鄭鐵恒

（中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司，北京 100055）

0 引言

魚腹式桁架具有跨度大、承載力高、輕便省材、造型美觀等優(yōu)點(diǎn)，如今已逐漸被運(yùn)用于水工閘門領(lǐng)域[1]。在直升式弧形閘門中魚腹式桁架通常作為水平向主梁，弧形擋水面板設(shè)在魚腹式桁架的上弦桿，水壓力通過面板和肋梁傳遞到魚腹桁架式主梁，所以魚腹式桁架所受到的外荷載為垂直于上弦桿軸線的均布水壓力。目前國(guó)內(nèi)外基于水壓力工況所開展的魚腹式桁架線形研究工作相對(duì)較少，為使水工領(lǐng)域的魚腹式桁架發(fā)揮出較好的力學(xué)性能，文中以一榀兩端簡(jiǎn)支的空腹魚腹式桁架為例，對(duì)魚腹式桁架的合理線形進(jìn)行理論推導(dǎo)與有限元驗(yàn)證。

1 魚腹式桁架合理線形推導(dǎo)

1.1 上弦桿軸線方程推導(dǎo)

假定魚腹式桁架在水壓力q1的作用下，上弦桿主要受軸向壓力作用，下弦桿主要受軸向拉力作用，腹桿為僅受軸向壓力的二力桿，且各腹桿軸力相等，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1 所示。分別取上弦桿和下弦桿為隔離體進(jìn)行受力分析。將上弦桿視為存在水平推力的三鉸拱結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2 所示，其中l(wèi) 為拱的跨度，f 為拱的失高，F(xiàn) 為腹桿對(duì)弦桿的作用力。由于F 沿跨度方向等間距布置，故可將其簡(jiǎn)化為沿x 向分布的均布力q2，易知q2=10F/l。同時(shí)將水壓力q1沿x 軸和y軸進(jìn)行分解，則上弦桿的計(jì)算簡(jiǎn)圖轉(zhuǎn)變?yōu)閳D3 所示。

圖1 魚腹式桁架計(jì)算簡(jiǎn)圖

圖2 上弦桿初始計(jì)算簡(jiǎn)圖

圖3 上弦桿簡(jiǎn)化后的計(jì)算簡(jiǎn)圖

在一定荷載作用下使拱各截面處于均勻受壓狀態(tài)的軸線稱為合理拱軸線[2，3]，即上弦桿各個(gè)截面均應(yīng)處于無彎矩狀態(tài)。此時(shí)，材料能得到充分利用，桿件的截面尺寸最為經(jīng)濟(jì)。對(duì)上弦桿任意截面求矩得：

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：

由此可知，上弦桿軸線方程是橢圓方程，其中q1與水壓力有關(guān)，為已知量，q2與腹桿的軸力有關(guān)，為未知量。

1.2 下弦桿軸線方程推導(dǎo)

同理，魚腹式桁架的下弦桿可簡(jiǎn)化為受均布荷載的三鉸弧形拉桿，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4 所示。

圖4 下弦桿計(jì)算簡(jiǎn)圖

同樣對(duì)下弦桿任意截面求矩可得到下弦桿的軸線方程：

由式（3）可知，下弦桿軸線方程是拋物線方程。

1.3 上下弦桿的變形協(xié)調(diào)

水工閘門中的魚腹式桁架是受對(duì)稱荷載的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，故其跨中部位的x 向位移為0，y 向位移最大。由于腹桿的壓縮剛度較大，故可忽略腹桿的壓縮變形，將上下弦桿的跨中y 向位移相等視為結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件。由于上下弦桿的剪力和彎矩處處為0，故僅考慮軸力項(xiàng)對(duì)弦桿位移的影響。根據(jù)虛力原理[4，5]，結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式為：

分求出上弦桿在沿y 向分布的均布力q1和沿x向分布的均布力q1-q2作用下中間鉸點(diǎn)C 的y 向位移ΔKF1和ΔKF2，其公式如下：

由于l2＞＞f2，故近似地取q1=2q2，代入式（2）中可得上弦桿的軸線方程為：

1.4 魚腹式桁架位移和內(nèi)力求解

將q1=2q2代入式（5）、式（6）中，可進(jìn)一步求得：

由此可知，當(dāng)魚腹式桁架弦桿的矢跨比越小，水壓力q1的x 向分量對(duì)結(jié)構(gòu)y 向位移的影響也越小。令f/l=1/10，則可求得ΔKF1/ΔKF2=2.44%。可見，在正常的矢跨比區(qū)間內(nèi)，q1的x 向分量對(duì)魚腹式桁架y 向位移的影響較小。

2 魚腹式桁架合理線形的有限元驗(yàn)證

2.1 ANSYS 有限元建模

由于上一節(jié)的理論推導(dǎo)工作是建立在部分假定和簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，難免會(huì)存在誤差。所以將采用ANSYS 有限元軟件對(duì)理論推導(dǎo)結(jié)果的合理性進(jìn)行驗(yàn)證。

采用ANSYS 軟件建立跨度l=22m，上下弦桿的矢高f=2m 的單榀魚腹式桁架。上下弦桿的線形分別按式（10）和式（3）的軸線方程來進(jìn)行建模。弦桿的截面尺寸為400×16，腹桿的截面尺寸為299×14，鋼材的鋼號(hào)為Q355。閘門結(jié)構(gòu)受上游水壓作用將產(chǎn)生彎矩、剪切、拉壓等內(nèi)力[4-6]，而BEAM188 單元是一個(gè)二節(jié)點(diǎn)的三維線性梁?jiǎn)卧猍7]，可以較好地模擬弦桿的受力狀態(tài)。

LINK8 單元是沿桿軸方向的拉壓?jiǎn)卧?，可以較好地模擬腹桿的受力狀態(tài)。故采用BEAM188 單元和LINK8 單元分別模擬魚腹式桁架的弦桿和腹桿。外部水壓力q1的大小為291.4kN/m。如此，就建成了受力簡(jiǎn)圖與圖1 基本相同的有限元模型，如圖5 所示。

圖5 魚腹式桁架有限元模型

2.2 有限元計(jì)算結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果對(duì)比

通過對(duì)模型的靜力分析得到桁架弦桿的軸力圖、剪力圖和彎矩圖如圖6～圖8 所示。由圖6～圖8 可知，上下弦桿的軸力較為均勻，剪力和彎矩相對(duì)較小。弦桿的剪力最大值156.92kN，僅為軸力最小值4210.80kN 的3.73%。上下弦桿桿端彎矩55.17kN·m，上弦桿的跨中彎矩為53.82kN·m，均較小。下弦桿的跨中彎矩為152.71kN·m，接近于弦桿彎矩的最大值，但相比于較大的軸力值，其偏心距e 僅為弦桿截面高度h 的8.66%。有限元計(jì)算結(jié)果中弦桿之所以會(huì)產(chǎn)生剪力和彎矩主要是由于實(shí)際模型中腹桿的內(nèi)力并非均布力，而是集中力。有限元計(jì)算結(jié)果表明，弦桿接近于軸心受力構(gòu)件，所以在理論推導(dǎo)中將上下弦桿簡(jiǎn)化為兩端和跨中鉸接的僅受軸向力的三鉸桿結(jié)構(gòu)具有一定的合理性。

圖6 魚腹式桁架弦桿軸力圖

圖7 魚腹式桁架弦桿剪力圖

圖8 魚腹式桁架弦桿彎矩圖

將魚腹式桁架有限元模型的腹桿軸力值按照與圖5 中相對(duì)應(yīng)的腹桿編號(hào)順序列于表1 中。由表1 可知，有限元模型中各腹桿的軸力大小非常接近，軸力平均值為309.23kN，與理論推導(dǎo)的腹桿軸力值320.57kN相差3.54%?？梢姡箺U軸力的有限元計(jì)算結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果較為吻合，所以在理論推導(dǎo)中將腹桿的集中力簡(jiǎn)化為均布力具有合理性。

表1 有限元模型的腹桿軸力kN

將有限元模型的弦桿軸力數(shù)據(jù)與理論推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表2 所示。由表2 中的數(shù)據(jù)對(duì)比可知，弦桿軸力的有限元計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的偏差不超過5.49%，且上下弦桿的軸力絕對(duì)值從支座向跨中呈現(xiàn)的變化趨勢(shì)與理論推導(dǎo)的結(jié)果相符。

表2 有限元計(jì)算與理論推導(dǎo)的弦桿軸力對(duì)比

通過上述有限元計(jì)算結(jié)果和理論推導(dǎo)結(jié)果的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)二者內(nèi)力的吻合度較好，產(chǎn)生少量?jī)?nèi)力偏差的原因主要是由于有限元模型中腹桿為集中力，而理論推導(dǎo)中為了形成導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的軸線方程，將該集中力簡(jiǎn)化為均布力，這導(dǎo)致二者在弦桿節(jié)間存在內(nèi)力偏差，但并不影響桁架整體的內(nèi)力分布狀態(tài)。所以我們選用式（3）和式（10）的作為弦桿的軸線方程，具備合理性。

3 結(jié)語

（1）以均布水壓力作用下的空腹魚腹式桁架為力學(xué)模型，在部分力學(xué)假定的基礎(chǔ)上進(jìn)行弦桿軸線方程理論推導(dǎo)，得出魚腹式桁架的上弦桿的軸線方程接近于橢圓方程，下弦桿的軸線方程接近于拋物線方程，軸線方程主要與魚腹式桁架的跨度l 和弦桿的矢高f 相關(guān)。

（2）根據(jù)理論推導(dǎo)出的弦桿軸線方程建立魚腹式桁架有限元模型并進(jìn)行內(nèi)力分析。分析結(jié)果表明，弦桿主要受軸力作用，其彎矩和剪力均較小，說明軸線方程接近于僅承受軸向力的合理?xiàng)U軸線。各腹桿的軸力值十分接近且與理論計(jì)算結(jié)果僅相差3.54%，所以理論推導(dǎo)中將弦桿視為三鉸桿的假定以及將腹桿集中力簡(jiǎn)化為均布力的假定是合理的。

（3）根據(jù)理論推導(dǎo)出的弦桿軸線方程所建立的魚腹式桁架有限元模型，其弦桿軸力值與理論推導(dǎo)的軸力值相近，差值不超過5.49%，且軸力沿弦桿的分布也與理論推導(dǎo)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)所得出的弦桿軸線方程的合理性與適用性。