□文/冼佩君

（廣州大學經(jīng)濟與統(tǒng)計學院 廣東·廣州）

［提要］本文以上海期貨交易所銅期貨為例，運用Vasicek模型與CIR模型對其進行定價比較。首先使用歷史數(shù)據(jù)分別對兩模型的參數(shù)進行估計，然后利用期貨定價公式對未來22個交易日的期貨價格進行預測。結果表明：在短期價格預測方面，Vasicek模型比CIR模型要好。

隨著我國經(jīng)濟發(fā)展，期貨作為一個新的投資工具越來越受到人們的關注，因此對期貨的價格研究有著非常重要的現(xiàn)實意義，期貨價格的形成以及對未來期貨價格的預測成為一個重要的研究方向，學者們對其進行了廣泛而深度的研究。Cheng Yong Tang和Song Xi Chen研究了用于建立包括利率在內(nèi)的金融證券動態(tài)模型的連續(xù)時間擴散過程的參數(shù)估計問題。張錦、馬曄華提到了期貨價格過程服從Vasicek模型形式的隨機微分方程，并對滬深300股指期貨定價進行了實證研究。賀凱研究了期貨價格滿足Vasicek隨機模型，并通過模型的顯示解得到未來每個時刻期貨價格的期望值。林建華、王福昌、馮敬海建立了股價波動的指數(shù)OU過程模型。吳沖鋒、王海成、吳文峰應用簡單回歸方法，利用我國數(shù)據(jù)對模型進行了參數(shù)估計。謝赤、吳雄偉引進廣義矩估計法對Vasicek和CIR模型進行參數(shù)估計，得出的結果是Vasicek模型較CIR模型能更好地解釋中國貨幣市場利率行為特點。潘冠中、邵斌指出在對利率模型進行適當?shù)碾x散化后，運用極大似然估計方法進行參數(shù)估計優(yōu)于廣義矩估計法。本文運用Vasicek模型和CIR模型對銅期貨進行研究。

一、模型與參數(shù)估計

（一）Vasicek模型。Vasicek模型是指狀態(tài)變量Xt滿足以下隨機微分方程：

dXt=κ（α-Xt）dt+σdWt

其中，κ、α、σ皆為常數(shù)。它又被稱為OU過程，是由物理學家Ornstein和Uhlenbeck于1930年提出的，在1977年被Vasicek應用在金融中描述瞬時利率的動態(tài)變化。

為了進行參數(shù)估計，需導出Xt的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)。根據(jù)文獻給出的方法，首先需要對Xt做一個變換，令Yt=eκtXt，然后對Yt運用伊藤引理，可以得到：

對（1）式兩邊同時進行積分并整理后可以得到Xt的解：

于是就可以很方便地使用MLE來估計Vasicek模型的參數(shù)。

（二）CIR模型。Cox、Ingersoll和Ross在一般均衡的框架下導出瞬時利率滿足以下隨機微分方程，因此金融文獻中往往也把它稱為CIR模型。

與Vasicek模型類似，當κ＞0時，CIR模型同樣具有均值回復性質(zhì)。而與Vasicek模型不同的是，CIR模型是一個取值非負的隨機過程，0是它的反射邊界。根據(jù)文獻給出的方法，可以得到CIR模型的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)：

需要特別指出的是，CIR模型的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)中包含有第一類貝塞爾函數(shù)Iq（·），導致θ=（α，κ，σ2）的極大似然估計的解析式無法從它的對數(shù)似然方程得到。文獻考慮由Nowman提出的利用擬極大似然估計的方法來估計CIR模型，這樣就可以避免近似計算貝塞爾函數(shù)。記：

二、實證分析

（一）銅期貨發(fā)展狀況。目前，開展銅期貨交易的交易所主要有倫敦金屬交易所（LME）、上海期貨交易所（SHFE）、CME集團下屬的紐約商品交易所（COMEX）和印度多種商品交易所（MCX）。2020年，我國銅期貨成交量5，716.42萬手，同比增長56.53%，成交金額14.13萬億元，同比增長61.99%；年末持倉量31.48萬手，與2019年年末持倉量持平。其中，成交量最高為12月的709.44萬手，最低為1月的225.76萬手；月末持倉最大的為2月的36.89萬手，最小的為1月的27.10萬手。

2020年，銅期貨總交割量95，225手，折合47.61萬噸，同比增長24.00%，交割金額219.60億元，同比增長18.66%。其中，3月交割量最大，為22，825手（折合11.41萬噸）；11月交割量最低，為1，440手（折合0.72萬噸）。

從2020年5月初到2021年4月底近一年的數(shù)據(jù)分析來看，上海銅期貨價格與國內(nèi)銅現(xiàn)貨價格保持高度一致，相關系數(shù)為0.999，價格聯(lián)動高度緊密。經(jīng)過多年穩(wěn)健發(fā)展，上海期貨交易所銅期貨價格作為國內(nèi)現(xiàn)貨市場的基準定價的地位日益鞏固。上海銅期貨價格與國際銅價走勢一致，與LME連續(xù)價格相關度為0.993，國際市場和國內(nèi)市場價格相互引導。

（二）數(shù)據(jù)的選取。通常情況下，商品期貨流通量大，基本上參與者大都是價格的接受者，接近于完全競爭市場，有利于利用數(shù)據(jù)對價格進行預測。在期貨交易軟件上，時間分為月、周、日、鐘。對于選取數(shù)據(jù)而言，太短的周期具有比較強的突發(fā)性，不適合作為被選對象；而周期太長則會忽略掉很多中間的突變因素，同樣也不適合作為被選對象。文章選擇周期較為適中的日數(shù)據(jù)，以上海期貨交易所的銅期貨作為研究對象，主要包括以下品種：cu2109、cu2111、cu2201，由于篇幅有限其余品種暫不做研究。文章選取了上述3個品種的銅期貨自上市日至2021年8月31日期間的每日結算價作為對應期貨資產(chǎn)的市場價格，其中cu2109、cu2111、cu2201分別有233、195、152個數(shù)據(jù)。在上述數(shù)據(jù)中，采用其上市日至2021年07月31日的數(shù)據(jù)來校準定價模型和進行相關參數(shù)估計。

而CIR模型由于沒有具體可行的顯式解，則以（3）式E［Xt|X0］作為Xt的估計，即：

兩模型具體數(shù)據(jù)的參數(shù)估計結果，如表1所示。（表1）

表1 Vasicek模型與CIR模型參數(shù)估計結果一覽表

采用2021年8月1日至2021年8月31日的數(shù)據(jù)來比較模型定價精確率和誤差，文章對上述兩種模型的定價效率采用預測精度比較中的相對誤差和平均相對誤差絕對值作為衡量指標。相對誤差是指預測值與真實值的差值在真實值中的占比，表示為為預測值，Xt為真實值。平均相對誤差絕對值則是將相對誤差取絕對值后再求其平均值的指標，表示為為了方便陳述，在下文中將利用Vasicek模型預測所得到的價格稱為Vasicek價格，而利用CIR模型預測所得到的價格稱為CIR價格。由于文章篇幅有限，僅展示8月第1、第6、第11、第16、第21個交易日的定價比較結果。

從表2可以看到，在5個不同的日期中，針對3個不同品種的銅期貨cu2109、cu2111、cu2201利用Vasicek模型和CIR模型定價后，通過比較相對誤差的數(shù)值能夠發(fā)現(xiàn)Vasicek模型的定價相對誤差基本優(yōu)于CIR模型的定價誤差，在此可初步判斷，對于銅期貨而言Vasicek模型的定價效率相對較優(yōu)。（表2）

表2 銅期貨Vasicek模型和CIR模型定價比較一覽表

緊接著根據(jù)預測的8月22個交易日的平均相對誤差絕對值來對比兩模型的定價效率。從表3整體來看，Vasicek模型的定價誤差皆小于CIR模型的定價誤差，利用Vasicek模型對銅期貨進行定價更吻合市場實際情況。（表3）

表3 銅期貨Vasicek模型和CIR模型定價平均相對誤差絕對值比較一覽表

三、結論

結合前文可以得出以下結論：（1）對于銅期貨的價格預測，無論是從相對誤差角度還是從平均相對誤差絕對值角度出發(fā)，Vasicek模型的定價效率都要稍優(yōu)于CIR模型；（2）無論是Vasicek模型還是CIR模型，它們對銅期貨的價格預測都呈現(xiàn)出稍高估的現(xiàn)象，即從未來22個交易日的預測情況來看，兩模型的預測價格皆比銅期貨的真實價格要稍高；（3）雖CIR模型的預測效果不如Vasicek模型的好，但我們可以看到CIR模型的預測誤差也在可接受的范圍內(nèi)，不過CIR模型的參數(shù)估計相對復雜，故對銅期貨的價格預測還是建議采用Vasicek模型。至此，銅期貨市場的各方參與者都可以充分利用銅期貨市場的價格信號作用，把銅期貨價格作為未來銅現(xiàn)貨價格的重要參考指標，來實施具體的生產(chǎn)計劃、儲存、貿(mào)易活動以及消費決策或者實現(xiàn)經(jīng)營業(yè)績和經(jīng)濟效益。