竇群

(陜西中醫(yī)藥大學(xué)醫(yī)學(xué)技術(shù)學(xué)院， 咸陽(yáng) 712046)

光柵衍射就是光在傳播時(shí)躲避障礙物邊緣持續(xù)傳播的過程，是目前了解光學(xué)及研究光學(xué)相關(guān)問題的基礎(chǔ)[1-3]。光柵衍射包括單縫衍射和多縫干涉等，會(huì)受光柵縫數(shù)、入射波長(zhǎng)、單縫寬度、光柵常數(shù)等因素影響。光柵衍射譜線特征變化多樣，包括主極大、次級(jí)大形成，主極大缺級(jí)、條紋越級(jí)、條紋強(qiáng)度變化現(xiàn)象等[4]。

蒙特卡羅方法就是通過隨機(jī)模擬或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)求解數(shù)學(xué)、物理等問題近似解的數(shù)學(xué)方法。該方法可應(yīng)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)試驗(yàn)的模擬，對(duì)試驗(yàn)過程進(jìn)行記錄，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，使結(jié)果近似于問題正確解，并且可通過計(jì)算機(jī)程序產(chǎn)生更常見的偽隨機(jī)數(shù)替換真正的隨機(jī)數(shù)，大大提升計(jì)算速度[5]。MATLAB是一種功能豐富的科學(xué)計(jì)算軟件，其中絕大多數(shù)算法均具備自適應(yīng)能力，且編程簡(jiǎn)單，功能強(qiáng)大，效率高[6]。

多年來，中外很多學(xué)者都開始從事光柵衍射的研究，在20世紀(jì)，耶爾米洛夫等就采用紅外光譜去進(jìn)行平面光柵衍射效率的測(cè)試，目前已獲得一定成效[7]。近年來，中國(guó)學(xué)者也在積極研究光柵衍射原理及其應(yīng)用，唐波等[8]根據(jù)X射線源對(duì)其衍射成像展開研究；單聰淼等[9]利用菲涅耳衍射積分公式和硬邊光闌的復(fù)高斯函數(shù)分解法開展干涉圖樣條紋間距的研究，均取得一定成果。關(guān)于光柵衍射條紋強(qiáng)度預(yù)測(cè)的研究一直未有較好的研究成果。如單獨(dú)采用MATLAB仿真研究預(yù)測(cè)其強(qiáng)度，那么其理論計(jì)算的運(yùn)算量較大、難度較高，計(jì)算的結(jié)果也并不精確，不能直觀地描述物理圖像，無法確切了解光柵衍射規(guī)律。因此，為更好地結(jié)合物理圖像和光柵衍射規(guī)律，現(xiàn)利用蒙特卡羅方法隨機(jī)模擬特點(diǎn)，有效模擬光柵衍射圖像，并使用MATLAB軟件仿真研究光柵衍射條紋主極大、次級(jí)大強(qiáng)度分布，通過各參數(shù)值的變化分析相應(yīng)的光柵衍射條紋強(qiáng)度變化情況。結(jié)果圖像形象生動(dòng)，更直觀展現(xiàn)光柵衍射的物理過程，以期為光柵衍射強(qiáng)度預(yù)測(cè)分析理論教學(xué)提供有效途徑。

1 光柵衍射條紋強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法

1.1 光柵衍射原理

依照惠更斯-菲涅耳原理，采用衍射積分方程獲取光柵衍射強(qiáng)度分布公式[10]：

(1)

(2)

N縫光柵的兩條相近亮紋間暗區(qū)存在N-1個(gè)暗紋和N-2個(gè)亮度微弱的次級(jí)亮紋，這類亮度微弱的次級(jí)亮紋又稱次級(jí)大，其強(qiáng)度表達(dá)方式為

(3)

比較主極大強(qiáng)度和次級(jí)大強(qiáng)度，獲取次級(jí)大相對(duì)強(qiáng)度為

(4)

由式(4)可知，衍射角θ、光柵常數(shù)d以及光柵縫數(shù)N共3個(gè)變量決定光柵衍射次級(jí)大強(qiáng)度分布情況[11]。

1.2 蒙特卡羅方法基本原理

蒙特卡羅方法別名隨機(jī)模擬方法，是利用隨機(jī)數(shù)近似解決問題的一種方法。為解決數(shù)學(xué)問題，通過搜尋概率統(tǒng)計(jì)相似體，經(jīng)試驗(yàn)取樣等一系列步驟，求取該相似體近似解。采用蒙特卡羅方法解決問題得到的解，并非基于經(jīng)典的數(shù)值計(jì)算所獲取，而是更接近于試驗(yàn)結(jié)果。建立隨機(jī)過程或概率模型，使所求解問題參數(shù)等于該問題的解，用近似值的標(biāo)準(zhǔn)誤差衡量所求解的精確度[12-13]。

設(shè)定目標(biāo)求解量x表示隨機(jī)變量ε的數(shù)學(xué)期望Q(ε)，為近似求解x，通過m次重復(fù)抽樣隨機(jī)變量ε，形成彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量ε序列ε1、ε2、…、εm，并計(jì)算其算術(shù)平均值：

(5)

蒙特卡羅模擬基本步驟如下。

步驟1明確隨機(jī)變量ε和隨機(jī)變量影響變量x兩者間函數(shù)關(guān)系ε=g(x1,x2,…,xn)。

步驟2明確隨機(jī)函數(shù)中影響變量xi的概率密度函數(shù)l(xi)、累計(jì)概率分布函數(shù)L(xi)。

步驟3在(0,1)范圍生成隨機(jī)函數(shù)中隨機(jī)變量xi的若干均勻分布的隨機(jī)數(shù)l(xij)。l(xij)的表達(dá)式為

(6)

式(6)中：i為變量個(gè)數(shù)；j為模擬次數(shù)；i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。利用式(6)求取l(xij)對(duì)應(yīng)的xij。

步驟4計(jì)算統(tǒng)計(jì)特征量，代入模擬取得的隨機(jī)數(shù)值到隨機(jī)函數(shù)方程中，得

(7)

(8)

(9)

步驟5繪制隨機(jī)函數(shù)ε直方圖，并擬合其分布情況。

1.3 MATLAB仿真研究

利用蒙特卡羅法隨機(jī)模擬特點(diǎn)，使用MATLAB軟件仿真研究光柵衍射條紋強(qiáng)度，通過各參數(shù)值變化獲得相應(yīng)衍射光強(qiáng)分布[14]。MATLAB自身攜帶諸多功能，如產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)的rand(·)、求和函數(shù)sum(·)、繪制直方圖函數(shù)hist(·)等。此外利用逆概率累計(jì)函數(shù)可求取已知概率值的概率分布情況[15]。逆概率累計(jì)函數(shù)應(yīng)用時(shí)調(diào)用MATLAB中格式情況如表1所示。

表1 逆概率累計(jì)函數(shù)調(diào)用格式情況

2 仿真算例分析

2.1 光柵衍射條紋主極大強(qiáng)度分析

采用MATLAB計(jì)算程序獲取光柵縫數(shù)N=8光柵衍射條紋強(qiáng)度分布示意圖，其中光柵常數(shù)φ=5×10-4m，波長(zhǎng)λ=6×10-7m，縫寬b=9×10-6m，如圖1所示。

圖1 光柵衍射條紋強(qiáng)度分布示意圖Fig.1 Schematic diagram of grating diffraction fringe intensity distribution

采用MATLAB計(jì)算程序獲取光柵縫數(shù)N分別為8、15、25時(shí)的多縫干涉相對(duì)衍射條紋強(qiáng)度分布示意圖。結(jié)果如圖2所示。

圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)分別描述光柵縫數(shù)N=8、N=15、N=25時(shí)的多縫干涉相對(duì)光強(qiáng)，圖2(d)為圖2(c)的局部放大結(jié)果。對(duì)比圖1(b)與圖2可知，光強(qiáng)與N2成正比，伴隨縫數(shù)增加，主極大隨之增加，光強(qiáng)隨之變強(qiáng)。

通過上述仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，光柵衍射條紋的主極大強(qiáng)度表示N個(gè)單縫衍射強(qiáng)度的包絡(luò)而非一個(gè)。光柵衍射是合并單縫衍射和多縫干涉，其中多縫干涉的主極大強(qiáng)度分布受到單縫衍射主極大調(diào)制。光柵衍射主極大強(qiáng)度受N條單縫衍射強(qiáng)度調(diào)制。

2.2 光柵衍射條紋的次極大強(qiáng)度分析

假設(shè)光柵縫數(shù)N=5，波長(zhǎng)λ=633 nm，光柵常數(shù)d=0.015 mm，縫寬b=0.05 mm，衍射角θ=0°，通過變更光柵常數(shù)d、縫寬b和波長(zhǎng)λ，觀察光柵衍射次級(jí)大條紋強(qiáng)度變化情況。

2.2.1 光柵常數(shù)對(duì)衍射條紋次級(jí)大強(qiáng)度影響

光柵常數(shù)d分別為0.02、0.04、0.06 mm時(shí)，衍射圖樣變化如圖3所示。

圖2 多縫干涉相對(duì)衍射光強(qiáng)分布圖Fig.2 Relative intensity distribution of multi slit diffraction pattern

圖3 光柵常數(shù)對(duì)衍射條紋次級(jí)大強(qiáng)度影響Fig.3 Effect of grating constant on secondary high intensity of diffraction fringe

分析圖3可知，隨著光柵常數(shù)d的增大，產(chǎn)生的主極大級(jí)數(shù)隨之增加，峰值半寬減小，條紋寬度變窄，處于兩個(gè)主極大間的次級(jí)大個(gè)數(shù)不變，均為3條，從衍射圖樣整體來看，條紋次級(jí)大強(qiáng)度大小和分布情況大體一致，只是分布密度變大，寬度變窄。

2.2.2 縫寬對(duì)衍射條紋次級(jí)大強(qiáng)度影響

縫寬b分別為0.001、0.005、0.010 mm時(shí)，衍射圖樣變化如圖4所示。

圖4 縫寬對(duì)衍射條紋次級(jí)大強(qiáng)度影響Fig.4 Effect of slit width on secondary intensity of diffraction fringes

圖4顯示，隨著縫寬增大，衍射現(xiàn)象變?nèi)酰苌洚a(chǎn)生主極大級(jí)數(shù)變少。

2.2.3 波長(zhǎng)對(duì)衍射條紋次級(jí)大強(qiáng)度影響

圖5 波長(zhǎng)對(duì)衍射條紋次級(jí)大強(qiáng)度影響Fig.5 Effect of wavelength on secondary intensity of diffraction fringe

當(dāng)波長(zhǎng)λ分別為λ=335、599、763 nm時(shí)，衍射光強(qiáng)分布如圖5所示。分析圖5可知，波長(zhǎng)變大，衍射條紋主極大位置無變化，次級(jí)大位置向兩側(cè)移動(dòng)，主極大、次級(jí)大半角寬度和條紋間的距離變寬，光柵衍射譜線漸寬，銳度降低。

2.3 實(shí)際應(yīng)用分析

仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試是在理想的條件下進(jìn)行測(cè)試，得到的結(jié)論易與實(shí)際實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生誤差，基于此，將其采用實(shí)際實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性。在實(shí)驗(yàn)室中，選用分光儀、光柵、水銀燈等進(jìn)行光柵衍射實(shí)驗(yàn)，先測(cè)定光柵常數(shù)和光波波長(zhǎng)，再進(jìn)行其余角度的測(cè)試，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本方法可對(duì)光柵衍射條紋強(qiáng)度進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。

3 結(jié)論

采用蒙特卡羅方法與MATLAB軟件相結(jié)合方式，形象、直觀地仿真模擬光柵衍射條紋強(qiáng)度變化情況。這種利用計(jì)算機(jī)完成的仿真實(shí)驗(yàn)，不需要復(fù)雜的計(jì)算，也不需要實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地便可模擬出不同實(shí)驗(yàn)條件下的光柵衍射條紋強(qiáng)度分布和衍射圖樣，具有較大的應(yīng)用價(jià)值。