肖 琴 羅 帆

（1.武漢工程大學(xué)管理學(xué)院 武漢 430205；2.武漢理工大學(xué)管理學(xué)院 武漢 430070）

0 引 言

兩棲水上飛機(jī)起降包括起飛和降落2個(gè)階段，其中起飛是指從地面或水面跑道滑行直至離開跑道并爬升至一定的高度；降落是從空中飛行狀態(tài)降低高度和速度，回到地面或水面的整個(gè)過程。兩棲水上飛機(jī)既能在陸地上起降，又能在水面上起降，其起降安全受到更多風(fēng)險(xiǎn)因素的影響，概括起來(lái)主要包括人員、設(shè)備設(shè)施、環(huán)境，以及管理4類風(fēng)險(xiǎn)因素，具體表現(xiàn)為飛行員水陸轉(zhuǎn)換操作失誤、管制員溝通協(xié)調(diào)失誤、場(chǎng)務(wù)保障人員工作疏忽、航空器故障、飛機(jī)配載失衡、氣象環(huán)境、水文條件、日常監(jiān)管機(jī)制不完善、水上機(jī)場(chǎng)管理不到位等33個(gè)因素項(xiàng)[1]。這些因素間存在復(fù)雜的相互作用關(guān)系，形成1個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[2]。因素間的作用路徑為風(fēng)險(xiǎn)在該網(wǎng)絡(luò)中的傳播提供了途徑，當(dāng)1個(gè)因素呈現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)后可能會(huì)通過相互作用將風(fēng)險(xiǎn)傳播給與其相連的風(fēng)險(xiǎn)因素，從而導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中傳播，進(jìn)而演變?yōu)槠鸾惦A段的不安全事件，最終影響通航產(chǎn)業(yè)發(fā)展進(jìn)程等“多米諾骨牌效應(yīng)”。本文所界定的水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)是指在起降階段不安全事件發(fā)生的可能性與嚴(yán)重性的組合。因此，研究水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播機(jī)理，可以為通航企業(yè)和政府監(jiān)管部門預(yù)防和管控飛行安全風(fēng)險(xiǎn)提供依據(jù)，促進(jìn)通航產(chǎn)業(yè)的健康發(fā)展。

目前，少數(shù)學(xué)者對(duì)水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了研究。翁建軍等[3-4]在對(duì)水上滑行和起降特點(diǎn)分析的基礎(chǔ)上，通過人機(jī)工程理論識(shí)別了水上飛機(jī)與船舶碰撞的風(fēng)險(xiǎn)因素并對(duì)因素間的相互作用進(jìn)行了分析，運(yùn)用集成決策實(shí)驗(yàn)室方法和解釋結(jié)構(gòu)模型法構(gòu)建了碰撞風(fēng)險(xiǎn)因素的多階梯結(jié)構(gòu)模型。翁建軍等[5]運(yùn)用元胞自動(dòng)機(jī)構(gòu)建了水上飛機(jī)與船舶港口異質(zhì)交通流模型，用于提高通航效率，降低水上飛機(jī)與船舶碰撞的風(fēng)險(xiǎn)。Guo等[6]對(duì)水上飛機(jī)的安全管理進(jìn)行了探討，開發(fā)了通用水上飛機(jī)模型，從人機(jī)環(huán)管4個(gè)方面構(gòu)建了水上飛機(jī)起降階段的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)體系。張攀科等[7]綜合運(yùn)用故障樹分析法和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)研究水上機(jī)場(chǎng)航道沖突風(fēng)險(xiǎn)機(jī)制。肖琴等[1]采用扎根理論全面識(shí)別了兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)因素并采用結(jié)構(gòu)方程模型探究了風(fēng)險(xiǎn)因素間的作用機(jī)理。Xiao等[8]采用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)對(duì)水上飛機(jī)的運(yùn)行安全風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了評(píng)價(jià)并識(shí)別了關(guān)鍵風(fēng)險(xiǎn)因素。由此可知，現(xiàn)有研究主要集中在風(fēng)險(xiǎn)因素識(shí)別、風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)體系構(gòu)建、風(fēng)險(xiǎn)因素作用機(jī)理探究等方面。在兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)中，風(fēng)險(xiǎn)能夠通過因素間的作用路徑相互傳播，符合傳染特性，而現(xiàn)有研究主要側(cè)重靜態(tài)研究，缺乏從動(dòng)態(tài)角度揭示兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播機(jī)制。

傳播動(dòng)力學(xué)是1種定量研究傳染病的理論方法，流行病傳播的數(shù)學(xué)模型能夠很好地描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播特性，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)。對(duì)傳播模型的探索可追溯到1760年Bernoulli對(duì)天花的分析。此后，科學(xué)家們便致力于建立流行病傳播的數(shù)學(xué)模型去研究各種流行疾病的傳播行為，其中最典型的是SI模型[9]、SIS模型[10]、SIR模型[11]、SEIR模型[12]。全球新冠疫情大爆發(fā)，使對(duì)傳染病模型的研究成為當(dāng)前熱點(diǎn)，各類改進(jìn)的傳染病模型[13]應(yīng)運(yùn)而生。隨著傳播動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，學(xué)者們對(duì)傳染病模型的研究逐漸從醫(yī)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)展到了突發(fā)事件[14]、輿情傳播[15-16]、民航安全[17-19]等領(lǐng)域。其中，唐辛欣等[19]構(gòu)建的機(jī)場(chǎng)飛行區(qū)人為風(fēng)險(xiǎn)傳染SEIRS模型對(duì)筆者開展研究具有借鑒意義。然而，現(xiàn)有關(guān)于傳染病模型的研究中，部分學(xué)者分別從潛伏期的傳染性和風(fēng)險(xiǎn)傳染的延遲性2個(gè)角度開展了研究，目前在航空安全領(lǐng)域尚未見同時(shí)將二者考慮進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)傳播模型的研究。

鑒于此，筆者將在水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播延遲效應(yīng)分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論、傳播動(dòng)力學(xué)理論及平均場(chǎng)理論，構(gòu)建無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播延遲模型（delay-susceptible-exposed-infected-removed，D-SEIRS），采用數(shù)值模擬仿真，分析傳播延遲時(shí)間和傳播率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)傳播行為及其演化的影響和作用機(jī)制，以期為通航企業(yè)及監(jiān)管部門制定水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)管控對(duì)策提供理論依據(jù)。

1 起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播延遲效應(yīng)分析

1.1 傳播效應(yīng)

本文所研究的水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（見圖1）直接參考筆者前期的研究成果，見文獻(xiàn)[2]，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)表示影響水上飛機(jī)起降的風(fēng)險(xiǎn)因素，見表1。兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)的演化具有顯著的生物傳染演化特征，風(fēng)險(xiǎn)因素之間的傳遞行為與病毒的擴(kuò)散行為相似。首先，傳染的環(huán)境相似，病毒是在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)其節(jié)點(diǎn)——“人”進(jìn)行傳播，傳播的途徑是人與人之間的交往，風(fēng)險(xiǎn)在起降安全風(fēng)險(xiǎn)演化網(wǎng)絡(luò)中通過節(jié)點(diǎn)——“風(fēng)險(xiǎn)因素”進(jìn)行傳播，傳播途徑為風(fēng)險(xiǎn)因素之間的相互作用關(guān)系。水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)中，人員因素的風(fēng)險(xiǎn)主要是通過飛行員、地勤服務(wù)人員、管制員等人員之間信息交流、情緒感染等方式進(jìn)行傳播，除人員因素外，設(shè)備設(shè)施因素、環(huán)境因素及管理因素的各種不安全狀態(tài)均會(huì)影響上述人員的不安全行為，進(jìn)而導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)傳遞，且這三者間的風(fēng)險(xiǎn)因素在相互作用的過程中，可能會(huì)使原本處于穩(wěn)定狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)，成為潛在風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)或風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)的節(jié)點(diǎn)。其次，傳播的過程相似，病毒的傳播通過病毒體向與之相鄰的人進(jìn)行傳播，鄰居節(jié)點(diǎn)再繼續(xù)向其鄰居節(jié)點(diǎn)傳播，不會(huì)跨節(jié)點(diǎn)進(jìn)行傳播，風(fēng)險(xiǎn)的傳播也是在初始事件產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)后向其鄰居風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行傳播，通過這種陸續(xù)的影響最終導(dǎo)致起降安全風(fēng)險(xiǎn)突變。最后，傳播的結(jié)果相似，二者均可能會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)崩潰，或者通過一定的措施使系統(tǒng)恢復(fù)正常狀態(tài)。由此可知，起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播特性和演化規(guī)律與病毒在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)上的擴(kuò)散具有相似性，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播模型適用于分析兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)演化。

圖1 水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.2 Topological structure diagram of scale-free network for seaplane take-off and landing safety risk

表1 水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)定義Tab.1 Definition of network nodes for seaplane takeoff and landing safety risk

1.2 延遲效應(yīng)

當(dāng)兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播網(wǎng)絡(luò)中某個(gè)或某些節(jié)點(diǎn)發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)后，由于未達(dá)到其鄰居節(jié)點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)警戒線的閾值或者通航企業(yè)對(duì)這些節(jié)點(diǎn)采取臨時(shí)控制措施使其被掩蓋，通過一段時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)積累后，起降風(fēng)險(xiǎn)會(huì)出現(xiàn)突變。即某些節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)后不會(huì)直接表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)的特征，也不會(huì)直接導(dǎo)致其他節(jié)點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)的突變，而是通過不斷地積累導(dǎo)致起降安全風(fēng)險(xiǎn)的傳播作用。如當(dāng)培訓(xùn)不足時(shí)，會(huì)導(dǎo)致飛行員技能不成熟，在短期內(nèi)的飛行過程中，當(dāng)其他飛行條件均較好的情況下，飛行員的操作失誤可能不會(huì)導(dǎo)致起降安全風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生，但是隨著時(shí)間的推移，飛行員錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)的積累，會(huì)在某一時(shí)刻直接導(dǎo)致起降安全風(fēng)險(xiǎn)從穩(wěn)定狀態(tài)到不穩(wěn)定狀態(tài)的突變，進(jìn)入導(dǎo)致兩棲水上飛機(jī)起降安全事故的產(chǎn)生。鑒于此，筆者提出起降安全風(fēng)險(xiǎn)延遲效應(yīng)，即風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)的時(shí)間被延緩而不是風(fēng)險(xiǎn)被有效治愈。風(fēng)險(xiǎn)延遲增加了風(fēng)險(xiǎn)治理的時(shí)間，然而針對(duì)是否延遲的時(shí)間越長(zhǎng)越有助于控制風(fēng)險(xiǎn)傳播這一問題仍有待探討。

綜上所述，兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)除具有一般傳染病的傳染性外，還具有傳播的延遲性，適合運(yùn)用D-SEIRS傳染病模型開展研究。

2 起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播的D-SEIRS模型

2.1 模型假設(shè)

根據(jù)傳染病傳播原理及無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦?，?duì)本文作出如下假設(shè)。

假設(shè)1。兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分為易感染類S、潛伏類E、感染類I、免疫類R這4類，將S k(t)，E k(t)，I k(t)，Rk(t)表示為t時(shí)刻度為k的節(jié)點(diǎn)中4類個(gè)體的密度，且滿足S k(t)+E k(t)+I k(t)+Rk(t)=1和0≤S k(t)，E k(t)，I k(t)，R k(t)≤1。

易感染類節(jié)點(diǎn)是指水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)中容易受到內(nèi)外部不確定因素影響的節(jié)點(diǎn)；潛伏類節(jié)點(diǎn)是指受到與之相連感染類節(jié)點(diǎn)的影響，已經(jīng)具有一定的風(fēng)險(xiǎn)但未突破風(fēng)險(xiǎn)閾值的節(jié)點(diǎn)；感染類節(jié)點(diǎn)是指網(wǎng)絡(luò)中因受到內(nèi)外部因素影響，其風(fēng)險(xiǎn)水平超出風(fēng)險(xiǎn)閾值呈現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)；免疫類節(jié)點(diǎn)是指企業(yè)采取相應(yīng)的手段使風(fēng)險(xiǎn)得以被控制具有一定免疫能力的節(jié)點(diǎn)，但該類節(jié)點(diǎn)并不是一直具有抵抗能力仍可能因受到外界影響而變?yōu)橐赘腥绢悺?/p>

假設(shè)2。α，β，γ，δ，μ分別為易感狀態(tài)轉(zhuǎn)化為潛伏狀態(tài)的概率、潛伏狀態(tài)轉(zhuǎn)化為感染狀態(tài)的概率、感染狀態(tài)轉(zhuǎn)化為免疫狀態(tài)的概率、免疫狀態(tài)變?yōu)橐赘袪顟B(tài)的概率、感染狀態(tài)自愈為易感狀態(tài)的概率，且上述參數(shù)均是在0-1之間的常數(shù)；

假設(shè)3。ρ1和ρ2分別為潛伏類節(jié)點(diǎn)和感染類節(jié)點(diǎn)的傳播率，Θ1(t)和Θ2(t)分別為在t時(shí)刻易感染節(jié)點(diǎn)與潛伏類節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)概率和易感染節(jié)點(diǎn)與感染類節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)概率，且上述參數(shù)的取值均在0-1之間；

假設(shè)4。T為兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)傳播的延遲時(shí)間，且假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中潛伏類節(jié)點(diǎn)和感染類節(jié)點(diǎn)的傳播延遲時(shí)間相同。

2.2 D-SEIRS模型構(gòu)建

水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播SEIRS過程見圖2。

圖2 SEIRS模型傳播過程Fig.2 The risk propagation process of SEIRS model

水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)中，有些風(fēng)險(xiǎn)因素的影響作用大，與很多因素有聯(lián)系，而有些因素只與少數(shù)因素相連，這說明兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度的特性。因此，筆者將對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播模型進(jìn)行研究。結(jié)合前文對(duì)兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播效應(yīng)和延遲效應(yīng)的分析及模型假設(shè)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論構(gòu)建水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播延遲模型微分方程組，見式（1）。

式中：E k，τ(t)和I k，τ(t)分別為度為k的潛伏節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)在t-τ時(shí)刻的密度，且滿足，。令式（1）的右邊等于零可知，Ek，0=E k，1=…=E k，T，I k，0=I k，1=…=I k，T，令ρ=ρ1Θ1(t)+ρ2Θ2(t)，將式（1）化簡(jiǎn)為

3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)密度分析

3.1 模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

3.1.1 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

令式（2）的右邊等于零，結(jié)合S k(t)+Ek(t)+I k(t)+Rk(t)=1，計(jì)算可得到感染類節(jié)點(diǎn)的密度I k(t)，進(jìn)而可得

由此可知，式（3）存在1個(gè)平凡解ρ=0，即無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的平衡點(diǎn)S k=1，Ek=I k=R k=0。令f(ρ)=ρ，將f(ρ)對(duì)ρ求導(dǎo)可知，f'(ρ)>0且f''(ρ)<0，f(ρ)單調(diào)遞增，因此只有當(dāng)f'(ρ)|ρ=0≥1時(shí)，式（3）才存在非平凡 解，此 時(shí) 的 臨 界 條 件 為f'(ρ)|ρ=0=1，令，則R為基本再生數(shù)。

當(dāng)R<1時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)不會(huì)擴(kuò)散，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避平衡點(diǎn)(E，I，R)=(0，0，0)處的Jacobi矩陣為

3.1.2 風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析

將基本再生數(shù)R代入到ρ*的表達(dá)式中得到。此時(shí)地方病平衡點(diǎn)(E，I，R)=(E*，I*，R*)處的Jacobi矩陣為

該矩陣的特征方程為x3+a1x2+a2x+a3=0，其中

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知，所有特征根均具有負(fù)實(shí)部。因此，系統(tǒng)平衡點(diǎn)(S*，E*，I*，R*)局部漸近穩(wěn)定。

綜上所述，當(dāng)R<1時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)消失，模型存在風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避平衡點(diǎn)(1，0，0，0)，且該平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)R>1時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)過一定的控制后處于穩(wěn)定，存在唯一的風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)平衡點(diǎn)(S*，E*，I*，R*)，且該平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

3.2 模型的穩(wěn)態(tài)密度分析

在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)的平均度和度分布滿足

式中：m為網(wǎng)絡(luò)中最小連接邊數(shù)，將式（4）代入式（3）中，并將其對(duì)k求積分得

由此可知，I為感染節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度，根據(jù)式（6）可分別求出易感染節(jié)點(diǎn)、潛伏節(jié)點(diǎn)及免疫節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度，見式（7）。

4 數(shù)值仿真

4.1 模型初始參數(shù)設(shè)定

由于兩棲水上飛機(jī)業(yè)務(wù)在我國(guó)仍處于起步階段，為了保障安全，相關(guān)部門對(duì)兩棲水上飛機(jī)的起降提出了較嚴(yán)格的規(guī)定，在一定程度上降低了風(fēng)險(xiǎn)因素的產(chǎn)生，因此α的值較小；影響兩棲水上飛機(jī)起降安全的風(fēng)險(xiǎn)因素均具有一定的風(fēng)險(xiǎn)閾值并不立刻變?yōu)楦腥疽蛩囟鴷?huì)存在一定的潛伏期，變?yōu)闈摲陲L(fēng)險(xiǎn)因素更容易轉(zhuǎn)換了感染狀態(tài)的風(fēng)險(xiǎn)因素，據(jù)此設(shè)置了β的值；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)后會(huì)導(dǎo)致起降不安全事件產(chǎn)生，相關(guān)部門會(huì)加強(qiáng)對(duì)不安全事件的重視，總結(jié)及完善相關(guān)應(yīng)急預(yù)案和監(jiān)管措施，避免相同的不安全事件再次發(fā)生，在二次感染時(shí)能迅速做出反應(yīng)，因此γ的值較大；由于風(fēng)險(xiǎn)因素成為感染節(jié)點(diǎn)后，在沒有外界手段控制的情況下會(huì)隨著外界環(huán)境的變化繼續(xù)惡化，只有少數(shù)風(fēng)險(xiǎn)因素會(huì)自愈為易感染狀態(tài)，因此該值較小；由于兩棲水上飛機(jī)的起降過程暴露在多變且復(fù)雜的環(huán)境之下，加上風(fēng)險(xiǎn)因素會(huì)出現(xiàn)變異，因此將δ的值定的較高。基于上述實(shí)際情況結(jié)合專家意見，將上述參數(shù)賦值為：α=0.3，β=0.4，γ=0.8，μ=0.2，δ=0.4。

4.2 D-SEIRS模型的動(dòng)態(tài)仿真分析

4.2.1 延遲時(shí)間對(duì)傳播閾值的影響

4.2.2 延遲時(shí)間對(duì)傳播行為的影響

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=1 000時(shí)，在沒有延遲的情況下，網(wǎng)絡(luò)的傳播閾值最大λcmax=0.096 5，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)的有效傳播率λ=0.75ρ1+0.3ρ2。在其他參數(shù)均確定的情況下，分別取ρ1=0.01，ρ2=0.02和ρ1=0.2，ρ2=0.4，以便分析初始時(shí)刻λ<λcmax和λ>λcmax即R<1和R>1情形下，穩(wěn)態(tài)密度與延遲時(shí)間T的關(guān)系，見圖3。

圖3（a）分析當(dāng)ρ1=0.01，ρ2=0.02，即初始的有效傳播率小于傳播閾值時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)密度隨著延遲時(shí)間的變化情況。初始時(shí)刻（傳播延遲時(shí)間為零）網(wǎng)絡(luò)中易感染節(jié)點(diǎn)的密度為1，潛伏類、感染類及免疫類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度為0。隨著傳播延遲時(shí)間的增加，風(fēng)險(xiǎn)的傳播閾值逐漸下降，從左邊的圖可知當(dāng)延遲時(shí)間小于6時(shí)，由于風(fēng)險(xiǎn)的有效傳播率一直小于傳播閾值即R<1，因此各類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度并未發(fā)生變化，一直保持為(S，E，I，R)=(1，0，0，0)的平衡狀態(tài)；當(dāng)延遲時(shí)間大于6時(shí)，由于風(fēng)險(xiǎn)的有效傳播率大于傳播閾值即R>1，風(fēng)險(xiǎn)會(huì)爆發(fā)并最終達(dá)到平衡點(diǎn)，因此易感染節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度迅速下降，當(dāng)延遲時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，其密度會(huì)降為0，潛伏類節(jié)點(diǎn)和感染類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)最終會(huì)趨于平衡且潛伏類節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度接近0.7、感染類節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度接近0.3，免疫類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度變化幅度較小但是總體呈現(xiàn)出了先增加后減少直至為0的趨勢(shì)，這表明當(dāng)延遲時(shí)間大于6時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)在網(wǎng)絡(luò)中爆發(fā)，此時(shí)通航企業(yè)采取的臨時(shí)性措施會(huì)使部分感染類因素變?yōu)橐赘腥绢愐蛩剡M(jìn)而轉(zhuǎn)化為潛伏類節(jié)點(diǎn)。因此，網(wǎng)絡(luò)最后趨于平衡時(shí)，潛伏類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度最大。

圖3 不同傳播率組合下延遲時(shí)間對(duì)穩(wěn)態(tài)密度的影響Fig.3 The effect of delay time on steady-state density

圖3（b）分析當(dāng)ρ1=0.2，ρ2=0.4，即網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)的初始有效傳播率大于傳播閾值即R>1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)密度隨傳播延遲時(shí)間的變化情況。由圖3（b）可知，在初始時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中4類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度分別近似于0.58，0.19，0.08，0.15，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)延遲效應(yīng)出現(xiàn)時(shí)，不管延遲時(shí)間的長(zhǎng)短風(fēng)險(xiǎn)均會(huì)在網(wǎng)絡(luò)中傳播，導(dǎo)致易感染節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度快速下降直至為0，潛伏節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度增加分別趨于0.7和0.3，免疫類節(jié)點(diǎn)緩慢增加后迅速降低至0。

綜上可知，當(dāng)有效傳播率小于傳播閾值，即基本再生數(shù)小于1時(shí)，需要較長(zhǎng)的傳播延遲時(shí)間才能使各類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度從風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避平衡點(diǎn)變化到風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)平衡點(diǎn)；而當(dāng)有效傳播率大于傳播閾值，即基本再生數(shù)大于1時(shí)，即使沒有傳播延遲風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)在網(wǎng)絡(luò)中爆發(fā)并最終達(dá)到平衡狀態(tài)，傳播延遲會(huì)加快達(dá)到平衡的速度，因此只需要較短的延遲時(shí)間即可達(dá)到平衡狀態(tài)。這表明傳播延遲會(huì)觸發(fā)風(fēng)險(xiǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，加快網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)平衡狀態(tài)的出現(xiàn)。潛伏節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)傳播率的不同取值會(huì)對(duì)初始時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)密度產(chǎn)生影響并不會(huì)影響最終達(dá)到平衡狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)密度的值。該結(jié)果為制定兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播控制策略提供了理論指導(dǎo)。

4.2.3 傳播率對(duì)傳播行為的影響

為了分析感染節(jié)點(diǎn)、潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度與ρ1，ρ2共同的變化關(guān)系，本文假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)傳播的延遲時(shí)間T=5，采用MATLAB模擬分析感染節(jié)點(diǎn)、潛伏節(jié)點(diǎn)隨ρ1，ρ2的變化趨勢(shì)，具體結(jié)果見圖4。

圖4 傳播率ρ1，ρ2對(duì)節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度的影響Fig.4 The influence of the infection rateρ1，ρ2 on the steady-state density of nodes

由圖4可知，當(dāng)ρ1，ρ2取值較小接近零時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度沒有明顯變化，因?yàn)榇藭r(shí)的延遲時(shí)間是固定的也就預(yù)示著風(fēng)險(xiǎn)傳播閾值一定，ρ1，ρ2取值較小使得有有效傳播率的值較小且低于傳播閾值，所以此時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)不能在網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散，感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度會(huì)保持為0，隨著ρ1，ρ2的增加，有效傳播率逐漸增大直至大于傳播閾值，穩(wěn)態(tài)密度呈現(xiàn)出快速增長(zhǎng)趨勢(shì)；感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度對(duì)ρ1的邊際變化量大于對(duì)ρ2的邊際變化量，即感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度對(duì)ρ1更敏感，出現(xiàn)這種結(jié)果的原因是在有效傳播率的表達(dá)式中ρ1對(duì)傳播率的影響更大。

為了進(jìn)一步探究感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度隨ρ1，ρ2和T的變化關(guān)系，取延遲時(shí)間T=0，5，10時(shí)，分別分析固定ρ1=0.01，感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密隨ρ2的變化規(guī)律；固定ρ2=0.02，感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密隨ρ1的變化規(guī)律。具體分析結(jié)果見圖5～6。

圖5 固定ρ1=0.01，ρ2對(duì)感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密的影響Fig.5 The effect ofρ2 on the steady-state density of infected nodes and latent nodes whenρ1=0.01

由圖5～6可知，當(dāng)ρ1固定時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度隨ρ2的增加而增加，當(dāng)ρ2固定時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度隨ρ1的增加而增加；風(fēng)險(xiǎn)延遲加快了風(fēng)險(xiǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，使感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度增大；風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)平衡點(diǎn)處潛伏節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度大于感染節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度。對(duì)比圖5和圖6可知，固定ρ2得到的感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)平衡狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)密度大于固定ρ1結(jié)果，這說明ρ1的增加更易導(dǎo)致水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)。

圖6 固定ρ2=0.02，ρ1對(duì)感染節(jié)點(diǎn)和潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密的影響Fig.6 The effect ofρ1 on the steady-state density of infected nodes and latent nodes whenρ2=0.02

綜上可知，感染狀態(tài)和潛伏狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度均隨著ρ1，ρ2的增加而增加，當(dāng)ρ1，ρ2其中1個(gè)固定時(shí)，另1個(gè)取值的增加也會(huì)帶來(lái)穩(wěn)態(tài)密度的增加，然而效果均沒有二者同時(shí)增加的效果顯著，且潛伏節(jié)點(diǎn)的增長(zhǎng)趨勢(shì)快于感染節(jié)點(diǎn)，潛伏節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度的最大值大于感染節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度。這說明在兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)中處于潛伏狀態(tài)的風(fēng)險(xiǎn)因素的傳染性在整個(gè)風(fēng)險(xiǎn)擴(kuò)散的過程中起著重要的作用，且傳播延遲會(huì)加快網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)的傳播。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和平均場(chǎng)理論，同時(shí)考慮傳播延遲性和潛伏節(jié)點(diǎn)的傳播性，構(gòu)建了兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)傳播的D-SEIRS模型，為風(fēng)險(xiǎn)傳播模型研究提供了新視角。

穩(wěn)定性分析的結(jié)果顯示，當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)存在風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避平衡點(diǎn)，且該平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定，當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，模型存在風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)平衡點(diǎn)，且該平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定；對(duì)穩(wěn)態(tài)密度的求解結(jié)果可知，當(dāng)參數(shù)一定時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中各類節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度均與傳染率ρ1，ρ2及延遲時(shí)間有關(guān)。數(shù)值仿真的結(jié)果顯示，在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，風(fēng)險(xiǎn)會(huì)一直存在，風(fēng)險(xiǎn)傳播延遲會(huì)減小網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)傳播閾值，加快風(fēng)險(xiǎn)的擴(kuò)散；網(wǎng)絡(luò)中感染風(fēng)險(xiǎn)節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)密度隨有效傳播率和傳播延遲時(shí)間的增加而增加；傳播延遲會(huì)觸發(fā)風(fēng)險(xiǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，加快網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)平衡狀態(tài)的出現(xiàn)；潛伏節(jié)點(diǎn)的傳播率和感染節(jié)點(diǎn)傳播率均會(huì)導(dǎo)致感染節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)密度的增加，且潛伏節(jié)點(diǎn)傳播率的影響更大。

研究結(jié)果與航空運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)傳播存在較大差異，即兩棲水上飛機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)傳播速度和穩(wěn)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)密度均顯著大于航空運(yùn)輸[18]。出現(xiàn)這一差異的主要原因是航空運(yùn)輸?shù)钠鸾挡僮骰蚍绞较鄬?duì)單一，且相關(guān)培訓(xùn)豐富、技能比較成熟，因此相關(guān)因素間的影響及風(fēng)險(xiǎn)水平處于相對(duì)較低的水平，然而民用兩棲水上飛機(jī)是相對(duì)較新的領(lǐng)域，既可以在陸上起降又可以在水面起降，起降操作程序復(fù)雜，且相關(guān)的專業(yè)人員短缺，導(dǎo)致兩棲水上飛機(jī)起降的安全風(fēng)險(xiǎn)較大。因此，通航企業(yè)在制定兩棲水上飛機(jī)起降安全風(fēng)險(xiǎn)控制方案時(shí)，除了要重視潛伏節(jié)點(diǎn)的傳染性以及風(fēng)險(xiǎn)傳播的延遲性外，還應(yīng)注重兩棲水上飛機(jī)專業(yè)人才的培養(yǎng)。