申 俊， 宋 芳

(1.上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院, 上海 201620；2.上海工程技術(shù)大學(xué) 工程實(shí)訓(xùn)中心， 上海 201620)

隨著無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的大范圍分布使用，如何給無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)供電成為一個(gè)難題。因此，學(xué)者們提出收集環(huán)境周圍的振動(dòng)能量，將其轉(zhuǎn)化為電能給無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)供電[1-4]。目前，振動(dòng)能量采集技術(shù)根據(jù)采集原理不同可以分為：電磁式、靜電式、壓電式和磁致伸縮式[5]。壓電式采集器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、環(huán)境適應(yīng)能力強(qiáng)和輸出電壓大的優(yōu)點(diǎn)[6-7]。因此，壓電振動(dòng)采集器設(shè)備在微能量采集領(lǐng)域備受關(guān)注。傳統(tǒng)單一的線性壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)存在的問(wèn)題是：當(dāng)周圍環(huán)境中的振動(dòng)能頻率偏離其結(jié)構(gòu)本身的諧振頻率時(shí)，壓電懸臂梁輸出的電壓會(huì)大幅度下降[8]。引入磁場(chǎng)而具有非線性特性的壓電采集器相比傳統(tǒng)的線性壓電采集器而言，其對(duì)環(huán)境中的振動(dòng)能具有相對(duì)較寬的采集頻帶，有利于提高機(jī)電轉(zhuǎn)換效率[9]。

Ando等[10]提出了由磁力構(gòu)建的具有非線性雙穩(wěn)態(tài)性質(zhì)的MEMS振動(dòng)采集器，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該采集器能有效收集低頻環(huán)境中的振動(dòng)能。Shah等[11]進(jìn)一步在磁力引入的壓電采集器中，研究了懸臂梁末端磁鐵和外部磁鐵的間距變化對(duì)采集器電壓輸出的影響，研究結(jié)果表明間距在8.5 mm時(shí)該采集器的采集效果最佳。為了證明磁力引入后壓電振動(dòng)采集器的寬頻作用，Song等[12]設(shè)計(jì)了一種磁力耦合陣列式的壓電振動(dòng)采集器。該采集器既能在雜亂的磁場(chǎng)中響應(yīng)，又能在外界振動(dòng)能的激勵(lì)下響應(yīng)，并且該采集器具30 Hz的頻帶寬。

筆者考慮到磁場(chǎng)引入構(gòu)成的非線性壓電采集器系統(tǒng)具有寬頻的優(yōu)勢(shì)，提出了一種引入磁場(chǎng)的帶U型切口的非線性壓電振動(dòng)采集器；建立了該采集器的理論模型，運(yùn)用數(shù)值仿真研究了激振頻率的變化對(duì)該采集器電壓輸出的影響，以及內(nèi)、外梁磁鐵間距變化對(duì)該采集器電壓輸出的影響。

1 系統(tǒng)模型和基本結(jié)構(gòu)

該采集器的三維結(jié)構(gòu)如圖1所示，其結(jié)構(gòu)包括內(nèi)部矩形懸臂梁(內(nèi)梁)、外部U型懸臂梁(外梁)、壓電片、磁鐵1和磁鐵2。其中基底材料為銅；永磁鐵為Nd2Fe14B。

圖1 采集器三維結(jié)構(gòu)示意圖Figure 1 Three dimensional structure diagram of harvester

該采集器可以等效為2個(gè)單自由度的彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)，其等效模型如圖2所示。其中，內(nèi)、外梁壓電片均表示為電容Cp，用導(dǎo)線將壓電片并聯(lián)，與外接負(fù)載電阻RL串聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)閉合電路。

圖2 采集器等效模型Figure 2 Harvester equivalent model

根據(jù)振動(dòng)力學(xué)可以得到該能量采集系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型方程[13-14]：

(1)

式中：Meq1，Ceq1,Keq1和Z1(t)分別為內(nèi)部懸臂梁的等效質(zhì)量、等效阻尼、等效剛度和磁鐵1沿垂直方向的位移；Meq2，Ceq2,Keq2和Z2(t)分別為外部U型懸臂梁的等效質(zhì)量、等效阻尼、等效剛度和磁鐵2沿垂直方向的位移；u(t)為外部激振源；V(t)為該采集器輸出的電壓；φ為壓電陶瓷(PZT)的機(jī)電耦合系數(shù)；Fmv為2個(gè)磁鐵之間磁力沿垂直方向的分力。

根據(jù)基爾霍夫第一定律，可以得到采集器的機(jī)電耦合方程：

(2)

式(1)中Meq1，Ceq1和Keq1具體計(jì)算公式如下[15-16]：

(3)

式中：Ii為內(nèi)梁中壓電片與基底銅粘合在一起后整體懸臂梁的慣性矩；Ei為內(nèi)梁中壓電片與基底銅片粘合在一起后整體懸臂梁的彈性模量；li1，wi1，ti1和lp，wp，tp分別為內(nèi)梁基底材料銅和陶瓷壓電片(PZT)的長(zhǎng)、寬和厚度；m1為內(nèi)梁末端磁鐵的質(zhì)量；ρc為基底材料銅的密度，ρp為陶瓷壓電片(PZT)的材料的密度；ξc為采集器的阻尼比。

其中：

(4)

(5)

式中：Ec為基底材料銅的彈性模量，Ep為陶瓷壓電片(PZT)的彈性模量。

式(1)中Meq2，Ceq2和Keq2的計(jì)算公式為：

(6)

式中：Io1為外部U型矩形懸臂梁的直角拐角前部分整體的慣性矩；Io2為外部U型直角拐角后部分的慣性矩；Eo1為外部U型矩形懸臂梁直角拐角前粘有壓電片部分整體的彈性模量；Eo2為外部U型直角拐角后部分的彈性模量；lo1，wo1，to1分別為外部U型矩形梁的長(zhǎng)、寬和厚度；lo2為外部U型梁直角拐角末端的長(zhǎng)度；m2為外梁末端磁鐵的質(zhì)量。

其中：

(7)

(8)

式中：Eo2為外部U型直角拐角后部分的彈性模量，數(shù)值上Eo2=Ec；wo2和to2分別為外部U型梁直角拐角末端的寬度和厚度。

采集器尺寸如圖3所示。

圖3 采集器尺寸示意圖Figure 3 Dimension diagram of harvester

2 系統(tǒng)非線性勢(shì)函數(shù)分析

2.1 磁力計(jì)算

圖4所示為磁鐵1和磁鐵2的幾何尺寸示意圖。磁鐵1和磁鐵2在平衡位置處產(chǎn)生的排斥力為[17]：

圖4 磁鐵幾何尺寸示意圖Figure 4 Schematic diagram of magnet geometry

(9)

式中：l1,w1和h1分別為磁鐵的長(zhǎng)度、寬度和高度；D為2塊磁鐵之間水平方向間距；Br為永磁鐵的磁性能參數(shù)；μ0為真空導(dǎo)磁率。

2.2 勢(shì)函數(shù)分析

圖5所示為采集器受力分析圖。由圖可知磁鐵在垂直方向磁力的分力Fmv的表達(dá)式為：

圖5 采集器受力分析Figure 5 Stress analysis of harvester

(10)

不考慮磁鐵在平衡位置時(shí)磁鐵所受重力對(duì)懸臂梁的影響，由圖5可知d1和d2間滿足如下關(guān)系[18]：

(11)

2塊磁鐵沿垂直方向的磁力為：

(12)

當(dāng)磁鐵1和磁鐵2在任意時(shí)刻位于某一位置時(shí)，如Z1(t)=zo1，Z2(t)=zo2，則該采集器內(nèi)梁的勢(shì)能V1與外梁的勢(shì)能V2表達(dá)式分別為：

(13)

表1 采集器材料參數(shù)Table 1 Material parameters of energy harvester

表2 采集器結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)Table 2 Structural dimension parameters of harvester mm

圖6 采集器勢(shì)能系統(tǒng)Figure 6 Harvester potential energy system

由圖6可知，在外界的隨機(jī)激勵(lì)下，該采集器的V1和V2隨著d1的取值而產(chǎn)生隨機(jī)變化。這種隨機(jī)變化體現(xiàn)在勢(shì)函數(shù)會(huì)從單勢(shì)阱過(guò)渡到雙勢(shì)阱。因此，在該采集器受到外界的振動(dòng)激勵(lì)源作用時(shí)，內(nèi)梁在某一時(shí)刻處于單穩(wěn)態(tài)振蕩；而其外梁則可能處于雙穩(wěn)態(tài)振蕩模式。由于2者處于隨機(jī)變化的振蕩模式下，當(dāng)磁鐵1越過(guò)水平位置時(shí)，必然會(huì)牽引磁鐵2的運(yùn)動(dòng)；當(dāng)磁鐵2越過(guò)水平位置時(shí)，必然也會(huì)牽引磁鐵1的運(yùn)動(dòng)；從而為內(nèi)、外懸臂梁做大幅度持續(xù)振蕩創(chuàng)造了條件，有利于提高采集器對(duì)振動(dòng)能量的采集效率。

3 仿真分析

仿真過(guò)程中采用的外界隨機(jī)激勵(lì)u(t)=Acos (2πft),該激勵(lì)為余弦激勵(lì)，激勵(lì)源的幅值大小為A=0.1；在仿真過(guò)程中通過(guò)選取不同余弦激勵(lì)的激勵(lì)頻率f對(duì)式(1)和(2)在MATLAB中采用Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值分析。

由于環(huán)境中振動(dòng)能量大多是低頻振動(dòng)源，因此仿真過(guò)程中選取的頻率變化范圍為0～40 Hz，頻率的步長(zhǎng)取為1 Hz；不斷調(diào)整采集器內(nèi)、外梁末端磁鐵間距D，獲取采集器均方根電壓輸出響應(yīng)結(jié)果。如圖7所示為該采集器隨激振頻率f和不同間距D的變化趨勢(shì)。由圖可知，采集器存在一個(gè)明顯的諧振頻率，并在該諧振頻率下，采集器輸出的均方根電壓值到達(dá)最大。當(dāng)間距D=2 mm時(shí)，該采集器的諧振頻率為28 Hz，而當(dāng)D的取值范圍在大于2 mm,小于10 mm時(shí)，該采集器的諧振頻率集中在27 Hz。

圖7 采集器均方根電壓響應(yīng)輸出Figure 7 RMS voltage response output of Harvester

仿真結(jié)果表明：壓電采集器隨著間距D的取值范圍減小，其諧振頻率輸出的均方根電壓逐漸增大，當(dāng)D=10 mm時(shí)，該采集器輸出的均方根電壓為26.095 V，而當(dāng)D=2 mm時(shí)，該采集器輸出的均方根電壓到達(dá)了31.47 V。但是采集器有效頻帶為3 Hz并不隨間距D的減小而發(fā)生較大的改變。

4 結(jié)論

將磁場(chǎng)引入采集器中能拓寬采集頻帶的寬度，同時(shí)兼顧采集器結(jié)構(gòu)的緊湊型，筆者提出了一種非線性U型切口壓電振動(dòng)能量采集器；分析了采集器系統(tǒng)內(nèi)、外梁勢(shì)能的變化趨勢(shì)，建立了采集器的理論振動(dòng)模型；在MATLAB中進(jìn)行數(shù)值模擬分析了激勵(lì)源的頻率和內(nèi)、外懸臂梁末端磁鐵間距D對(duì)采集器均方根電壓輸出的影響。

主要結(jié)論如下：①采集器內(nèi)、外梁的勢(shì)能趨勢(shì)會(huì)在采集器受到外界激勵(lì)時(shí)，處于動(dòng)態(tài)變化中，采集器內(nèi)梁的勢(shì)能趨勢(shì)可以從單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)過(guò)渡到雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)；同時(shí)采集器外梁也可能從雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)過(guò)渡到單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。這種隨機(jī)變化的不確定性，有利于實(shí)現(xiàn)采集器大幅度、持續(xù)地振蕩。②伴隨著磁鐵間距D的減小，該采集器在其諧振頻率輸出的均方根電壓逐漸增大，且D的減小對(duì)采集器輸出的有效頻帶寬影響不大。

筆者所提出的壓電振動(dòng)能量采集器可以作為微能量采集器領(lǐng)域中采集器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一種新思路，但是由于本研究中將磁鐵產(chǎn)生的復(fù)雜磁場(chǎng)直接簡(jiǎn)化成一種力，可能降低了采集器模型的精確性，因此，下一步應(yīng)對(duì)理論模型進(jìn)行優(yōu)化。