■湖北省武漢市光谷第七小學(xué) 虢小鵬

圓在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊有著重要的地位，學(xué)生對圓的面積推導(dǎo)相對直邊圖形的面積推導(dǎo)要困難許多。學(xué)生要探索并掌握圓的面積公式，發(fā)現(xiàn)圓的面積公式與其他平面圖形面積公式的聯(lián)系和區(qū)別，尋求問題解決的思路，獲取理性的認(rèn)知。六年級上冊“圓”這一單元，在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊有著重要的地位，特別是“圓的面積”推導(dǎo)，相對低年級時(shí)學(xué)習(xí)的直邊圖形的面積推導(dǎo)，學(xué)生在理解和掌握上顯得困難重重。圓的面積學(xué)習(xí)的目標(biāo)行為動(dòng)詞為“探索”和“掌握”——探索并掌握圓的面積公式，也就是要求學(xué)生經(jīng)歷圓面積公式的探究過程，發(fā)現(xiàn)圓與已學(xué)過的平面圖形存在的聯(lián)系和區(qū)別，從而找到研究的方向和思路，并獲得理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知。

從縱向來看學(xué)生所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，“圓”的學(xué)習(xí)是學(xué)生在整個(gè)“形”的認(rèn)識(shí)過程中，由“直邊”進(jìn)入“曲邊”的重要一步，數(shù)學(xué)思想從“有限”踏入“無限”的關(guān)鍵一環(huán)。在“圓的面積”一課中，在學(xué)生已有的直邊圖形面積公式推導(dǎo)過程中的“化歸思想”，在圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)中同樣適用；在推導(dǎo)過程中，學(xué)生的思維需要實(shí)現(xiàn)化曲為直，實(shí)現(xiàn)有限和無限、近似和精確的轉(zhuǎn)換，這是一個(gè)科學(xué)辯證過程。在這個(gè)過程中，運(yùn)用了極限思想和極限方法。面積是一個(gè)二維概念，學(xué)生能直觀地感受到它所占的區(qū)域具有一定的大小。在授課之初，教師要對其度量意義有一定的認(rèn)識(shí)：一是邊長為1 個(gè)單位長度的正方形作為面積單位；二是“運(yùn)動(dòng)不變性”，即圖形經(jīng)過有限次的平移、旋轉(zhuǎn)后面積大小不變；三是“有限可加性”，即兩個(gè)不重疊的圖形合并的面積，等于這兩個(gè)圖形的面積之和。

一、回憶舊知，確定研究方案

圓的面積一課是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圓的特征及其本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的，故在教學(xué)圓的面積前，要準(zhǔn)確把握學(xué)生已有的知識(shí)和能力水平。一是課前要進(jìn)一步的溝通圓各部分與圓的面積之間聯(lián)系（半徑?jīng)Q定圓的大?。欢且由顖A的面積相關(guān)因素的分析（半徑、直徑、周長）；三是圓面積公式探究的研究方案要細(xì)致指導(dǎo)（回憶長方形、正方形、平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程）。必要的教學(xué)前導(dǎo)，能促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的正向遷移。新課伊始，要讓學(xué)生復(fù)習(xí)長方形、平行四邊形的面積公式的推導(dǎo)過程，總結(jié)、回憶已有的探索平面圖形面積的基本策略是數(shù)方格、轉(zhuǎn)化為已知圖形，并進(jìn)一步回憶平行四邊形的面積公式的探索過程，得出剪拼、觀察、推理的活動(dòng)步驟。

（1）出示大方格中的圓，提出問題：我們先用數(shù)方格的形式，得到一個(gè)圓的面積。數(shù)一數(shù)，你有什么感受？

（2）出示小方格中的圓，提出問題：你又有什么想法？要更精確還能怎么做？

學(xué)生通過回憶、遷移，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用數(shù)方格的方法，格子分得越小，越來越接近圓的面積，可以估出圓的面積的取值范圍，但是不好測量，比較麻煩，無法精確的探究曲邊圖形“圓”的面積。課堂上學(xué)生的思維自然轉(zhuǎn)移到“轉(zhuǎn)化”上，再根據(jù)教師有目的、有意義的學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)和引導(dǎo)，逐步明晰研究的路徑。經(jīng)歷從現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識(shí)過程是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的著力點(diǎn)。在整個(gè)研究過程中，教師所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)任務(wù)要讓不同層次的學(xué)生都能動(dòng)手，并呈現(xiàn)不同的思維方式。學(xué)生在同伴互助和思維碰撞中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的獲取、情感上的愉悅。班級中不同層次的學(xué)生思維的深度與廣度是不同的，根據(jù)同伴不同的思維表現(xiàn)，學(xué)生更有興趣去探究、傾聽他人的想法，完善自己的思考，進(jìn)而會(huì)共同加深對圓面積公式的理解。

二、借助幾何直觀，發(fā)展推理能力

（一）化曲為直，初步體會(huì)極限思想

（1）出示圓的外切正方形和內(nèi)接正方形，你有什么想法？（正方形和圓的面積相差太大）

（2）出示正方形演變成了正八邊形，你又有什么想法？

（正八邊形與圓的面積更加接近）教師指出這就是化曲為直的數(shù)學(xué)方法。

在“轉(zhuǎn)化”環(huán)節(jié)，首先出示圓的外切正方形和內(nèi)接正方形，讓學(xué)生直觀地感受圓的面積和正方形面積的“大小”關(guān)系——圓的面積和正方形的面積相差太大。然后進(jìn)行切割，得到正八邊形，再來說一說切割前后又有什么感受？通過觀察，學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)，通過切割得到的正八邊形的面積無論是“外切”還是“內(nèi)接”都接近圓的面積了。教師適時(shí)追問：“如果用這兩種方法繼續(xù)切割下去，你覺得會(huì)怎么樣？”師生共同討論，最后達(dá)成一致意見：當(dāng)切割的正多邊形的邊數(shù)越多時(shí)，它的面積就越接近圓的面積。當(dāng)切的邊數(shù)足夠多時(shí)，正多邊形的面積就無限趨近于圓的面積——這就是化曲為直的數(shù)學(xué)方法。

（二）直觀想象，確定圓的轉(zhuǎn)化方向

通過剛才的觀察、討論學(xué)生會(huì)自然聯(lián)想：只要求出了所切割的正八邊形的面積，就能近似求出圓的面積。研究的問題就轉(zhuǎn)換成了：那如何計(jì)算圓內(nèi)的正八邊形得到面積呢？師生交流，將正八邊形分割成8個(gè)同樣的三角形后，可以得出三種策略：

（1）測量其中一個(gè)三角形的底和高，再計(jì)算它的面積，最后乘三角形個(gè)數(shù)得出正八邊形的面積。

（2）將分割后的8 個(gè)三角形拼成一個(gè)梯形，梯形的上底等于一個(gè)三角形的底；下底等于3 個(gè)三角形的底；梯形的高等于2 個(gè)三角形的高。測量出它們的長度，然后運(yùn)用公式算出梯形的面積，算出正八邊形的面積。

（3）將這些三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再測量它的底和高，利用公式算出面積。

教師組織學(xué)生進(jìn)行交流討論，可以得出：根據(jù)減少誤差（計(jì)算三角形面積和梯形面積時(shí)有可能出現(xiàn)不是整除的情況）的標(biāo)準(zhǔn)確定第三種轉(zhuǎn)化的策略。

緊接著教師追問：“將正八邊形轉(zhuǎn)化成平行四邊形可以求出它的面積，圓的面積又接近正八邊形，那圓能不能用剛才的辦法也求出它的面積？”

動(dòng)手操作。教師先示范等分4 份的情況。再出示小組活動(dòng)要求：

活動(dòng)目的：圓能不能轉(zhuǎn)化為平行四邊形

活動(dòng)要求：1.每組2 個(gè)人合作剪一個(gè)，拼成平行四邊形。

2.觀察拼成的平行四邊形，隨著等分份數(shù)的增加，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生展開聯(lián)想：對圓也可以嘗試向正八邊形一樣平均分成若干份，然后拼成近似的平行四邊形。等分的份數(shù)越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。

（三）體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)過程，進(jìn)一步感受極限思想

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)了解過“無限”，如直線向兩端無限延伸，自然數(shù)是無限的?！盁o限”概念的傳授，在小學(xué)階段，一是用有限的動(dòng)態(tài)方式體現(xiàn)“無限”的過程，如“兩條直線永不相交”；二是用極限的方法處理“無限”，如圓的周長和面積探索。

而在將圓轉(zhuǎn)化成長方形的過程中，學(xué)生動(dòng)手操作（剪、拼），然后通過同時(shí)呈現(xiàn)幾幅（將圓等分成4份、8 份、16 份、32 份……）等分拼接圖進(jìn)行想象：當(dāng)分到足夠多份時(shí)，圓最終轉(zhuǎn)化成了長方形。學(xué)生在直觀中經(jīng)歷極限的想象過程，也就是在觀察圖形“有限分割”的基礎(chǔ)上，想象“無限分割”。首先進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化后的圖形面積等于圓的面積；接著組織學(xué)生小組討論，自己聯(lián)系“轉(zhuǎn)化”前后圖形的關(guān)系，也就是圓的半徑等于長方形的寬，圓周長的一半等于長方形的長；最后自行推導(dǎo)出圓的面積公式。不同層次學(xué)生在交流中進(jìn)行互相啟發(fā)，從而使各自的思維達(dá)到更深層次。

（1）理清圓和長方形之間的聯(lián)系

小組交流：觀察等分32 份的情況，你發(fā)現(xiàn)圓和長方形之間有什么聯(lián)系？

（2）學(xué)生推導(dǎo)公式

根據(jù)你們找到的圓和長方形的關(guān)系，你能得到圓的面積公式嗎？先在組內(nèi)說一說，你們小組是如何想的？再請你寫一寫。

（3）展示學(xué)生成果

（4）回顧反思：回顧一下，我們是怎樣將一個(gè)圓轉(zhuǎn)化為長方形的？它們之間有什么聯(lián)系？如何得到圓的面積公式？

（5）介紹割圓術(shù)

在學(xué)生自主推導(dǎo)出“圓的面積公式”后，“頭腦風(fēng)暴”式的成果交流展示是“重頭戲”。一般在平時(shí)的課堂中，在此環(huán)節(jié)教師基本有三種策略：一是從低水平到高水平的分析學(xué)生成果；二是展示最高水平的成果，再對比低水平成果中存在的問題，并進(jìn)行完善和調(diào)整；三是同時(shí)對比、分析不同水平的作品，組織學(xué)生討論它們的相同點(diǎn)和缺憾。教師采用那種策略取決于教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生的認(rèn)知水平以及成果的完成程度也具有一定影響?！皥A的面積”一課應(yīng)采取第二種策略，讓學(xué)生在思維的碰撞中擦出靈感的火花，更深入探究圓的面積與半徑之間的關(guān)系，提升學(xué)習(xí)的興趣，讓不同層次學(xué)生在交流、討論中都能有所思、有所得。

在本課中，學(xué)生思維難點(diǎn)在“為什么最終會(huì)是一個(gè)長方形？”因?yàn)樵趯W(xué)生看來，有限地等分成小扇形后，它們的弧依然是“彎彎”的，不是直的，所拼成的近似長方形的長是一條曲線。這里的關(guān)鍵是要在“有限”的圖形上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象“無限”：當(dāng)?shù)确值姆輸?shù)趨向于無限的時(shí)候，拼成的圖形才越來越接近長方形，長方形就是這個(gè)“無限圖形”的終極形態(tài)。在學(xué)生觀察想象時(shí)，要整體呈現(xiàn)多幅轉(zhuǎn)化后的圖形，著重引導(dǎo)學(xué)生思考拼成的圖形的變化趨勢。在這一過程中，教師要強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思維向“無限”延伸，想象所拼圖形的終極形態(tài)，從而最終領(lǐng)會(huì)圓經(jīng)過無限等分后拼成的是一個(gè)真正的長方形。在推導(dǎo)出圓的面積公式的同時(shí)，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)中的“極限思想”，提升學(xué)生的抽象和推理能力。

三、數(shù)學(xué)思維要在有價(jià)值的學(xué)習(xí)任務(wù)中走向深刻

圓的面積公式的推導(dǎo)有其特殊性，相對學(xué)習(xí)直邊平面圖形面積來說，需要學(xué)生經(jīng)過“化曲為直”來操作，有時(shí)候甚至是“以直代曲”，從而感悟“極限思想”的內(nèi)涵，在有限和無限、近似和精確中相互轉(zhuǎn)換思維，這是一個(gè)復(fù)雜的辯證過程。在教學(xué)前，教師要找準(zhǔn)學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)；在教學(xué)中要及時(shí)掌握學(xué)生思維動(dòng)態(tài)，讓學(xué)生參與連貫的、系列性的圓的面積推導(dǎo)過程；在教學(xué)后讓學(xué)生在知識(shí)與技能方面進(jìn)行實(shí)踐，運(yùn)用學(xué)習(xí)的知識(shí)、思想、方法等解釋現(xiàn)象、解決問題。直觀的圖形往往比千言萬語更能把握研究對象的的本來面貌。從內(nèi)接正方形與外切正方形聯(lián)系猜想圓的面積，再到圓的面積與其他直邊圖形面積的辯證關(guān)系，這些都可以借助幾何直觀完成，把復(fù)雜的問題形象化，把抽象的問題直觀化。在學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，既有歸納（合情推理），也有演繹（邏輯推理），二者相輔相成。學(xué)生在一系列的觀察、猜想、驗(yàn)證等探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中，以“割補(bǔ)法”為推理起點(diǎn)，聯(lián)系長方形面積公式，并進(jìn)行歸納，得到推理的結(jié)果：圓的面積等于無限分割后所拼成長方形的面積。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，不僅要看結(jié)果，更要重視積累的過程；不僅要引導(dǎo)學(xué)生對原有經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化，更要促進(jìn)學(xué)生新的生成經(jīng)驗(yàn)。在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，教師要善于建構(gòu)教材，對知識(shí)的前后聯(lián)系和影響要做到心中有數(shù)，通過巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，幫助學(xué)生形成知識(shí)脈絡(luò)，促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的正向遷移和內(nèi)化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，靈活運(yùn)用和遷移已有的經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際新的問題，以此推動(dòng)學(xué)生多元思維的發(fā)展。

總之，高質(zhì)量的“交流”源于值得交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而承載“值得交流”的，是教師精心設(shè)計(jì)的有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，這樣的任務(wù)使學(xué)生經(jīng)歷真研究、真思考、真理解，從而形成富有生命力的課堂。這樣的課堂教學(xué)對學(xué)生來說，是自信的開端、求知的呼喚、精神的愉悅和個(gè)性的彰顯；而對教師來說，是經(jīng)驗(yàn)的分享、智慧的傳遞、心靈的溝通與真情的交融。