馮麗娜 方小利

(紹興文理學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，浙江 紹興 312000)

0 引言

Turaev在研究中引入了Turaev辮子群范疇[1]，這類范疇可以產(chǎn)生3維同倫量子場(chǎng)論.Kirillov發(fā)現(xiàn)，這類范疇還提供了合適的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述共形場(chǎng)論研究中出現(xiàn)的Orbifold模型[2].同時(shí)，Virelizier通過Turaev辮子群范疇構(gòu)造了Hennings型不變量[3].因此Turaev辮子群范疇研究引起了代數(shù)專家強(qiáng)烈的興趣.最近，一些構(gòu)造Turaev辮子群范疇的新結(jié)果也陸續(xù)發(fā)表出來(lái)，為了構(gòu)造新的非平凡結(jié)合子的Turaev辮子群范疇，F(xiàn)ang等介紹了擬三角擬Turaev群余代數(shù)，同時(shí)證明了擬三角擬Turaev群余代數(shù)的表示也是此類Turaev辮子群范疇[4]，擬三角Turaev群余代數(shù)的進(jìn)一步研究還有不少[5-6].Virelizier[7]給出了Hopf群余代數(shù)中對(duì)極的定義以及若干性質(zhì)，這些性質(zhì)在Hopf群余代數(shù)的研究中起到了重要作用.擬Hopf群余代數(shù)的對(duì)極在擬三角擬Turaev群余代數(shù)的研究中占有重要地位，不同于一般Hopf群余代數(shù)情形，擬Hopf群余代數(shù)的對(duì)極有著很多不同的性質(zhì)，但在參考文獻(xiàn)[4-6]中，并沒有對(duì)對(duì)極的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行深入研究.本文主要討論擬Hopf群余代數(shù)上關(guān)于對(duì)極的若干性質(zhì)，證明擬Hopf群余代數(shù)的對(duì)極在一般意義下不唯一.

在本文中，k為一個(gè)固定域，所有代數(shù)，線性空間等都在域k上，未經(jīng)說明的?表示?k.對(duì)于乘法，使用Sweedler-Heyneman記法[8-9].

1 擬Hopf群余代數(shù)

首先規(guī)定：一族帶有余乘法和余單位的代數(shù)({Hα},△,ε))是指它是一族結(jié)合且?guī)в袉挝籯-代數(shù)H={Hα}α∈π和帶有一族代數(shù)映射

△={△α,β:Hαβ→Hα?Hβ}α,β∈π(余乘法)和ε:H1→k(余單位).

定義 1:設(shè)H=({Hα},△,ε)是一族帶有余乘法和余單位的代數(shù).若存在可逆元素(結(jié)合子)的Φ={Φα,β,γ∈Hα?Hβ?Hγ}α,β,γ∈π滿足：

(idα?△β,γ)△α,βγ(h)Φα,β,γ=Φα,β,γ(△α,β?idγ)△αβ,γ(h)(h∈Hαβγ),

(1)

(idα?ε)(△α,1(h))=h,(ε?idα)(△1,α(h))=h(h∈Hα),

(2)

(1α?Φβ,γ,θ)(idα?△β,γ?idθ)(Φα,βγ,θ)(Φα,β,γ?1θ)

=(idα?idβ?△γ,θ)(Φα,β,γθ)(△α,β?idγ?idθ)(Φαβ,γ,θ),

(3)

(idα?ε?idβ)(Φα,1,β)=1α?1β,

(4)

則稱H=({Hα},△,ε)為擬半群余代數(shù).

注1.1：用Sweedler-Heyneman記法，則△α,β(h)=h(1,α)?h(2,β)，其中記號(hào)∑省略.采用以上記法對(duì)于所有的h∈Hαβγ,我們記：

(△α,β?idγ)△αβ,γ(h)=h(1,αβ)(1,α)?h(1,αβ)(2,β)?h(2,γ)

證明：注1.1的證明見參考文獻(xiàn)[4].

我們分別用大寫字母表示結(jié)合子Φ, 用小寫字母表示結(jié)合子的逆Φ-1，即：

用Sweedler-Heyneman記法, 式(1)至式(4)可以記為：

(5)

h(1,α)ε(h(2,1))=h=ε(h(1,1))h(2,α),h∈Hα,

(6)

(7)

(8)

兩個(gè)擬半群余代數(shù)({Aα},△A,εA,ΦA(chǔ))和({Bα},△B,εB,ΦB)之間的同態(tài)是k-線性映射族f={fα:Aα→Bα}α∈π滿足：

(9)

(10)

且對(duì)于所有的α∈π，fα是一個(gè)代數(shù)態(tài)射.進(jìn)一步，對(duì)于所有的α∈π，若fα是雙射，那么稱它為擬半群余代數(shù)同構(gòu).

注1.2：(1)若擬半群余代數(shù)H中的Φ是平凡的，那么Φα,β,γ=1α?1β?1γ,H是一個(gè)半群余代數(shù)[1,7].

(2)若π是平凡的，一個(gè)擬半群余代數(shù)是一個(gè)擬雙代數(shù)[11].

命題1：設(shè)H={Hα}α∈π是一個(gè)擬半群余代數(shù)，那么

(ε?idα?idβ)(Φ1,α,β)=1α?1β=(idα?idβ?ε)(Φα,β,1),

(11)

(12)

定義2：一個(gè)擬Hopf群余代數(shù)是一個(gè)擬半群余代數(shù)H=({Hα},△,ε)帶有一族可逆反自代數(shù)同態(tài)(對(duì)極)S={Sα:Hα→Hα-1}和元素τ=(τα)α∈π以及υ=(υα)α∈π，對(duì)于所有的α∈π,τα,υα∈Hα滿足[4]：

Sα(a(1,α))τα-1a(2,α-1)=ε(a)τα-1,

(13)

a(1,α)υαSα-1(a(2,α-1))=ε(a)υα,

(14)

(15)

(16)

根據(jù)定義，自然可得以下這兩個(gè)命題，命題3的證明可見參考文獻(xiàn)[7].

命題2：ε(S1(a))=a,ε(τ1)ε(υ1)=1，

命題3：設(shè)H={Hα}α∈π是一個(gè)擬Hopf群余代數(shù)，那么{α∈π|Hα≠0}是π的一個(gè)子群.

接下來(lái)構(gòu)造一些擬Hopf群余代數(shù)的例子.

(III)反和余反擬Hopf群余代數(shù)(Hop,cop)：設(shè)H={Hα}α∈π是一個(gè)擬Hopf群余代數(shù)，可以通過H定義一個(gè)H的反和余反擬Hopf群余代數(shù).

2 對(duì)極的若干性質(zhì)

為研究對(duì)極與余乘法和結(jié)合子相容性，需要定義兩族元素χ={χα,β∈Hα?Hβ}α,β∈π和δ={δα,β∈Hα?Hβ}α,β∈π其中：

(17)

(18)

引理1：(1)對(duì)于所有的α,β∈π,

(19)

(20)

(2)對(duì)于所有的a∈H1,

(21)

(22)

(3)對(duì)于所有的α,β∈π,

(23)

(24)

證明：(1)對(duì)于所有的α,β∈π, 有

據(jù)式(3)

據(jù)式(4),(13)

同樣的方法可得公式δα,β.

(2)根據(jù)式(17)中χαβ的定義，得到

據(jù)式(17)

據(jù)式(1)

據(jù)式(13)

=ε(a)χα,β

類似可證式(22).

(3)對(duì)于所有的α,β∈π,計(jì)算可得

據(jù)式(17),(18)

據(jù)式(3)

據(jù)式(13),(14)

據(jù)式(3)

據(jù)式(4),(11)，(13)，(14)

據(jù)式(3)

據(jù)式(4),(11),(13),(14)

據(jù)式(15)

gβ-1,α-1(a(1,β-1α-1))ρα,βfα,β(a(2,αβ))=ε(a)ραβ,

(25)

(26)

(27)

(28)

證明：證明類似于本文定理1的證明.

通過元素χ和δ, 定義一族元素

(29)

F與對(duì)極有密切的關(guān)系，可見以下命題.

命題4：F是一個(gè)可逆元素，帶有逆元

(30)

而且有

χα,β=Fα,β△α,β(ταβ),

(31)

(32)

對(duì)極與余乘法通過下式相容：

(33)

而且對(duì)極與結(jié)合子通過下式相容：

(34)

證明：為應(yīng)用引理2設(shè)

根據(jù)引理1，這些條件都是滿足的，因此得到一族可逆元素F,F和F-1剛好分別就是式(29)和式(30)所給出的，且等式(31)—式(33)成立.還需證明等式(34)，根據(jù)式(29)和式(33)，可得

(35)

(36)

我們將式(34)的證明簡(jiǎn)化為下列等式的證明.

=(1α?Fβ,γ)(idα?△β,γ)(χα,βγ)Φα,β,γ

(37)

根據(jù)式(17)、式(31)和式(33),可得

據(jù)式(3)

據(jù)式(1)

=(1α?Fβ,γ)(idα?△β,γ)(χα,βγ)Φα,β,γ

因此，完成了證明.

3 擬Hopf群余代數(shù)對(duì)極的唯一性

不同于一般Hopf群余代數(shù)情形，擬Hopf群余代數(shù)的對(duì)極在一般意義下不唯一，可以借助一系列可逆元素(κα)α∈π和κα∈Hα通過原來(lái)的Sα,τα,υα如下方式定義

(38)

據(jù)式(13)

據(jù)式(1)

據(jù)式(14)

據(jù)式(11),(13)

據(jù)式(11),(13)

據(jù)式(3)

據(jù)式(12),(13)

據(jù)式(15)

通過Sκ定義的χκ,δκ和Fκ與原S定義的χ,δ,F的關(guān)系如下：

證明：其中χκ和δκ可以直接根據(jù)χ和δ的定義得到.對(duì)于Fκ，由于