范海倫， 祖洪飛， 向 忠， 彭來湖

(浙江理工大學(xué) 機械與自動控制學(xué)院， 浙江 杭州 310018)

多維位姿測量[1]系統(tǒng)是保證機械手定位及軌跡精度的關(guān)鍵裝置，傳統(tǒng)的多維位姿測量多是通過多個單自由度位移傳感器或編碼器[2-3]來實現(xiàn)的，測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本高，且容易產(chǎn)生多軸累積誤差，難以滿足精密位移測量的需求。因此，迫切需要一種精度高、結(jié)構(gòu)簡單的單體集成多維位姿傳感器。通過測試對比，最終選取聚氨酯作為彈性體軟軸的材料，在進一步研究該傳感器傳感特性的過程中，要對彈性體的運動及形變情況進行分析。由于聚氨酯為非線性材料，很難通過直接計算得到精確的解析解，因此通常需要借助仿真工具進行分析，而進行仿真分析的前提是要得到該材料的超彈性本構(gòu)模型。本構(gòu)模型描述了彈性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，而其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是最終得到該傳感器應(yīng)變-位移關(guān)系的基礎(chǔ)及核心，因此獲得合適的超彈性本構(gòu)模型就成為研究該傳感器的關(guān)鍵所在。

對于彈性體材料的本構(gòu)模型，國內(nèi)外學(xué)者進行了大量的研究，并提出了多個模型：魏志剛等[4]基于彈性體的第1、第3主伸長率提出了一種新的本構(gòu)模型，該模型對初始參數(shù)依賴小，只需通過試驗就能獲得較為可靠的模型參數(shù)，但該試驗需構(gòu)建特定的主坐標(biāo)系，具有一定的局限性；馮希金等[5]針對未硫化橡膠，結(jié)合單軸拉壓與剪切試驗，使用Yeoh 應(yīng)變能函數(shù)的廣義Maxwell黏超彈性模型對未硫化橡膠進行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型可以較好地描述未硫化橡膠的參數(shù)特征，為以后研究未硫化橡膠提供了一種新的思路；劉高沖等[6]對聚氨酯彈性體進行了靜態(tài)與動態(tài)的單軸壓縮試驗，最終得到了聚氨酯彈性體與應(yīng)變率相關(guān)本構(gòu)模型，從而可以較好地描述應(yīng)變率對聚氨酯彈性體的影響。上述文獻對各種橡膠材料在不同的溫度及不同的應(yīng)變幅值下的本構(gòu)模型進行了研究分析，但都是對彈性體應(yīng)力-伸長比之間的關(guān)系進行研究，沒有深入探討應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

課題組以聚氨酯彈性體作為傳感器彈性元件進行研究，研究了聚氨酯彈性體壓縮狀態(tài)下的本構(gòu)模型，由于篇幅有限對于彎曲以及拉伸暫時不做研究。以圓柱狀聚氨酯彈性體壓縮試樣為研究對象，在不同的應(yīng)變率下對試樣進行循環(huán)加載；然后，采用多種超彈性本構(gòu)模型對其加載曲線的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進行擬合，對比分析各本構(gòu)模型的擬合精度，選取最合適的本構(gòu)模型。

1 彈性體材料本構(gòu)模型

與金屬材料的線彈性不同，聚氨酯等彈性體橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈非線性變化，該類材料發(fā)生大變形后可以恢復(fù)原始狀態(tài)，即變形可逆，因此可以看作超彈性材料，并且可以認(rèn)為它們各向同性，對于此類材料，它們的應(yīng)變能函數(shù)可表示為：

W=W(I1,I2,I3)。

(1)

式中：I1,I2,I3分別為Cauchy-Green變形張量的第1，第2，第3基本不變量。

超彈性材料的柯西應(yīng)力張量可以表示為：

(2)

式中：p為靜水壓力，I為單位張量，B為變形張量。

對于單軸壓縮、拉伸，設(shè)伸長率為λ，3個主伸長率關(guān)系為λ1=λ，λ2=λ3=λ-1/2，又由于超彈性材料可以看作各向同性不可壓縮，所以I3=1。則：

(3)

將式(3)代入式(2)可推導(dǎo)出真實應(yīng)力

(4)

又因真實應(yīng)力σT與工程應(yīng)力σ滿足σT=λσ，則工程應(yīng)力

(5)

1.1 Mooney-Rivilin本構(gòu)模型

Rivilin在研究應(yīng)變能函數(shù)一般形式時，推導(dǎo)出了各向同性不可壓縮材料的應(yīng)變能函數(shù)

(6)

式中Cmn為常數(shù)，且滿足C00=0。

Mooney[7]在式(1)的基礎(chǔ)上，取其前2項，其他各項的Cmn=0,有：

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)。

(7)

式(7)被稱為Mooney-Rivilin公式。將式(7)代入式(5)可求得Mooney-Rivilin模型應(yīng)力-伸長率關(guān)系式：

(8)

伸長率λ與應(yīng)變ε滿足：λ=1+ε。式(8)整理后可寫為:

(9)

將式(9)進行泰勒展開，因為ε最大為0.2，ε?ε4，因此酌情保留到展開式的三次項或者四次項。

(10)

則Mooney-Rivilin模型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式為:

σ=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+2C01(10ε3-6ε2+3ε)。

(11)

Mooney-Rivilin模型廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工程中，對拉伸不超過200%的橡膠材料試驗數(shù)據(jù)具有較好的擬合，但是研究發(fā)現(xiàn)其對壓縮試驗數(shù)據(jù)擬合效果較差。

1.2 Yeoh本構(gòu)模型

在Mooney-Rivilin本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，Yeoh[8]提出了3項應(yīng)變能函數(shù)，該應(yīng)變能函數(shù)只含有1個應(yīng)變張量不變量I1，而不含有第2應(yīng)變張量不變量I2，因此Yeoh本構(gòu)方程也被稱為減縮多項式方程。其應(yīng)變能函數(shù)

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3。

(12)

將式(12)代入式(5)可求得Yeoh模型應(yīng)力-伸長率關(guān)系式,整理后得到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

σ=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+36C20ε3+54C30(-ε-1)。

(13)

因Yeoh模型不含有I2項,但是含有I1的更高次項，所以其對中等及以上應(yīng)變具有較好的擬合效果，但是不能很好地描述等雙軸拉伸狀態(tài)。

1.3 Biderman本構(gòu)模型

Biderman[9]在Yeoh模型的基礎(chǔ)上增添了應(yīng)變張量不變量I2，試驗結(jié)果表明：單軸拉壓狀態(tài)下，相對于Yeoh模型，Biderman模型具有更好的擬合效果。其應(yīng)變能函數(shù)

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3+C01(I2-3)。

(14)

整理得到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

σ=2C10(6ε5-5ε4+4ε3-3ε2+3ε)+2C01(21ε5-15ε4+10ε3-6ε2+3ε)+4C20(24ε5-15ε4+9ε3)+162C30ε5。

(15)

需要說明的是，由于最后一項C30系數(shù)展開式只有ε5，因此其他系數(shù)項皆保留到ε5。

1.4 Ogden本構(gòu)模型

Ogden[10]并沒有使用應(yīng)變張量不變量表述橡膠本構(gòu)的應(yīng)變能函數(shù)，而是使用主伸長率來代替應(yīng)變張量不變量，這樣簡化了描述應(yīng)變能函數(shù)。其應(yīng)變能函數(shù)

(16)

式中：i和n表示材料參數(shù)的項數(shù)；λi為主伸長率；μi，αi分別為試驗確定的材料常數(shù)。

Ogden模型對材料的各種變形皆有較好的擬合效果，但是工程中一般使用不超過4項展開式，因為若超過4項，其擬合參數(shù)過多，迭代時間增加，誤差增大，仿真困難。因此課題組選用Ogden模型3項展開式。工程應(yīng)力

(17)

2 試驗方法與試樣

本試驗所采用的聚氨酯壓縮試樣密度為1.2 g/cm3,邵氏硬度(90±2)A,直徑為20 mm，高度10 mm的圓柱體，試驗使用WDW-5電子萬能試驗機，并參照GB/T7757—2009進行。試驗共制備5個壓縮試樣，分別對5個試樣進行試驗，取5次試驗的平均值進行數(shù)據(jù)擬合。

試驗儀器與試驗材料如圖1所示。課題組試驗所用的工程應(yīng)變?yōu)?0%，分別進行0.010 0，0.001 0，0.000 3 s-1的3種應(yīng)變率加載試驗。試驗先將測得的力-位移曲線轉(zhuǎn)化為應(yīng)力-應(yīng)變曲線，再對轉(zhuǎn)化后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進行本構(gòu)方程擬合。最終得到不同工況下的最優(yōu)循環(huán)加卸載本構(gòu)模型。

圖1 試驗儀器與試驗材料Figure 1 Test equipment and materials

彈性體材料在加載卸載時，其卸載應(yīng)力要遠低于加載應(yīng)力，經(jīng)過多次循環(huán)加載、卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線才會幾乎重合，這種現(xiàn)象就稱為Mullins[11]效應(yīng)。為消除Mullins效應(yīng)，得到穩(wěn)定加載曲線，需要在常溫下對試樣進行多次循環(huán)加載試驗，此處采用的工程應(yīng)變速率為0.001 0 s-1，最大工程應(yīng)變?yōu)?0%。

圖2所示為聚氨酯壓縮循環(huán)加載9次的力-位移曲線。加載過程中發(fā)現(xiàn)在第3次加載后力-位移曲線趨于穩(wěn)定，在第5次加載后力-位移曲線基本穩(wěn)定。獲取穩(wěn)定的加載力-位移曲線對于后續(xù)的彈性體受力分析和模型創(chuàng)建具有重要的意義，因為彈性體在循環(huán)加載、卸載的工況下工作，若使用未消除應(yīng)力軟化的數(shù)據(jù)進行分析會導(dǎo)致模型誤差很大。因此，課題組在對試樣循環(huán)加載、消除Mullins軟化效應(yīng)的基礎(chǔ)上進行后續(xù)試驗。

圖2 循環(huán)加載力-位移曲線Figure 2 Cyclic loading force-displacement curve

3 本構(gòu)模型的試驗結(jié)果與分析

為獲得合適的超彈性模型以準(zhǔn)確地描述聚氨酯應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，課題組分別對Mooney-Rivilin,Yeoh，Biderman以及Ogden這4種模型，在不同應(yīng)變率下的數(shù)據(jù)進行了擬合分析。首先將試驗所得數(shù)據(jù)進行處理，在試驗機上直接測得力-位移關(guān)系數(shù)據(jù)，并將其轉(zhuǎn)化為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

(18)

(19)

式中：F為加載力，d為試樣直徑，l0為初始厚度，l1為變形后的厚度，s為試驗數(shù)據(jù)中的位移。

課題組沒有使用傳統(tǒng)的ABAQUS等仿真分析軟件對其進行本構(gòu)模型擬合，而是使用Origin專業(yè)繪圖軟件對其擬合。將試驗數(shù)據(jù)整理后導(dǎo)入繪圖軟件中，使用非線性擬合將前文本構(gòu)模型的應(yīng)力-應(yīng)變公式輸入其中，實現(xiàn)對試驗數(shù)據(jù)的擬合。試驗得到應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3所示。

圖3 壓縮加載應(yīng)力-應(yīng)變曲線Figure 3 Compressive loading stress-strain curve

由圖3可見，試驗數(shù)據(jù)呈現(xiàn)“S”型，符合超彈性物質(zhì)的性質(zhì)。在3種加載應(yīng)變率下，試驗曲線形狀幾乎相同，在微小應(yīng)變下曲線重合。在相同的應(yīng)變下，隨著應(yīng)變率的增加聚氨酯彈性體受到的應(yīng)力增大。

3.1 Mooney-Rivilin本構(gòu)模型

如圖4(a)所示，Mooney-Rivilin模型對3種應(yīng)變率下的試驗數(shù)據(jù)擬合偏離較遠，尤其是在小應(yīng)變情況下，這與其對壓縮狀態(tài)擬合較差的結(jié)論相符。在0%～3%應(yīng)變范圍內(nèi)，擬合曲線呈現(xiàn)負值， 這與實際情況不符，且在應(yīng)變達到17%左右時擬合曲線有應(yīng)力減小的趨勢，這與試驗數(shù)據(jù)持續(xù)上升的趨勢也相反。因此，我們認(rèn)為Mooney-Rivilin模型不能對本試驗所用的壓縮狀態(tài)下的聚氨酯彈性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進行描述。

Mooney-Rivilin模型的擬合數(shù)據(jù)如表1所示。表1中C10為負值，而C01為正值，這與多數(shù)文獻中對其他彈性體材料的擬合結(jié)果相反，一般情況下C10為正值，而C01為負值，這進一步說明了該模型不適合本試驗中所使用的聚氨酯彈性體。

表1 Mooney-Rivilin模型擬合參數(shù)Table 1 Mooney-Rivilin model fitting parameters

3.2 Yeoh本構(gòu)模型

圖4(b)所示為Yeoh本構(gòu)模型應(yīng)力-應(yīng)變擬合結(jié)果，可以看出Yeoh本構(gòu)模型擬合效果明顯優(yōu)于Mooney- Rivilin本構(gòu)模型。當(dāng)應(yīng)變?yōu)?%～4%時，Yeoh本構(gòu)模型的應(yīng)力高于試驗數(shù)據(jù)較多；當(dāng)應(yīng)變?yōu)?%～12%時，Yeoh本構(gòu)模型應(yīng)力逐漸接近試驗數(shù)據(jù)；當(dāng)應(yīng)變?yōu)?2%～19%時，擬合效果最好。Yeoh本構(gòu)模型擬合參數(shù)如表2所示。不同于硅膠等硬度較小的彈性體，課題組所采用的聚氨酯彈性體硬度較大，擬合參數(shù)第1、第3項為負值，第2項為正值，因此中等應(yīng)變的擬合效果較好。

表2 Yeoh模型擬合參數(shù)Table 2 Yeoh model fitting parameters

3.3 Biderman本構(gòu)模型

Biderman本構(gòu)模型的擬合結(jié)果如圖4(c)所示，擬合參數(shù)如表3所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，Biderman本構(gòu)模型在3種應(yīng)變率下對試驗數(shù)據(jù)的擬合效果均非常好，這表明Biderman本構(gòu)模型能夠很好地描述聚氨酯彈性體的受力情況。其原因是相對于Yeoh本構(gòu)模型，Biderman本構(gòu)模型增加了應(yīng)變不變量I2項，參數(shù)也增加了C01項，因此不僅可以對小應(yīng)變更好地進行描述，對中等應(yīng)變以及大應(yīng)變的契合程度也更高。

表3 Biderman模型擬合參數(shù)Table 3 Biderman model fitting parameters

3.4 Ogden本構(gòu)模型

Ogden本構(gòu)模型的擬合結(jié)果如圖4(d)所示，擬合參數(shù)如表4所示。由擬合效果可知，Ogden本構(gòu)模型對試驗數(shù)據(jù)的擬合效果相對于Mooney-Rivilin、Yeoh這2種本構(gòu)模型為佳，僅次于Biderman模型。在應(yīng)變?yōu)?%～1%時，模型的應(yīng)力為負值，這點與試驗不符。Ogden本構(gòu)模型對于試驗試樣大于2%的應(yīng)變擬合效果較好。相對于前2種模型，Ogden本構(gòu)模型具有更好的擬合效果，這與Ogden本構(gòu)模型包含更多的參數(shù)有關(guān)，但因為Ogden本構(gòu)模型參數(shù)較多，所以其擬合所需要的收斂時間更長，擬合參數(shù)的初始設(shè)定也更加繁瑣。

表4 Ogden模型擬合參數(shù)Table 4 Ogden model fitting parameters

卡方值表示試驗數(shù)據(jù)與擬合曲線的相關(guān)程度，如果卡方值小于0.05，則說明雙方是顯著相關(guān)的，也就是說擬合結(jié)果是符合的?？ǚ街荡笥?，數(shù)值越小表明相關(guān)性越顯著，擬合效果越好。表5所示為4種模型擬合參數(shù)的卡方值對比，可以很明顯地看出這4種模型在3種應(yīng)變率下的擬合效果， Mooney-Rivilin和Yeoh 2種模型卡方值均大于0.05，不符合要求。Biderman模型與Ogden模型3種應(yīng)變率下的卡方值均小于0.05，試驗數(shù)據(jù)與擬合曲線顯著相關(guān)，這2種模型卡方值對比可以看出相同應(yīng)變率下Biderman模型卡方值更小，相關(guān)性更顯著，擬合程度也就更好。

表5 4種模型擬合參數(shù)卡方值Table 5 Chi-square values of four-modelfitting parameters

4 結(jié)論

課題組使用電子萬能試驗機對聚氨酯彈性體進行準(zhǔn)靜態(tài)下壓縮試驗。對預(yù)處理試樣進行不同應(yīng)變率的壓縮加載試驗，將得到的數(shù)據(jù)處理之后導(dǎo)入專業(yè)繪圖工具，最后利用4種本構(gòu)模型對試驗數(shù)據(jù)進行擬合。通過對實驗數(shù)據(jù)擬合對比分析，可以得到如下結(jié)論：

1) 聚氨酯類彈性體具有應(yīng)力軟化效應(yīng)，若要得到準(zhǔn)確的實驗數(shù)據(jù)，需要多次循環(huán)加載以消除Mullins效應(yīng)。

2) Mooney-Rivilin本構(gòu)模型對試驗數(shù)據(jù)的擬合效果很差；Yeoh本構(gòu)模型在小形變偏離較大而中等形變狀態(tài)下擬合稍有偏離；擁有6個參數(shù)的Ogden本構(gòu)模型對試驗數(shù)據(jù)的擬合效果較好，但由于參數(shù)較多，收斂時間增大且初始值設(shè)定較為麻煩；對該試樣擬合效果最好的是Biderman本構(gòu)模型，不僅擬合程度最佳，并且參數(shù)數(shù)量適中，該模型能夠很好地描述聚氨酯單軸壓縮加載狀態(tài)下的力學(xué)行為。

3) 本研究應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合為后續(xù)材料的仿真建模提供了可靠的前提條件以及對進一步研究聚氨酯材料的熱力學(xué)行為和黏彈性行為提供了一定的參照。