算出系統(tǒng)中各個證據(jù)相對于其他證據(jù)的支持度，并將該支持度作為權(quán)重，進行加權(quán)平均后利用D-S組合規(guī)則進行融合，該方法具有較強的抗干擾能力，收斂速度也較快。胡昌華等[5]通過Pignistic變換重新定義了衡量證據(jù)間沖突的標(biāo)準(zhǔn)，通過引入證據(jù)重要權(quán)重系數(shù)，對沖突概率進行重新分配，也可以有效處理證據(jù)之間的沖突。雖然上述幾種方法中都考慮了各個證據(jù)體之間的關(guān)系，可以在一定程度上改善沖突問題，但是并沒有考慮證據(jù)自身的有效性，對最終的融合結(jié)果也會產(chǎn)生一定影響。

(2) 修改合成規(guī)則。

該方法的前提是認(rèn)為最終融合結(jié)果與實際不符是由于組合規(guī)則的不足引起的。最具有代表性的則是Yager[6]法，他認(rèn)為應(yīng)該將沖突證據(jù)賦給辨識框架中的未知部分。雖然這樣處理在一定程度上可以合成高沖突的證據(jù)，但是相當(dāng)于完全否定了沖突證據(jù)，當(dāng)有2個及以上的證據(jù)源時，該方法的合成效果并不理想。孫全等[7]則認(rèn)為即使證據(jù)間互相沖突但是仍有部分是可用的，可用程度取決于該證據(jù)的可信度，可以把支持證據(jù)沖突的概率賦給各個命題，但是這種方法的一個明顯錯誤在于作者在求解時把證據(jù)集體的可信度當(dāng)做單個證據(jù)的可信度。李弼程等[8]則在孫全的基礎(chǔ)上，將支持證據(jù)沖突的概率按各個命題的平均支持程度進行加權(quán)分配，進一步改進了組合規(guī)則，即使對于高沖突證據(jù)，也可以得到較為理想的結(jié)果。李弼程改進的方法雖然使融合結(jié)果更符合實際，但是忽略了各個證據(jù)的可信度。葉清等[9]在李弼程改進方法的基礎(chǔ)上引入了“證據(jù)折扣率”用來確定各個證據(jù)的權(quán)重，將沖突按照證據(jù)權(quán)重進行分配。潘光等[10]則在此基礎(chǔ)上對D-S組合規(guī)則做了進一步改進，通過證據(jù)距離確定單個證據(jù)的可信度，基于可信度采用加權(quán)平均的方法將證據(jù)沖突概率分配給各個命題，這兩種改進方法都加快了融合結(jié)果向正確目標(biāo)收斂的速度。

綜上所述，對比經(jīng)典D-S證據(jù)理論以及兩種主流的改進算法，不難發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)者都將重心放在了分析證據(jù)之間的關(guān)系上，但是證據(jù)本身的有效性和重要程度卻被忽略了。且經(jīng)大多數(shù)文獻結(jié)果證明，修改證據(jù)源要比修改合成規(guī)則在解決沖突問題上更有效[11]。Haenni[12]從工程、哲學(xué)和數(shù)學(xué)的角度證明了“如果在模型X上使用方法Y得出了一個不合理的結(jié)論Z”時，實際上應(yīng)該是模型X的問題，應(yīng)該修正的是模型本身，即證據(jù)源本身，而不是修改合成規(guī)則。

目前，已有不少學(xué)者將改進的D-S證據(jù)理論應(yīng)用在導(dǎo)彈的健康狀態(tài)評估中，改進方法也大多借鑒以上兩種主流方法。文獻[1]中綜合考慮平均概率和證據(jù)理論，構(gòu)造了一種新的D-S證據(jù)組合規(guī)則，采用平均概率合成沖突證據(jù)，用于評估導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的完好性，但是在證據(jù)合成時并沒有考慮證據(jù)之間的關(guān)系。文獻[13]中建立了基于改進證據(jù)理論的裝備健康狀態(tài)退化模型，在D-S證據(jù)合成規(guī)則中加入了基本概率賦值的“折扣率”，但其選用的三角型隸屬度函數(shù)過于粗糙，不能很好地表征測試數(shù)據(jù)與健康狀態(tài)之間的關(guān)系；文獻[14]中利用粗糙集結(jié)合修正證據(jù)源的D-S證據(jù)理論建立了導(dǎo)彈故障智能診斷推理模型，雖然能夠減少不確定性對導(dǎo)彈故障智能診斷的不利影響，但是計算量較大，復(fù)雜度較高。

所以本文從實際工程問題出發(fā)，基于修正證據(jù)源的改進方法，在文獻[4]的基礎(chǔ)上，對證據(jù)源進行處理，計算各個證據(jù)的權(quán)重，并對證據(jù)的可信度進行修正，提出了一種新的基于D-S證據(jù)理論評估導(dǎo)彈健康狀態(tài)的方法。

2 方法修正

本方法的核心思想是在利用D-S組合規(guī)則進行融合之前，首先對各個證據(jù)進行處理，從已有的數(shù)據(jù)中分析各個證據(jù)之間的聯(lián)系以及證據(jù)自身的有效性和可靠性，從而確定每個證據(jù)的最終權(quán)重。一方面，根據(jù)香農(nóng)定理，一個證據(jù)自身包含的不確定信息越多，對決策的影響應(yīng)該越小，權(quán)重就越低；另一方面，如果一個測試指標(biāo)的實際測量值即將超過標(biāo)準(zhǔn)閾值，即導(dǎo)彈的健康狀態(tài)將由擬故障過渡到故障，則在決策時應(yīng)該重點突出狀態(tài)較差的參數(shù)，使決策結(jié)果向故障狀態(tài)傾斜，提醒用戶重點關(guān)注該導(dǎo)彈。在此基礎(chǔ)上，本文改進的基于D-S證據(jù)理論評估導(dǎo)彈健康狀態(tài)的方案具體步驟如下。

① 根據(jù)同一時間不同導(dǎo)彈相同指標(biāo)的測量值，利用熵權(quán)法計算出各個指標(biāo)的權(quán)重向量W1。信息熵的定義如下：

(2)

式中：p(xi)表示隨機事件X為xi的概率。

熵權(quán)法主要根據(jù)指標(biāo)的變異性的大小來確定指標(biāo)的客觀權(quán)重。通常來說，如果某個指標(biāo)的信息熵越小，說明該指標(biāo)的變異程度越大，提供的信息量越大，在綜合評價中所占的權(quán)重就越大。假設(shè)有n個指標(biāo)，利用熵權(quán)法求得的第i個指標(biāo)的權(quán)重為W1i。

② 以一枚導(dǎo)彈作為分析對象，如果有某個指標(biāo)的測量值超出指標(biāo)閾值范圍，即判定該導(dǎo)彈為故障狀態(tài)；若所有測試參數(shù)均在標(biāo)準(zhǔn)閾值范圍內(nèi)，則進一步分析其所處的健康狀態(tài)。

③ 首先根據(jù)各個測試指標(biāo)的歷史測試均值，上次非故障值和標(biāo)準(zhǔn)值對測試參數(shù)進行歸一化處理，最后取平均值作為最終歸一化值λ；然后按照最終歸一化值求權(quán)重向量W2，歸一化值越大，權(quán)重越大，目的是突出狀態(tài)較差的參數(shù)，權(quán)重計算方法如下所示，則第i個參數(shù)對應(yīng)的權(quán)重為W2i。

(3)

④ 根據(jù)測試參數(shù)的歸一化值，利用合適的嶺形隸屬度函數(shù)，求出各個指標(biāo)相對于各個健康狀態(tài)等級的隸屬度，即D-S證據(jù)理論中的BPA。

隸屬度函數(shù)用于表示導(dǎo)彈處于某種健康狀態(tài)的程度高低，取值范圍為[0,1]，隸屬度越接近于1，隸屬程度越高，反之越低[15]。傳統(tǒng)的三角隸屬度函數(shù)過于粗糙，由于嶺形分布隸屬度函數(shù)具有主值區(qū)間較寬、過渡帶平緩等特征，具有良好的對稱性、穩(wěn)定性和控制敏感度，可以較好地表征各個健康狀態(tài)之間的不確定關(guān)系[16]，所以選用嶺形分布隸屬度函數(shù)對相鄰健康狀態(tài)等級之間的不確定性進行量化分析。嶺形隸屬度分布函數(shù)如下所示：

(4)

⑤ 利用Jousselme距離[17]求出各個證據(jù)(指標(biāo))之間的距離，進而求出每個證據(jù)的可信度。Jousselme距離是Jousselme為了衡量兩個證據(jù)之間的相似性提出的一個距離函數(shù)。假設(shè)m1和m2是辨識框架Θ中的兩個BPA函數(shù)，將m1和m2視為行向量，則m1和m2之間的距離可以表示為

(5)

(6)

式中：

(7)

‖m‖2=〈m,m〉

(8)

根據(jù)證據(jù)mi和mj之間的距離可以計算兩者之間的相似度S(mi,mj)為

S(mi,mj)=1-dBPA(mi,mj)

(9)

兩者之間的距離越小，相似性越高。依此類推，對于系統(tǒng)中的任意一個證據(jù)mi，可以求得該證據(jù)與系統(tǒng)中其他證據(jù)的相似度，進而求得該證據(jù)與其他證據(jù)的平均相似度為

(10)

平均相似度越高，說明該證據(jù)與其他證據(jù)的距離越近，獲得其他證據(jù)的支持度越高。根據(jù)系統(tǒng)中所有證據(jù)的平均相似度，可以計算出每個證據(jù)的可信度為

(11)

證據(jù)的可信度越高，其在決策過程中所占的權(quán)重越大。

⑥ 綜合步驟①和步驟③中求得的各個證據(jù)的權(quán)重W1i以及權(quán)重W2i對證據(jù)的可信度Ri進行修正。假設(shè)有n個證據(jù),則第i個證據(jù)的權(quán)重為

(12)

⑦ 基于Murphy改進方法，在BPA中加入各個證據(jù)的權(quán)重，利用D-S組合規(guī)則進行n-1次融合，得出最終結(jié)果，該方法的計算過程如下：

(13)

綜上所述，在導(dǎo)彈健康狀態(tài)評估中，首先在性能指標(biāo)測試參數(shù)的基礎(chǔ)上，對單位不一、閾值各異的測試參數(shù)進行歸一化處理；接著根據(jù)參數(shù)的歸一化值和不確定性求出該參數(shù)的綜合權(quán)重；然后利用Jousselme距離求出該證據(jù)的可信度，并對該證據(jù)的權(quán)重進行修正；最后通過改進的嶺形隸屬度函數(shù)確定各個參數(shù)對各個健康狀態(tài)等級的隸屬度，即該證據(jù)的BPA值，構(gòu)建基于改進的D-S證據(jù)理論的導(dǎo)彈健康狀態(tài)評估模型。流程圖如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈健康狀態(tài)評估流程圖

3 實驗驗證

健康狀態(tài)分級是導(dǎo)彈健康狀態(tài)評估的基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的導(dǎo)彈健康狀態(tài)分級采用的“是非制”過于粗糙，不能準(zhǔn)確掌握導(dǎo)彈當(dāng)前的健康狀態(tài)，本文將導(dǎo)彈的健康狀態(tài)根據(jù)參數(shù)測量值的范圍進一步細(xì)化，如表1所示。

表1 健康狀態(tài)分級

以某型號地空導(dǎo)彈為例，假設(shè)表征其健康狀態(tài)的測試指標(biāo)為P1、P2、P3、P4、P5，在2020年的某次測試中，10枚導(dǎo)彈各個測試指標(biāo)的測試情況如表2所示。

表2 10枚導(dǎo)彈測試參數(shù)列表

如果出現(xiàn)某個測試參數(shù)的實際測量值超出標(biāo)準(zhǔn)閾值范圍，則該設(shè)備的健康狀態(tài)直接被判定為故障狀態(tài)。已知表2中各個測試參數(shù)均在標(biāo)準(zhǔn)閾值范圍內(nèi)，利用熵權(quán)法可以得到各個測試參數(shù)指標(biāo)在設(shè)備健康狀態(tài)評估中的權(quán)重向量為W1=[0.2171，0.202，0.2184，0.2184，0.1442]。

以其中一枚導(dǎo)彈為例，5個測試參數(shù)對應(yīng)的本次測試實際值、上次測試非故障值、歷史測試均值以及標(biāo)準(zhǔn)閾值如表3所示。

表3 單枚導(dǎo)彈測試參數(shù)列表

考慮到導(dǎo)彈的健康狀態(tài)是一個隨時間累積的過程，不僅與現(xiàn)在的參數(shù)有關(guān)，還與設(shè)備的歷史測試數(shù)據(jù)有關(guān)，在進行歸一化處理時，將本次測試數(shù)據(jù)與上次非故障測試數(shù)據(jù)、歷史故障數(shù)據(jù)均值以及標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)分別進行比較，可以更準(zhǔn)確地描述當(dāng)前的健康狀態(tài)。經(jīng)過歸一化處理之后，最終歸一化值為λ=[0.4417,0.4139,0.4033,0.3822,0.3295]。為了突出狀態(tài)較差的參數(shù)，得到各個參數(shù)的權(quán)重向量W2=[0.2241，0.21，0.2047，0.194，0.1672]，改進的嶺形隸屬度分配函數(shù)如圖2所示，其中顏色重疊區(qū)域代表不確定性區(qū)域，處在該區(qū)域的歸一化值，既隸屬于前一狀態(tài)，又隸屬于后一狀態(tài)，隸度和為1。

圖2 嶺形分布隸屬度函數(shù)示意圖

利用最終歸一化值，根據(jù)隸屬度分布函數(shù)，可以求出各個證據(jù)(指標(biāo))對應(yīng)的BPA，假設(shè)優(yōu)秀、良好、較好和擬故障對應(yīng)的質(zhì)量等級分別為A、B、C、D,測試參數(shù)P1、P2、P3、P4、P5對應(yīng)的BPA為m1、m2、m3、m4、m5,具體數(shù)值如表4所示。

表4 基本概率分配(無沖突)

根據(jù)Jousselme距離可以求出這5個證據(jù)指標(biāo)的可信度分別為：R1=0.2013,R2=0.2094,R3=0.2083,R4=0.2096,R5=0.1714。根據(jù)權(quán)重W1和W2對可信度進行修正，可以得到5個證據(jù)指標(biāo)的最終權(quán)重分別為：ω1=0.2142,ω2=0.2071,ω3=0.2105,ω4=0.2073,ω5=0.1609。

下面將本文提出的方法與D-S經(jīng)典理論、Murphy法改進算法以及文獻[4]算法進行對比，融合結(jié)果如表5所示。

表5 算法融合結(jié)果對比(無沖突)

由表5可知，在獲取的信息源中沒有沖突或沖突較小的情況下，4種方法的最終合成結(jié)果相同。對比相同迭代次數(shù)下，本文的改進方法相比于Murphy改進算法和文獻[4]中的方法收斂速度更快，這是因為在融合過程中，根據(jù)各個指標(biāo)的測試值對證據(jù)的可信度做了進一步修正，加快了向正確結(jié)果的收斂速度，也進一步論證了本文改進算法的正確性。

如果修改表3中的P1本次測試值為0.69，即超出閾值范圍，使測試信息中存在一定程度的沖突。經(jīng)計算，最終歸一化值為:λ=[0.6417，0.4139，0.4033，0.3822，0.3295]，根據(jù)歸一化值進一步求得各個參數(shù)權(quán)重：W2=[0.2965，0.1907，0.1858，0.1761，0.1518]，根據(jù)嶺形隸屬度函數(shù)可以求得各個證據(jù)對應(yīng)的BPA如表6所示。

表6 基本概率分配(有沖突)

由表6可知，證據(jù)1(m1)提供的信息與其他4個證據(jù)提供的信息存在嚴(yán)重沖突。根據(jù)Jousselme距離可以求出這5個證據(jù)指標(biāo)的可信度為：R1=0.0297,R2=0.2522,R3=0.2505,R4=0.2525,R5=0.2151。根據(jù)權(quán)重W1和W2對可信度進行修正，可以得到5個指標(biāo)的最終權(quán)重分別為：ω1=0.1507,ω2=0.2214,ω3=0.2245,ω4=0.2216,ω5=0.1755。

D-S經(jīng)典理論算法中，由于上述信息中證據(jù)1與其他證據(jù)產(chǎn)生明顯沖突，沖突因子K=1，此時經(jīng)典的證據(jù)理論合成規(guī)則不再適用。對比沖突證據(jù)1的權(quán)重，Murphy算法中的權(quán)重為0.2，默認(rèn)與其他證據(jù)權(quán)重相同；文獻[4]算法中的權(quán)重為0.0297，認(rèn)為其作為沖突證據(jù)，可提供信息較少，所占權(quán)重也最??；本文改進算法在文獻[4]的基礎(chǔ)上，對沖突證據(jù)的權(quán)重做了進一步修正，最終權(quán)重為0.1570。下面比較Murphy改進算法、文獻[4]算法以及本文算法在解決合成信息存在沖突時的合成結(jié)果，如表7所示。

表7 算法融合結(jié)果對比(有沖突)

由表7可知，3種方法的最終融合結(jié)果均表示該導(dǎo)彈處于良好狀態(tài)，說明該方法同樣適用于處理存在沖突信息的情況。由于原始信息中存在沖突證據(jù)，參數(shù)1的實際測量值即將超出標(biāo)準(zhǔn)閾值范圍，雖然導(dǎo)彈整體健康狀態(tài)趨于良好，但是如果某個測試指標(biāo)存在異常，在進行合成時，應(yīng)盡量保留該信息，確保合成結(jié)果的真實有效，則文獻[4]的合成結(jié)果與實際情況存在一定偏差。Murphy方法和本文改進方法的合成結(jié)果均保存了該信息，由于Murphy方法默認(rèn)各個證據(jù)的權(quán)重相等，雖然計算簡單，但是卻忽略了證據(jù)自身的有效性和證據(jù)體之間的聯(lián)系；本文的改進方法不僅保留了證據(jù)自身的信息，且結(jié)合了證據(jù)之間的關(guān)系確定了最終權(quán)重，聚焦速度比Murphy改進算法更快，與此同時又保留了處于較好狀態(tài)的小概率，用戶可以根據(jù)評估結(jié)果合理安排維修保養(yǎng)任務(wù)，及時排除安全隱患[13]，確保整個設(shè)備系統(tǒng)正常運行。

綜上所述，當(dāng)融合信息中存在一定程度的沖突時，不能盲目全盤否定沖突信息，即沖突證據(jù)也可以提供一部分有效信息，且該證據(jù)所占的權(quán)重與其他證據(jù)相比較大，目的是凸顯狀態(tài)較差的參數(shù)，使最終融合結(jié)果既不會產(chǎn)生明顯的偏移，同時又保留沖突證據(jù)所提供的信息。

4 結(jié)束語

導(dǎo)彈的健康狀態(tài)評估是制定維護與管理任務(wù)的先決條件，本文改進的算法可以對各個測試指標(biāo)進行綜合評估，給出相對客觀的權(quán)重，由于各種因素的干擾，獲取的信息源中有時會有沖突證據(jù)存在，在利用D-S證據(jù)理論進行融合時，不能全部否定沖突信息，要從證據(jù)自身出發(fā)，結(jié)合各個證據(jù)自身的有效性和可靠性對證據(jù)的可信度做進一步修正。經(jīng)論證，提出的改進算法的融合結(jié)果與實際情況相符，且向正確結(jié)果收斂的速度要優(yōu)于Murphy改進算法和文獻[4]中的改進算法，對于導(dǎo)彈健康狀態(tài)的評估更加細(xì)化，對D-S證據(jù)理論在導(dǎo)彈以及其他飛行器中健康評估的應(yīng)用具有一定的參考價值。