劉家辰，黃永箴，郝友增，楊珂，楊躍德，肖金龍

（1 中國科學院半導體研究所集成光電子學國家重點實驗室，北京100083）

（2 中國科學院大學材料科學與光電工程中心，北京100049）

0 引言

半導體激光器的相對強度噪聲（Relative Intensity Noise，RIN）和頻率噪聲（Frequency Noise，FN）對光通信、光學測量、光學計算等領域的可靠性分析有著重要影響。相對強度噪聲是指激光器輸出功率的起伏，它與激光器腔內模式的跳變和競爭，以及相干激光模式與自發(fā)輻射之間的光干涉有關［1-3］。在光通信中，低相對強度噪聲激光器有利于在數字和模擬信號傳輸中實現高信號保真度和低誤碼率。Fabry-Pérot 二極管激光器實現了幅值為-159 dB/Hz 的相對強度噪聲［4］。高輸出功率的分布反饋（Distributed Feedback，DFB）半導體激光器得到了在0.08～40 GHz 的頻率范圍內低于-160 dB/Hz 的相對強度噪聲［2］。而垂直腔面發(fā)射激光器實現了接近其標準量子極限-154.3 dB/Hz 的相對強度噪聲［5］。激光器的頻率噪聲是指瞬時頻率的隨機漲落，其來源于自發(fā)射入該模式內的光子導致的激光器的固有相位噪聲［1］。而激光的線寬，即激光單模光譜的半高全寬，可以由頻率噪聲譜低頻處的頻率噪聲確定。在光纖通信中，通信系統(tǒng)的容量與光源的譜寬成反比［6］。在相干光通信中，采用窄線寬光源可以降低誤碼率［7］，而相干探測器和高分辨率光譜也要求使用窄線寬的激光器［8-9］。但是實驗結果表明，除非采取額外措施，半導體激光器的線寬通常大于1 MHz，這比大多數相干通信系統(tǒng)所需要的線寬要寬［1］。因此，實現窄線寬半導體激光器也是當下研究的重點。

為了能夠數值分析半導體激光器的噪聲與線寬特性，人們提出一種用自洽數值方法產生相關朗之萬噪聲源的數值模擬算法［10］，并在I=1.5Ith時得到了11 MHz 的半導體激光器線寬。并且通過該算法在12.9 mA的注入電流下得到了4.9 MHz 的DFB 激光器線寬，所得到的模擬結果與測量數據一致［11-12］。該計算方法還拓展應用于研究模式間拍頻［13］、外腔［14］、光學反饋［15-16］等因素對半導體激光器RIN 噪聲和線寬的影響。

最近，回音壁模式正方形微腔激光器的模式選擇和線寬特性引起了人們的關注，正方形微腔激光器可以實現單模與雙模的穩(wěn)定激射，并且得到了20 MHz 的單模線寬與42 MHz 的雙模線寬［17-18］。隨后，研究者基于正方形微腔和Fabry-Pérot 腔組成的耦合腔激光器，實驗和模擬研究了全光邏輯門的操作［19，20］，并研究了耦合腔激光器的相對強度噪聲和線寬特性［21］。本文主要研究回音壁模式微腔激光器的模式競爭對噪聲和線寬特性的影響。通過數值模擬朗之萬噪聲源驅動下的速率方程得到激光器的相對強度噪聲和頻率噪聲，并由低頻處的頻率噪聲得出激光器的模式線寬。另外，通過快速傅里葉變換的方法由時域信號模擬激光線型，并得到激光的模式線寬，結果與低頻頻率噪聲譜計算得到的線寬基本一致。當微腔激光器雙模激射時，由于雙模模式競爭作用，隨模式功率下降高功率模式的低頻處頻率噪聲比高頻處升高快，而隨模式功率上升低功率模式的低頻處頻率噪聲比高頻處下降慢，因而微腔激光器低頻的頻率噪聲總是處于高態(tài)，使得線寬展寬。

1 速率方程模型與模式跳變

通過建立含非線性增益的速率方程模型，耦合腔激光器的穩(wěn)態(tài)及光雙穩(wěn)特性等得到了研究［20］。而本文通過建立含朗之萬噪聲源的三模速率方程模型對回音壁式微腔激光器的穩(wěn)態(tài)和噪聲特性進行研究。當表示模式電場為Eexp［j（ωt+ψ）］時，描述激光器的載流子濃度、光子濃度和模式相位之間關系的速率方程可表示為

式中，p=1，2 和3 分別代表波長為1 540、1 560 和1 580 nm 的M1、M2 和M3 模式，N是微腔中假設均勻分布的載流子密度，Sp是p模式的光子密度。I是注入電流大小，V是微腔有源區(qū)的體積，e 是電子電量，η是電流的注入效率，g表示光學增益。A、B和C分別是缺陷復合系數，雙分子自發(fā)輻射復合系數和俄歇復合系數。雙分子復合系數B由載流子密度和溫度T決定，表示為

式中，B0=1×10-10cm-3，B1=1×10-19cm-3，B2=1.1×10-2cm-3［22］。俄歇復合系數C=C0exp（-Ea/kT），活化能Ea=60 meV［22］。vg=c/ng為群速度，其中c=3×10-10cm s-1，為光在真空中的速度，而ng為群折射率。Γz是光限制因子，β是自發(fā)發(fā)射因子，αint為材料內吸收損耗，α為線寬增強因子。冷腔模式光子壽命τpc=Qp/ωp，由冷腔模式的品質因子Qp和角頻率ωp決定。

假設光學增益g為具有非線性效應的對數函數，則有

式中，g0為材料的本征增益，ε為燒孔效應引起的增益抑制因子［23］，εpp為自增益飽和抑制因子，εpq為交叉增益抑制因子。Ns為對數增益參數，Ntr為1 490 nm 處的透明載流子密度［24］。

假設自發(fā)發(fā)射譜為一高斯分布函數，則可得到峰值波長和半高寬分別為λ0和δλ的自發(fā)發(fā)射譜

而統(tǒng)一的增益譜和自發(fā)發(fā)射譜模型可表示為

該增益譜模型受到載流子濃度和溫度的影響，其具體參數與取值見文獻［20］。

FN是微腔內的朗之萬載流子噪聲源，FS是光子噪聲源，而Fψ是相位噪聲源。如果這些噪聲源互不相關，則可以用獨立的高斯隨機變量進行數值模擬。但是，由于FN和FS之間存在交叉相關關系，因此定義了一個和噪聲源FS相互正交但是互不相關的新噪聲量FZ［10］，得到了FN=FZ－FS。從而，隨機噪聲項可表示為

式中，xZ，xS和xψ是0 附近以單位方差波動的三個獨立高斯分布的隨機數［10］，Δt為計算時間步長，值為1 ps。

根據建立的無噪聲源的速率方程式（1）～（3）并結合表1 中各參數的取值，計算得到了回音壁微腔激光器的穩(wěn)態(tài)特性。微腔激光器的溫度變化由初始溫度和注入電流引起的溫升兩部分來考慮。其中，初始溫度保持在300 K，而模式波長隨溫度以0.11 nm/K 的速度發(fā)生紅移。因此，通過實驗擬合模式波長隨注入電流的變化，就可以得到微腔激光器的溫度隨注入電流的變化，為ΔT=0.4×I+0.008×I2。并把光輸出功率與冷腔模式光子壽命關系表示為

表1 參數的定義及數值Table 1 Explanation and value of the various symbols

式中，h是普朗克常數，Veff=Va/Γz為模式體積，Va為器件的有源區(qū)體積。假設激光器的輸出效率σ為70%，光輸出功率P隨注入電流I的變化關系如圖1。由于電流注入導致溫度上升，激光器的激射波長隨注入電流的增加而紅移跳模。當初始溫度為300 K 時，微腔激光器的閾值電流為8 mA。注入電流為8～50 mA，5～85 mA 和89～120 mA 時，激光器分別在M1，M2 和M3 模式單模激射。而在50～53 mA 和85～89 mA 這兩個區(qū)間內，器件處于雙模激射狀態(tài)。在注入電流為115 mA 時，激光器的光輸出功率最大，為9.2 mW。

圖1 模式M1、M2、M3 和總的輸出功率隨注入電流的變化Fig.1 M1，M2，M3 and total output powers versus the biasing current

2 相對強度噪聲模擬結果

相對強度噪聲是指激光輸出功率的波動。過大的相對強度噪聲會導致模擬信號的信號失真和數字信號的誤碼率增加［1］。對于半導體激光器來說，即使在穩(wěn)態(tài)下，也會出現不同程度的RIN 噪聲，這主要是由于器件中載流子與光子的隨機產生和隨機復合，導致載流子密度和光子密度的不規(guī)則變化。相對強度噪聲定義為

相對強度噪聲譜定義為自相關函數的快速傅里葉變換，在T=50 μs 的長周期內計算為［10］

式中，ω為角頻率。在1 ps 的計算步長下模擬了不同注入電流下激光器單模激射時的相對強度噪聲譜，如圖2（a）?？梢钥吹?，隨著注入電流的增大，弛豫振蕩頻率增大，相對強度噪聲值和弛豫振蕩峰值明顯減小。當注入電流為115 mA 時，微腔激光器的RIN 噪聲接近于標準量子極限2 hv/P=-165.5 dB/Hz。

圖2 激光器處于不同激射狀態(tài)時的相對強度噪聲譜Fig.2 The relative intensity noise spectra of the laser in different lasing states

而由圖1 中的PI曲線可以得到，當電流在一定的注入條件下，微腔激光器可以處于雙模激射狀態(tài)。當I=51 mA 時為M1、M2 模式激射，I=87 mA 時M2、M3 模式雙模激射。激光器偏置電流分別為51 和87 mA下的RIN 噪聲譜如圖2（b）和（c）所示。當I=51 mA 時，模式M1 和M2 同時激射，由于M1 模式的輸出功率大于M2 模式，M1 模式的光子密度大，整體的RIN 噪聲值小于M2 模式。然而，在低頻處兩個模式的相對強度噪聲都由于模式競爭作用而明顯地增加，增加大小為25 dB/Hz。同樣，當I=87 mA 時，激射雙模的相對強度噪聲在低頻處也有一個顯著地提升趨勢，如圖2（c）。圖3（a）和（b）給出51 和87 mA 電流下，不同模式的光子密度隨時間的波動，可以看出雙模激射狀態(tài)下兩個模式的光子密度的漲落相反，呈相互競爭狀態(tài)。

圖3 激光器雙模激射時光子密度在時域上的波動Fig.3 The photon density fluctuations at time domain when the laser is dual-mode lasing

3 頻率噪聲與線寬模擬

3.1 頻率噪聲與快速傅里葉變換光譜分析

除了相對強度噪聲之外，半導體激光器還產生頻率噪聲，這導致激光器的模式存在一定的線寬。半導體激光器的線寬是由其輸出相位的抖動引起的。通過求解速率方程，由相位得到頻率噪聲的波動

其中計算時長為50 μs，步長為1 ps。使用快速傅里葉變換計算得到雙邊帶的頻率噪聲功率譜密度，表示為

模擬中給出的結果都是單邊帶的頻率噪聲功率譜密度，其幅值為雙邊帶噪聲譜的二倍。

激光的線寬，即激光單模光譜的半高全寬，可以由單邊帶FN 噪聲譜低頻處的頻率噪聲確定［1］

通過對頻率噪聲譜低頻處（10～30 MHz）的頻率噪聲取平均后計算，所得結果為微腔激光器的線寬。

為了計算激光器模式光譜來得到微腔激光器的線寬，通過快速傅里葉變換的方法模擬激射模式的光譜，并由激光光譜的半高全寬得到激光器的線寬。由速率方程式（1）～（3）以及噪聲源方程式（8）～（10），可以得到光子時序S（t）與相位時序ψ（t），進而得到激光器的模式電場，即

將時序電場結果進行快速傅里葉變換，可以得到激光光譜譜線，由光譜的半高全寬可以得到激光的線寬大小。

3.2 單模激射的頻率噪聲及線寬

當注入電流為40 mA，初始溫度為300 K 時，此時回音壁微腔激光器在M1 模式處單模激射，模式的輸出光功率為3.9 mW。如圖4（a），此時激光器的頻率噪聲譜在7 GHz 的張弛振蕩頻率處有一明顯的張弛振蕩峰。通過對頻率噪聲譜低頻處的頻率噪聲取平均后利用式（16）求得此時激光器的線寬為243.6 kHz。隨著注入電流的增加，激光器跳模至M2 處單模激射。當I=70 mA 時，微腔激光器的頻率噪聲譜如圖4（b）。相比于I=40 mA，隨著電流的增加，輸出光功率和張弛振蕩頻率都增大，而FN 譜的張弛振蕩峰明顯地降低。激光器的頻率噪聲整體隨著注入電流的增大而減小，此時可以得到激光器的線寬為134.4 kHz。同樣，當注入電流繼續(xù)增加時，器件跳模至M3 處單模激射，線寬減小。圖4（c）給出了當偏置電流持續(xù)上升至115 mA時微腔激光器的線寬，為85.6 kHz。與測試中得到的線寬結果相比，仿真得到的微腔激光器線寬要小得多，其原因主要有以下幾點：1）實驗中激光器模式之間的模式競爭更多而復雜；2）在實驗測試中，測試系統(tǒng)引入的噪聲以及1/f噪聲等會導致測量線寬的展寬；3）數值模擬中如自發(fā)發(fā)射因子、線寬增強因子等參數的選取也會對線寬的計算結果產生影響。

圖4 激光器處于不同單模激射狀態(tài)時的頻率噪聲譜Fig.4 FN spectra of the laser in different single-mode lasing states

在I=115 mA 電流條件下，將得到的M3 模式的光子時序與相位時序代入式（17）得到模電場，對此電場序列進行快速傅里葉變換得到激射模式的激光光譜線型，如圖4（d）。在積分時長T=50 μs 的時長下模擬得到的激光光譜線型進行洛倫茲擬合后得到為77.2 kHz 的激光器線寬。與圖4（c）中由頻率噪聲譜得到的85.6 kHz 線寬相比，二者的誤差為10%。

3.3 雙模激射的頻率噪聲及線寬

當微腔激光器處于雙模狀態(tài)下，例如，當I=51 mA 時，激光器M1、M2 模式的頻率噪聲譜分別如圖5（a）和（b）。由于模式競爭作用，M1，M2 模式頻率噪聲譜的低頻處都有頻率噪聲升高的現象。通過FN 譜低頻處平均噪聲計算得到的M1、M2 模式的線寬分別為314.9 kHz 和0.61 MHz。相比于激光器單模激射的狀態(tài)，雙模情況下的線寬明顯展寬，這與之前實驗得到的結果一致［18］。圖5（c）和（d）分別為對M1 和M2 模式模擬的激光線型。與圖4（d）的計算方式相同，通過快速傅里葉變換對模式電場進行分析，在51 mA 的電流下得到的M1 和M2 模式光譜半高全寬分別為338.8 kHz 和558.4 kHz。

圖5 注入電流為51mA 的雙模激射狀態(tài)下，模式的FN 譜線與激光線型Fig.5 FN spectra and spectra of laser line shape in dual-mode lasing state at I= 51mA

接下來研究當注入電流從50 mA 到52 mA 變化時，雙模模式的頻率噪聲與線寬的動態(tài)變化全過程。圖6（a）給出了該過程中M1 模式頻率噪聲的變化。隨著注入電流的增加，由于模式競爭的作用，M1 模式的光功率逐漸減小，從而整體的頻率噪聲都有所增加。然而由圖中可以看到，M1 低頻處頻率噪聲的升高速度明顯大于高頻處的，而低頻處的FN 噪聲與線寬成正比，這就導致了激光器線寬的展寬。而M2 模式與之相反，注入電流從50 mA 增加到52 mA 時，M2 模式的光功率是逐漸升高的，這使得其整體的頻率噪聲處于下降的趨勢。如圖6（b），在其下降的過程中，高頻處的頻率噪聲下降速度要遠遠大于低頻處，這也使得低頻處的頻率噪聲更大，激光器的線寬增加。當I=50 mA 時，模式M1 與M2 的抑制比為29 dB，兩個模式FN 譜低頻處的頻率噪聲平坦。而當注入電流增加到50.12 mA 時，微腔激光器邊模抑制比（Side-Mode Suppression Ratio，SMSR）為20 dB，可以看到此時頻率噪聲譜的低頻處開始有抬升的趨勢。由此可以得到，當微腔激光器的SMSR＜20 dB 時，激光器的模式線寬展寬。

圖6 注入電流從50 mA 增加至52 mA 時，M1 和M2 模式頻率噪聲譜的變化過程Fig.6 The change of FN spectra of M1 and M2 when the injection current increases from 50 to 52 mA

4 結論

本文研究了回音壁微腔激光器的噪聲和線寬特性。通過建立帶有朗之萬噪聲源的三模速率方程模型，對微腔激光器的相對強度噪聲和頻率噪聲進行了研究。隨著激光器注入電流的增加，相對強度噪聲和頻率噪聲顯著降低。在高偏置電流下相對強度噪聲接近于標準量子極限，并在Q=2.5×104，I=115 mA 下得到了85.6 kHz 的微腔激光器線寬。通過快速傅里葉變換對激光線型進行模擬，并由激光線型的半高全寬得到激光模式線寬，獲得與頻率噪聲一致的結果。當激光器雙模激射時，由于模式競爭作用導致模式低頻處的相對強度噪聲和頻率噪聲都有明顯的抬升現象。雙模微腔激光器主次模轉換過程中，隨電流增加高功率模式的低頻頻率噪聲比高頻處升高快，而低功率模式的低頻頻率噪聲比高頻處下降慢，從而使得激光器低頻處頻率噪聲變大，激光器線寬展寬。