陳宇寧， 吳建民， 田 楊

(1.上海工程技術(shù)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院， 上海 201620；2.沈陽理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110159)

應(yīng)用力學(xué)模型進(jìn)行系統(tǒng)的力學(xué)特性分析，是揭示系統(tǒng)振動規(guī)律從而進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計與改進(jìn)的重要方法，而獲得精準(zhǔn)的動力學(xué)模型參數(shù)是建模過程的關(guān)鍵技術(shù)。為此，學(xué)者們針對動力學(xué)模型參數(shù)估計進(jìn)行了相關(guān)研究?？琢钜愕萚1]應(yīng)用增廣最小二乘法完成了動力學(xué)模型參數(shù)的無偏估計。王茜等[2]聯(lián)合全相位FFT和最小二乘法建立了電機葉片的振動參數(shù)估計模型。吳超等[3]搭建了電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實驗平臺，并基于模態(tài)實現(xiàn)了動力學(xué)模型的參數(shù)辨識。高軒等[4]采用分步辨識法建立系統(tǒng)力學(xué)蠶食辨識模型。魏青軒等[5]將離散頻譜校正和最小二乘聯(lián)立，推導(dǎo)了以加速度信息為輸入的系統(tǒng)參數(shù)辨識模型。李新廣等[6]結(jié)合了Fourier級數(shù)方法和最小二乘法辨識出非線性動力學(xué)模型中的剛度與阻尼。商興蓮等[7]利用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法識別出機床動力學(xué)參數(shù)值。

上述方法通過實驗或理論方法進(jìn)行了動力學(xué)參數(shù)的估計，然而上述方法沒有實現(xiàn)剛度、阻尼和力的全參數(shù)估計，課題組基于調(diào)制函數(shù)法提出了一種具有通用性的動力學(xué)參數(shù)辨識方法，通過該方法可實現(xiàn)動力學(xué)全參數(shù)的估計。

1 動力學(xué)模型參數(shù)估計

振動分析過程經(jīng)典力學(xué)將系統(tǒng)視為如圖1所示的力學(xué)模型。

圖1 動力學(xué)系統(tǒng)模型Figure 1 Dynamic system model

上述動力學(xué)模型可描述為[8-10]：

(1)

式中：m為質(zhì)量，c為阻尼，k為剛度系數(shù)，f為作用力。

由于加速度傳感器便于布置，且其為相對式儀器，基于加速度信息估計動力學(xué)模型參數(shù)，則有：

(2)

設(shè)T

(P1)∶g∈Cl([t-T,t]);
(P2)∶g(k)(t-T)=0;
(P3)∶g(k)(t)=0。

式中：t為時間，T為任意小于時間t的常量。

1.1 剛度和阻尼參數(shù)估計

(3)

式中：τ為在定義域內(nèi)的參數(shù)，pj為冪函數(shù)，ρj為對應(yīng)階次的常數(shù)。

然后將模型近似如下：

(4)

(5)

在式(5)中使用分部積分可得到：

(6)

(7)

根據(jù)調(diào)制函數(shù)gi的性質(zhì)，其未知邊界值可以被消除，因此，對于i=1,…,N，可以得到：

(8)

其中：

Aλ=b。

(9)

式中b為常向量。λ=(c,k)T，A∈RN×2和b∈RN如下：

式中i=1,…,N。

式(9)可以用最小二乘法求解，得：

λ=(ATA)-1ATb。

(10)

1.2 參數(shù)力f的估計

為了估計參數(shù)力f，課題組考慮雅克比正交基，定義在[0,1]上的雅克比正交多項式如下：

(11)

式中μ,κ∈[-1,+∞]。

令函數(shù)f和g是屬于C([0,1])的函數(shù)，然后是標(biāo)量積〈·,·〉μ,κ函數(shù)的定義如下：

(12)

式中ωμ,κ(τ)=(1-τ)μτκ是相關(guān)的權(quán)重函數(shù)，因此可以獲得：

(13)

如果f∈C([t-T,t])，其可以用下面的雅克比正交級數(shù)來表示：

(14)

2 模型驗證

為了驗證上述模型的準(zhǔn)確性，課題組應(yīng)用MATLAB編制了式(1)動力學(xué)方程的計算程序，通過代入已知作用力，已知動力學(xué)模型參數(shù)剛度k、阻尼c和作用力參數(shù)f，計算出在此作用力f下的位移、速度和加速度：

f=F0sinωt。

(15)

式中F0為常力。

系統(tǒng)動力學(xué)模型中部分參數(shù)如表1所示。

表1 力學(xué)模型參數(shù)Table 1 Mechanical model parameters

通過計算可獲得模型的位移、速度和加速度信息，而課題組提出的估計模型是以加速度信息作為輸入的，因為在布置傳感器的過程中，加速度傳感器更容易完成裝配，計算出的加速度信息如圖2所示。

圖2 加速度真實值Figure 2 True value of acceleration

在已知加速度的前提下，將模型真實參數(shù)剛度k、阻尼c和作用力參數(shù)f作為未知參數(shù)，應(yīng)用式(2)～(13)估計得到剛度k、阻尼c和作用力參數(shù)f，再將估計值與真實值進(jìn)行對比，從而驗證參數(shù)辨識模型的正確性，具體驗證過程如圖3所示。

圖3 估計方法驗證流程Figure 3 Estimation method validation process

按照圖3的流程通過仿真估計出參數(shù)：k=3.85×107N·m-1;c=4.59×104N·s·m-1;f=14 750 sinωt。仿真估算得到k,c,f，與表1中的真實值對比，誤差分別是1.3%，2.0%和1.7%。

為了進(jìn)一步直觀地對比課題組提出估計模型的準(zhǔn)確性，課題組將估計出的參數(shù)代入式(1)中重新計算出系統(tǒng)速度和位移的估計值，圖4所示為速度的真實值與估計值對比結(jié)果。

圖4 速度的真實值與估計值對比Figure 4 Comparison of real and estimated speed

圖5所示為位移的真實值與估計值對比結(jié)果。

圖5 位移的真實值與估計值對比Figure 5 Comparison of real and estimated displacement

通過對比可知：在應(yīng)用估計出的參數(shù)進(jìn)行動力分析的估計值與真實值重合度較高，其趨勢重疊且振動幅值誤差較低，因此證明課題組提出估計模型具有較高的精度。

4 結(jié)論

課題組以便于獲得的加速度信息為輸入數(shù)據(jù)，基于傳統(tǒng)動力學(xué)模型通過調(diào)制函數(shù)法建立了振動力學(xué)系統(tǒng)的全參數(shù)的估計模型，所提出的方法將微分問題轉(zhuǎn)換為積分問題，大大降低了求解的誤差，通過估計值和真實值得對比，其綜合平均誤差為1.67%，通過課題組提出的估計模型，可實現(xiàn)振動力學(xué)參數(shù)無法測量前提下的系統(tǒng)建模，從而開展相關(guān)的力學(xué)狀態(tài)分析。