徐 君

(包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，包頭 014030)

1 引言

《數(shù)度衍》(1661)是清初數(shù)學(xué)家方中通(1634—1698)的著作。全書(shū)共26卷，卷首分為數(shù)源、律衍、幾何3卷，其余23卷，分述珠算、筆算、尺算、籌算等知識(shí)[1]，涉獵內(nèi)容非常廣泛，因此《數(shù)度衍》被史學(xué)家稱為“是當(dāng)時(shí)一部數(shù)學(xué)上的百科全書(shū)”[2]。江戶(1603—1867)時(shí)代，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)東傳日本的規(guī)模很大，前所未有。此間《數(shù)度衍》于1726年傳入日本[3]，戶板保佑(Toita Yasusuke，1708—1784)《關(guān)算完傳》101卷(1780)轉(zhuǎn)載了《數(shù)度衍》[4]，《數(shù)度衍》在關(guān)流中流傳開(kāi)來(lái)。小出兼政(Koide Kensei，1797—1865)所著的《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》(天保4年，1833)是針對(duì)《數(shù)度衍》首卷“數(shù)源”與卷八“測(cè)圓”進(jìn)行評(píng)論，也是現(xiàn)今極少可見(jiàn)的《數(shù)度衍》傳到日本后對(duì)其進(jìn)行討論的史料證據(jù)。小出兼政，通稱長(zhǎng)十郎，字修喜。文政2年(1819)獲宮城流皆傳，文政9年(1826)6月入和田寧(Wata Yasushi，1787—1840)之門，同年8月師從日下誠(chéng)(Kusaka Makoto，1764—1839)，受關(guān)流宗統(tǒng)皆傳，另受最上流傳百余卷。文政12年(1829)隨關(guān)流大家和田寧受圓理豁術(shù)，故而自稱為“四流兼學(xué)”(宮城流、關(guān)流、最上流、和田寧流)[5]。

現(xiàn)代中算史家對(duì)《數(shù)度衍》的研究多是從版本、內(nèi)容以及取材來(lái)源等角度評(píng)述[2，6，7]，而東傳日本的情形尚未涉及?！稊?shù)度衍》傳入日本一百多年后，已是和算發(fā)展晚期，小出著《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》對(duì)《數(shù)度衍》內(nèi)容進(jìn)行探討，自然引發(fā)研究者的關(guān)注。例如，小出著《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》目的是什么，為什么僅選擇“數(shù)源”與“測(cè)圓”兩節(jié)內(nèi)容進(jìn)行評(píng)論，小出又做了怎樣的工作，有何創(chuàng)新之處等問(wèn)題?；诖?，本文嘗試對(duì)《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》進(jìn)行考查，展現(xiàn)小出對(duì)東方傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的理解與看法。

2 《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》之內(nèi)容

《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》(圖1)主要分為兩部分：第1部分是對(duì)《數(shù)度衍》首卷“數(shù)源”節(jié)中方陣(縱橫圖)的分析討論，又介紹了聚環(huán)與圓攢等內(nèi)容；第2部分是結(jié)合點(diǎn)竄術(shù)對(duì)《數(shù)度衍》卷八“測(cè)圓”節(jié)勾股內(nèi)容圓問(wèn)題的推理演算。

圖1 《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》書(shū)影

2.1 方陣

《數(shù)度衍》首卷“數(shù)源”節(jié)中載有三階、四階至十階的縱橫圖，但只有圖而沒(méi)有具體的構(gòu)造方法。因而小出認(rèn)為《數(shù)度衍》一書(shū)中雖給出三到十方陣的結(jié)果，但并沒(méi)有明確指出方法，即“為能盡人心之勞”[8](1)以下引文皆出此處，不再注明。。小出把方陣分為奇、偶兩種情況。第一奇方陣：

評(píng)曰：以洛書(shū)稱方陣，天理自然奇數(shù)也，三方、五方、七方皆謂奇方陣。隨天數(shù)始于坎宮終于離宮，以中數(shù)(三方者五，五方者十三，皆仿之)為中央，以其方陣數(shù)(三方者三，五方者五)充震宮，是則洛書(shū)之本意也。

從位置角度給出一種構(gòu)造奇方陣的思想。為說(shuō)明需要，小出進(jìn)一步定義了相關(guān)術(shù)語(yǔ)，以三階方陣為例：

圖2 洛書(shū)圖

經(jīng)緯之?dāng)?shù)各十五個(gè)，斜之?dāng)?shù)又相同(東西謂經(jīng)，南北謂緯，以下仿之)。

如圖2所示，其中采用八卦為主要術(shù)語(yǔ)，二、四、六、八、一、三、七、九分別處在方陣圖中的坤、巽、乾、艮、坎、震、兌、離位置，即用八卦表示奇方陣中的八個(gè)方位。同時(shí)規(guī)定橫為“經(jīng)”，豎為“緯”。

可將“原表”作成如下形式的位置表(表1)：

表1 原表與譯圖表對(duì)照表

其中aji(i，j=1，2，…，n)，代表i經(jīng)j緯的數(shù)字。則可知表中a32代表數(shù)字八，a23代表數(shù)字六，如此類推。小出以三、五階方陣為例，解釋從原表推算出側(cè)書(shū)的過(guò)程，并找到規(guī)律，列表如下(表2)：

表2 原表推算側(cè)書(shū)的過(guò)程

從而總結(jié)出求解奇方陣的一般方法，具體如下，先列出“原表”圖(圖3)，其中n=3，5，7，…。

之后求解側(cè)書(shū)圖，按以下規(guī)律填寫(xiě)數(shù)字：

圖3 奇方陣通用原表圖

圖4 奇方陣通用側(cè)書(shū)圖

(2)填充震宮位置的數(shù)為a1n，即“以其方陣數(shù)充震宮”，以“中緯行”為對(duì)稱軸，得到兌宮位置的數(shù)為an1，同時(shí)下標(biāo)數(shù)j按從1至n的順序填寫(xiě)，而i的順序與j相反，可找到“中經(jīng)行”。

(3)“中緯者”的下標(biāo)數(shù)j是從1至n，由北向南順次排列，即“順升”。處在中緯行東側(cè)位置的下標(biāo)數(shù)依次“進(jìn)位”(例如1，2，3，4，5。進(jìn)一位為5，1，2，3，4；進(jìn)二位為4，5，1，2，3；其他仿此)之后“順升”，即“東緯者進(jìn)位順升”。而處在中緯行西側(cè)位置的下標(biāo)數(shù)依次“退位”(例如1，2，3，4，5。退一位為2，3，4，5，1；退二位為3，4，5，1，2；其他仿此)之后“順升”，即“西緯者退位順升”。

(4)“中經(jīng)者”的下標(biāo)數(shù)i是從1至n，由西向東順次排列，即 “一二三順行”。處在中經(jīng)行南側(cè)位置的下標(biāo)數(shù)“自二始”，之后依次“順旋”，即“南經(jīng)者自二始順旋”，而處在中經(jīng)行北側(cè)位置的下標(biāo)數(shù)始自n，之后依次“順旋”，即“北經(jīng)者自三(n)始順旋”。

這樣，小出又以五方陣為例驗(yàn)證此法的正確性，并進(jìn)一步推導(dǎo)出七方陣與九方陣圖，而小出所得結(jié)論與《數(shù)度衍》原書(shū)中的不一樣，顯然是由兩人所用方法不同所致。

第二“偶方陣之解”。原文有：

夫偶方陣者有二種，一者以四方、八方、十六方為質(zhì)題；一者以六方、十方、十二方為文題。是謂奇偶因數(shù)，六則二與三相乘(二、三之六)，十則二與五相乘(二、五之十)，十二則三與四相乘(三、四之十二)也。奇偶相因之?dāng)?shù)則別有補(bǔ)術(shù)焉。偶者坤二、巽四、乾六、艮八也，皆在隅宮。視于偶方陣之中央無(wú)中間可座之所,坎宮、離宮亦同，奇偶之術(shù)所以異矣。

小出的“質(zhì)題”原圖列表如下(表3)：

表3 小出的“質(zhì)題”原圖與側(cè)書(shū)

圖5 質(zhì)題方陣通用側(cè)書(shū)圖

2.2 勾股內(nèi)容圓問(wèn)題

小出在“勾股內(nèi)容圓之條”中說(shuō)：“夫以勾股者，矩之根元，而算家不依于此理而何得方理之術(shù)乎。方成而后求圓理，皆在此勾、股、弦之三件。今本書(shū)(《數(shù)度衍》)勾股內(nèi)容圓術(shù)凡八十八題(2)實(shí)際上是89道題，原文數(shù)量計(jì)算有誤。，各難問(wèn)也，視其術(shù)則最能竭，借字顯術(shù)不備解矣。”

指出“勾股”之“理”在和算中的重要意義，且稱贊《數(shù)度衍》中“勾股內(nèi)容圓術(shù)”的89個(gè)問(wèn)題“視其術(shù)則最能竭”，但其中的不足是“借字顯術(shù)不備解”。因此小出結(jié)合點(diǎn)竄術(shù)逐一地對(duì)89問(wèn)進(jìn)行推算證明，以下僅選擇第1題進(jìn)行介紹，以現(xiàn)其旨(表4)。

表4 《數(shù)度衍》“勾股內(nèi)容圓術(shù)”第1題圖文對(duì)照表

《數(shù)度衍》原文的解法：“勾股相乘，得十二萬(wàn)二千八百八十。倍之，得二十四萬(wàn)五千七百六十為實(shí)。勾股求弦，得五百四十四，以并股，得一千○二十四為法。除實(shí)得二百四十為圓徑?！?/p>

表5 推算過(guò)程原文與譯文對(duì)照表

續(xù)表5

3 討論

由上可知，小出給出一種構(gòu)造方陣的新方法。在勾股內(nèi)容圓問(wèn)題中，逐一詳細(xì)地為每個(gè)問(wèn)題列出求解過(guò)程，補(bǔ)充《數(shù)度衍》中沒(méi)有做的工作，并表現(xiàn)出了一定的解題技巧。當(dāng)然，小出在此所做工作并不僅是為了補(bǔ)充方法這么簡(jiǎn)單，還有更深的寓意。為此，先對(duì)中日“縱橫圖”的發(fā)展歷程進(jìn)行簡(jiǎn)要回顧?！翱v橫圖”一詞，由南宋楊輝首創(chuàng)，易縱橫圖起源于易數(shù)研究，數(shù)學(xué)之中縱橫圖可能受到易縱橫圖的啟發(fā)，甚至可能直接源于易數(shù)研究[9]。漢代已有了三階縱橫圖，稱為九宮圖。到了13世紀(jì)縱橫圖開(kāi)始向高階發(fā)展，楊輝《續(xù)古摘奇算法》(1275)中已有了十階縱橫圖，此外還有幻圓等組合圖形。與他同時(shí)代的丁易東在其《大衍索隱》中也對(duì)縱橫圖頗有研究[10]。在明朝王文素的《古今算學(xué)寶鑒》(1524)和程大位的《算法統(tǒng)宗》(1592)中有不少關(guān)于縱橫圖的討論?！端惴ńy(tǒng)宗》給出縱橫圖14種，這些圖大部分與楊氏的圖相同，僅有“五五圖”“六六圖”“聚六圖”“八陣圖”4種稍異。方中通《數(shù)度衍》載縱橫圖14種，大部分引自程氏《算法統(tǒng)宗》，僅“五五圖”與程氏的圖稍有不同。隨著中算數(shù)學(xué)著作傳入日本，和算家對(duì)方陣也進(jìn)行了研究,給出多種方法。如有：關(guān)孝和(Seki Takakazu，1642？—1708)的《方陣之法·圓攢之法》(1683)明確總綱，以例說(shuō)明構(gòu)造。建部賢弘(Takebe Katahiro，1664—1739)的《建部先生方陣新術(shù)》(年代不詳)用格交換方法構(gòu)造方陣。久留島義太(Kurushima Yoshihiro，？—1757)的《方陣之法并解》(年代不詳)采取斜進(jìn)法說(shuō)明構(gòu)造過(guò)程。還有松永良弼(Matsunaga Yoshisuke，？—1744)、安島直圓(Ajima Naonobu，1732—1798)等人都曾研究過(guò)縱橫圖的構(gòu)造方法。但小出的方法與以上各法都不同，小出的方法應(yīng)源于宅間流五代傳人松岡能一(Matsuoka Yoshiichi，1737—1804)的《方陣圓陣解》(年代不詳)，通過(guò)內(nèi)容比較可發(fā)現(xiàn)，在求奇方陣時(shí)，小出的構(gòu)造法與松岡一致，但松岡沒(méi)有給出任何文字解釋，使讀者較難理解其中的道理，小出則給出了細(xì)致、全面的說(shuō)明。求偶方陣時(shí)，小出給出了構(gòu)造“質(zhì)題”方陣的新方法，松岡則沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一做法。

再看勾股內(nèi)容圓問(wèn)題的發(fā)展過(guò)程。勾股容圓問(wèn)題可追溯到方中容圓、圓中容方等相容問(wèn)題，中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作《算數(shù)書(shū)》中就有“以圓材方”和“以方材圓”的問(wèn)題[11]。《九章算術(shù)》初次載有勾股容圓問(wèn)題，即已知勾股形的勾、股，求其內(nèi)切圓的直徑。到宋、元時(shí)代，勾股容圓成為重要的研究專題，集中體現(xiàn)于李冶(1192—1279)的《測(cè)圓海鏡》(1248)。書(shū)中以“圓城圖式”為核心，構(gòu)造性地編創(chuàng)了170道題[12]?！稊?shù)度衍》中的勾股內(nèi)容圓問(wèn)題根源于李冶的《測(cè)圓海鏡》，但從方氏收錄的內(nèi)容來(lái)看，應(yīng)是受到了顧應(yīng)祥《測(cè)圓算術(shù)》(1553)的影響。早期的和算著作中也有許多關(guān)于勾股容圓問(wèn)題的記述，如村松茂清(Muramatsu Shigekiyo，1608—1695)的《算俎》(1663)，澤口一之(Sawaguchi Kazuyuki，生卒年不詳)的《古今算法記》(1671)，井關(guān)知辰(Izeki Tomotoki，生卒年不詳)的《算法發(fā)揮》(1690)等，其特色是把勾股容圓題改變?yōu)楣垂蓛?nèi)容兩圓、三圓等問(wèn)題。之后，勾股容圓問(wèn)題研究朝著容多圓的方向發(fā)展，有馬賴徸(Arima Yoshihiro，？—1757)的《拾璣算法》(1769)、藤田貞資(Fujita Sadasuke，1734—1807)的《精要算法》(1781)，以及安島直圓的《不朽算法》(1799)等書(shū)，又創(chuàng)造了許多與勾股容圓相關(guān)的奇特圖形問(wèn)題。

另外，還有必要指明小出所使用的符號(hào)體系點(diǎn)竄術(shù)。點(diǎn)竄術(shù)可追溯到關(guān)氏的傍書(shū)法，傍書(shū)法源于天元術(shù)。關(guān)氏傍書(shū)法不僅可表示分?jǐn)?shù)與無(wú)理數(shù)，還改天元術(shù)的籌算為筆算。特別是多元高次方程符號(hào)表示法的建立，既可以在解題中對(duì)方程進(jìn)行恒等變形，又可以消去某些沒(méi)有必要的未知量，這種計(jì)算方法稱作演段術(shù)。傍書(shū)法與演段術(shù)合起來(lái)稱為點(diǎn)竄術(shù)。點(diǎn)竄術(shù)后經(jīng)建部賢弘、松永良弼等和算家的發(fā)展與改進(jìn)，構(gòu)成了和算的符號(hào)體系。

小出所采用點(diǎn)竄術(shù)的基本符號(hào)書(shū)寫(xiě)方法如下所示(表6)：

表6 小出所采用點(diǎn)竄術(shù)的基本符號(hào)書(shū)寫(xiě)方法與今譯符號(hào)對(duì)照表

中間的豎線來(lái)源于中國(guó)古代的算籌，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，在豎線上加一斜線。豎線還等同于現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)線，在豎線的左右兩側(cè)書(shū)寫(xiě)文字，右側(cè)為分子，左側(cè)為分母。由于中間的豎線源于算籌，所以在計(jì)算過(guò)程中，系數(shù)有時(shí)也用籌式表示，即中國(guó)古代的算籌表示法。通過(guò)前面的介紹可知，在具體的解題過(guò)程中，點(diǎn)竄術(shù)不僅能準(zhǔn)確展現(xiàn)出計(jì)算過(guò)程，還能很好地表達(dá)數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，同時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔與高效。

可見(jiàn)，和算家對(duì)中算縱橫圖、勾股容圓問(wèn)題和數(shù)學(xué)符號(hào)的繼承與發(fā)展，即中算與和算一脈相承，中算是和算的母體，和算的問(wèn)題、語(yǔ)言、方法來(lái)源于中算或由中算衍生、發(fā)展而來(lái)，且上述數(shù)學(xué)知識(shí)在和算中也得到較好發(fā)展并成體系。小出也深明此理，他指出：“夫以勾股者，矩之根元，而算家不依于此理而何得方理之術(shù)乎。方成而后求圓理，皆在此勾、股、弦之三件?！奔础肮垂伞痹从谥兴?，“勾股”是“矩之根元”，有了此理才推出“方理之術(shù)”，進(jìn)而有了和算中優(yōu)秀成果“圓理”。從而可揭示出小出著《〈數(shù)度衍〉評(píng)林》的目的，就是數(shù)學(xué)的傳承與發(fā)展要有新問(wèn)題的提出、新方法的出現(xiàn)以及數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的改進(jìn)，即創(chuàng)造性的繼承是數(shù)學(xué)文化發(fā)展與延續(xù)的保障。小出之所以借助《數(shù)度衍》一書(shū)來(lái)闡述自己的觀點(diǎn)，主要應(yīng)有四個(gè)原因：第一，方中通著的《數(shù)度衍》主張的是“西學(xué)中源”說(shuō)，其中包含有中算為主的東方傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)之意。第二，方中通在介紹縱橫圖與勾股內(nèi)容圓問(wèn)題時(shí)都沒(méi)有給出計(jì)算方法，也為小出研究工作提供了空間。第三，小出所討論的縱橫圖與勾股算術(shù)內(nèi)容在中算與和算中一直都有著較好的發(fā)展，不僅傳承時(shí)間久遠(yuǎn)，而且各種構(gòu)造方法也層出不窮，借此能較好地說(shuō)明東方傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的原因。第四，《數(shù)度衍》一書(shū)的內(nèi)容幾乎收錄了當(dāng)時(shí)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的全部?jī)?nèi)容，選擇對(duì)《數(shù)度衍》進(jìn)行評(píng)論，更能突顯宣揚(yáng)東方傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的意義。

4 結(jié)語(yǔ)

以漢字文化圈整體視域研究東亞數(shù)學(xué)史，不僅歷史資料互補(bǔ)，而且通過(guò)對(duì)和算、東算的漢文化溯源以及對(duì)中算在周邊國(guó)家發(fā)展態(tài)勢(shì)的考察，可以深化對(duì)各國(guó)數(shù)學(xué)史的理解與認(rèn)知，進(jìn)而認(rèn)識(shí)東亞數(shù)學(xué)的共同特征[13]?！丁磾?shù)度衍〉評(píng)林》不僅體現(xiàn)了小出對(duì)數(shù)學(xué)文化傳承與發(fā)展的認(rèn)識(shí)，也反映了中算與和算之間的關(guān)系。和算家對(duì)方陣構(gòu)造法的探究、勾股容多圓問(wèn)題的發(fā)展和點(diǎn)竄術(shù)符號(hào)體系的建立，說(shuō)明和算在中算的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了新的數(shù)學(xué)問(wèn)題、語(yǔ)言、方法，這正是和算文化體系逐漸形成的原因之一。小出重視數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中不可或缺的地位，應(yīng)推陳出新，而方中通在“西學(xué)中源”思想指導(dǎo)下編寫(xiě)《數(shù)度衍》一書(shū)，強(qiáng)調(diào)中算文化歷史的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。不管東方傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化或“興”或“衰”，數(shù)學(xué)家都會(huì)孜孜以求，研究不殆，究其根因，是數(shù)學(xué)家對(duì)東方傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的自信、自強(qiáng)、自立?？梢哉f(shuō)，創(chuàng)造性的繼承是數(shù)學(xué)文化發(fā)展與延續(xù)的保障，文化自信是數(shù)學(xué)文化生存的根基。