李生，汪志強，殷洪

1 海軍駐武漢地區(qū)第三軍事代表室，湖北 武漢 430205

2 武漢第二船舶設(shè)計研究所，湖北 武漢 430205

0 引 言

加筋圓柱殼廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶與海洋工程等領(lǐng)域，潛艇的主體也采用環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)。為了使?jié)撏A柱殼結(jié)構(gòu)性能更好，通常會基于相關(guān)設(shè)計規(guī)范[1]對潛艇圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。

針對上述問題，國內(nèi)有學(xué)者對圓柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行了相關(guān)研究。例如：丁海旭等[2]采用逼近目標(biāo)規(guī)劃（approximate goal programming）模型對圓柱殼進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明肋骨應(yīng)力易達(dá)到許用值標(biāo)準(zhǔn)，而其它屬性相對于許用值仍有較大的裕度，并指出規(guī)范應(yīng)放寬肋骨的許用值標(biāo)準(zhǔn)；李學(xué)斌[3]采用分支定界法(branch-and-bound method)對圓柱殼的重量進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果及更多算例都表明肋骨約束為主要設(shè)計約束；潘治等[4]采用多島遺傳算法（multi-island genetic algorithm,MIGA）對圓柱殼的重量進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，結(jié)果表明，設(shè)計約束條件為強度、穩(wěn)性和頻率約束，且對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析還發(fā)現(xiàn)，肋骨的應(yīng)力已非常接近于許用值，而其它指標(biāo)仍有一定的儲備?？梢?，上述研究均得出了肋骨許用應(yīng)力是圓柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的主要約束條件，也指出了應(yīng)放寬肋骨許用應(yīng)力的觀點，但尚未深入分析不同肋骨許用應(yīng)力對圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計的影響，鑒此，本文將建立基于綜合裕度（加權(quán)和法）（weighted-sum method）的環(huán)肋圓柱殼多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用寬容度排序法（tolerance ranking method）對模型進(jìn)行優(yōu)化求解，分別討論肋骨許用應(yīng)力對結(jié)構(gòu)和寬容度（裕度）排序法中各屬性裕度對優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 理論分析

1.1 強度和穩(wěn)性分析

圖1所示為潛艇的典型艙段。圖中，L為艙段長度，l為肋骨間距，h為殼板厚度，R為圓柱殼中面半徑，e為肋骨對殼板中面偏心距，坐標(biāo)x，z，θ分別表示圓柱殼的軸向、徑向和周向。

圖1 典型艙段的環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of ring-stiffened cylindrical shell structure for a typical compartment

式中：p為計算深度處的靜水壓力；系數(shù)K1，K20，Kl以及其它輔助函數(shù)詳見文獻(xiàn)[5]。

在靜水壓力下，若圓柱殼肋骨的剛度超過其臨界剛度，肋骨間的殼板首先失穩(wěn)。式（2）為局部殼板失穩(wěn)的理論臨界載荷pE的計算公式[5]。

式中：m為失穩(wěn)時軸線方向的半波數(shù)；I為計及帶板的肋骨慣性矩； λ′=πR/L。

對計算的局部殼板失穩(wěn)壓力和整體殼板失穩(wěn)壓力的理論臨界值分別進(jìn)行修正，如下所示。

式中：Cg,Cg′分別為圓柱殼局部板殼失穩(wěn)及整體失穩(wěn)時的幾何非線性修正系數(shù)；Cs,Cs′分別為圓柱殼局部板殼失穩(wěn)及整體失穩(wěn)時的材料物理非線性修正系數(shù)。計算過程中，需要使用設(shè)計圖譜，故本文采用了一維三次樣條插值法進(jìn)行求解。

對于圓柱殼結(jié)構(gòu)重量，計算公式如下：

式中：M1，M2分別為圓柱殼重量和肋骨重量；ρ為殼板材料密度；ρ1為肋骨單位長度的重量；N為肋骨數(shù)量，肋骨為外肋布置；R+e為肋骨的中性軸半徑。

按照GJB/Z 21-91《潛艇結(jié)構(gòu)設(shè)計計算方法》[1]規(guī)范要求，校核3個應(yīng)力和2個臨界失穩(wěn)壓力的標(biāo)準(zhǔn)，如式(6)所示。

式中，σs為材料屈服極限值。

1.2 基于綜合裕度的多目標(biāo)優(yōu)化模型

文獻(xiàn)[3]將屬性計算值相對于許用值裕度與許用值間的比值稱為屬性裕度。因此，將3個應(yīng)力裕度經(jīng)加權(quán)合成為綜合應(yīng)力裕度g1，具體如下：

式 中：w1,w2,w3為 應(yīng) 力 裕 度 加 權(quán) 系 數(shù)，w1+w2+w3=1。

對于局部和整體殼板失穩(wěn)壓力這2個臨界載荷，經(jīng)裕度加權(quán)合成為綜合臨界載荷裕度，即

式中：u1,u2為 臨界載荷裕度加權(quán)系數(shù)，u1+u2=1。

通過對圓柱殼各屬性裕度（包括3個應(yīng)力屬性裕度和2個臨界載荷屬性裕度）進(jìn)行約束，使各屬性裕度之間更均勻，則有：

式中，a,b,c,d,f為各屬性裕度約束的上限，其值根據(jù)可行解空間內(nèi)各屬性的統(tǒng)計特性來確定。

本文采用信息熵法（information entropy method）計算各屬性裕度的權(quán)重。信息熵方法是一種客觀賦權(quán)法，根據(jù)指標(biāo)提供信息量的大小來確定指標(biāo)的權(quán)值[6]，信息熵法所需的決策矩陣用全因子試驗設(shè)計法(full factorial experimental design)獲取。全因子試驗設(shè)計方法指全部因子的所有水平的所有組合都至少進(jìn)行一次試驗[7]。因此，對于離散變量問題，采用全因子試驗設(shè)計方法能夠得到所有可行解。

本文討論的基于綜合裕度的多目標(biāo)優(yōu)化模型包括3個目標(biāo)函數(shù)（ maxg2， ming1，M）、5個設(shè)計變量（ 艙段長度L，肋骨間距l(xiāng)，殼板厚度h，圓柱殼中面半徑R和肋骨型號cn）、2種約束條件（變量約束和裕度約束）。其中，2種變量約束的取值應(yīng)分別遵循： 1）變量約束：h按照CB/T 3432-1992《船用鋼板尺寸和重量》[8]標(biāo)準(zhǔn)選取，l按0.05 m的倍數(shù)遞增，cn按照CB/T 3433-1992《船用對稱型鋼尺寸、外形、重量及允許偏差》標(biāo)準(zhǔn)[9]選取。為了方便建造，R和L都采用整型規(guī)格。2）裕度約束：按照式（9）所示取值。

1.3 求解方法

采用寬容度排序法[10]進(jìn)行求解。寬容度排序法先將q個目標(biāo)按相對重要度進(jìn)行排序，然后按順序逐層進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化。將第j層屬性單目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)值fj′適當(dāng)放寬形成約束后，加入到j(luò)+1層單目標(biāo)優(yōu)化的約束條件中，逐層優(yōu)化直至最后一層，即可得到最優(yōu)解[10]。計算的具體步驟如表1所示。

表1 寬容度排序法的計算過程Table 1 Computing process of tolerance ranking method

對于寬容度排序法每層的單目標(biāo)優(yōu)化，采用改進(jìn)的快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ[11]進(jìn)行優(yōu)化求解。

2 算例及討論

2.1 典型環(huán)肋圓柱殼數(shù)值分析

本節(jié)以某典型艙段的環(huán)肋圓柱殼為例，對屬性裕度進(jìn)行數(shù)值分析。材料參數(shù)如下：彈性模量E=1.96×105MPa，泊松比μ=0.3，材料屈服極限值σs=590 MPa。設(shè)計變量的取值范圍如表2所示。

根據(jù)表2設(shè)計變量取值范圍，使用mode-FRONTIER 4.5.0軟件并采用全因子試驗設(shè)計方法，得到滿足式（6）的約束可行解共2 757個。圖2 所示為各屬性裕度的統(tǒng)計結(jié)果。

圖2 可行解的各屬性裕度統(tǒng)計盒式圖Fig.2 Box plot of margins of each attribute value for feasible solutions

表2 典型艙段環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計變量取值范圍Table 2 Range of design variables of ring-stiffened cylindrical shell structure for a typical compartment

根據(jù)圖2中的統(tǒng)計特性，可見，裕度范圍大的屬性需加強約束（例如σ′1，Pcr），而裕度范圍小的屬性約束需稍微放寬（例如σl）。為使各屬性裕度范圍間更均勻，且保證約束范圍內(nèi)有一定量的可行解，表3給出了設(shè)定的各屬性裕度約束范圍。

表3 各屬性裕度約束范圍及可行解的占比Table 3 The constraint range of margins of each attribute value and proportion of feasible solutions

根據(jù)表3中的各屬性約束的上限值，可以將式（9）進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

以式（10）為約束條件，從采取全因子試驗設(shè)計方法獲取的2 757個約束可行解中篩選得到576個可行解，利用這576個可行解按式（11）將環(huán)肋圓柱殼各屬性轉(zhuǎn)化為裕度值，從而得到關(guān)于屬性裕度的數(shù)據(jù)集合。

式中，w02，w′1，wl為應(yīng)力的裕度值；wcr，w′cr為臨界載荷的裕度值。

首先，采用信息熵法計算生成的屬性裕度值，得到3個應(yīng)力裕度和2個臨界載荷裕度的加權(quán)系數(shù)，并將式（7）和式（8）轉(zhuǎn)化為：

然后，再根據(jù)576個可行解，采用信息熵法計算得到綜合應(yīng)力裕度g1、綜合臨界載荷裕度g2及重量的權(quán)重分別為0.426，0.434和0.14。根據(jù)3個目標(biāo)的客觀權(quán)重，按重要度作如下排序：

設(shè)綜合臨界載荷裕度g2的寬容度為10%，綜合應(yīng)力裕度g1的寬容度為8%，得到如表4所示最優(yōu)解。

表4 最優(yōu)解Table 4 The optimum solutions（g1-8%, g2-10%）

根據(jù)表4，σj的裕度為2.94%，其它屬性的裕度均大于13.51%，肋骨應(yīng)力幾乎達(dá)到許用值，其它屬性還有較大的裕度。由此可見，采用寬容度排序法得到的最優(yōu)解與文獻(xiàn)[2～4]得到的結(jié)論是一致的，肋骨應(yīng)力為主要的約束。

2.2 肋骨許用應(yīng)力對優(yōu)化結(jié)果的影響分析

本文對肋骨許用應(yīng)力對優(yōu)化結(jié)果的影響進(jìn)行理論探討。設(shè)肋骨許用應(yīng)力為xfσs，系數(shù)xf取值分別如表5所示，其它各屬性的許用值不變。

為方便計算，約束范圍與式（9）相同。按不同肋骨許用應(yīng)力系數(shù)xf的取值，分別進(jìn)行全因子試驗設(shè)計，共獲得7 599個可行解，然后采用信息熵法計算得到2種綜合裕度的加權(quán)系數(shù)為：

采用信息熵法計算得到綜合應(yīng)力裕度g1、綜合臨界載荷裕度g2以及重量的客觀權(quán)重分別為0.25，0.62，0.13。該3個目標(biāo)的重要度排序與式（11）相同。同樣地，綜合臨界載荷裕度g2的寬容度取為10%，綜合應(yīng)力裕度g1的寬容度取為8%，得到如表5所示的不同肋骨許用應(yīng)力對應(yīng)的最優(yōu)解。

表5 不同肋骨許用應(yīng)力對應(yīng)的最優(yōu)解（g2-10%，g1-8%）Table 5 The optimum solutions of different allowable stress of ribs（g2-10%，g1-8%）

根據(jù)表5，隨著系數(shù)xf的增加，σ′1的裕度值并沒有太大的變化，且都接近設(shè)定的裕度約束上限的30%。此外，當(dāng)xf>0.675時，σ02與2個臨界載荷的裕度值都隨著xf的變大而減小，隨著xf的增加，σj的裕度值也隨之增加；當(dāng)xf>0.675時，肋骨應(yīng)力的裕度接近設(shè)定的裕度約束上限的15%；當(dāng)xf=0.675時，除σ′1的裕度較大外，其它屬性的裕度值都已非常接近，即均約15%，結(jié)構(gòu)屬性裕度之間已較均勻，且結(jié)構(gòu)重量也相對較小。

由此可見，適當(dāng)放寬肋骨的許用應(yīng)力值，能夠解決最優(yōu)解肋骨應(yīng)力裕度小的問題，且還能夠使最優(yōu)解的各屬性裕度之間更均勻。然而，肋骨許用應(yīng)力值也并非越大越好，xf在0.65～0.7之間時的優(yōu)化結(jié)果則比較好。

由表5還可見，當(dāng)xf<0.75時，最優(yōu)解的σ，σ以及2個臨界載荷的裕度值都較大。這里，嘗試通過改變2個綜合裕度的寬容度，來觀察其對優(yōu)化結(jié)果帶來的影響。

設(shè)綜合臨界載荷裕度g2的寬容度為30%，綜合應(yīng)力裕度g1的寬容度為15%，得到的優(yōu)化結(jié)果如表6所示。進(jìn)而，設(shè)綜合臨界載荷裕度g2的寬容度為40%，綜合應(yīng)力裕度g1的寬容度為20%，得到的優(yōu)化結(jié)果如表7所示。

對比表5，表6和表7可以看出，放寬綜合臨界載荷裕度g2以及綜合應(yīng)力裕度g1的寬容度后，最優(yōu)解的綜合臨界載荷裕度和綜合應(yīng)力裕度的值都有所降低，對應(yīng)的2個臨界載荷的裕度值有所降低，3個應(yīng)力的裕度值也有相應(yīng)的減小，圓柱殼結(jié)構(gòu)重量M也有所減小。放寬臨界載荷裕度和綜合應(yīng)力裕度的寬容度值后，最優(yōu)解對臨界載荷的偏重（偏重指接近屬性理想值的程度）降低了，而對應(yīng)力和重量的偏重增加了?？梢?，在寬容度排序法中各屬性的寬容度值對屬性的偏重有重要影響，因此，可以通過調(diào)節(jié)各屬性寬容度值來得到想要的最優(yōu)解。

表6 不同肋骨許用應(yīng)力對應(yīng)的最優(yōu)解（g2-30%，g1-15%）Table 6 The optimum solutions of different allowable stress of ribs（g2-30%，g1-15%）

表7 不同肋骨許用應(yīng)力對應(yīng)的最優(yōu)解（g2-40%，g1-20%）Table 7 The optimum solutions of different allowable stress of ribs（g2-40%，g1-20%）

3 結(jié) 論

本文采用寬容度排序法基于綜合裕度的環(huán)肋圓柱殼多目標(biāo)優(yōu)化模型對圓柱殼強度和穩(wěn)性裕度之間不均勻的問題進(jìn)行了研究， 討論了肋骨許用應(yīng)力及其各屬性的寬容度值對優(yōu)化結(jié)果的影響，并得到如下結(jié)論：

1） 按3個目標(biāo)的客觀權(quán)重，得到其重要度排序為：g2?g1?M。

2） 基于規(guī)范的許用應(yīng)力值，采用寬容度排序法優(yōu)化得到的最優(yōu)解的肋骨應(yīng)力裕度小，其它屬性的裕度較大，肋骨應(yīng)力為主要的約束條件。

3） 通過適當(dāng)放寬肋骨許用應(yīng)力來研究肋骨許用應(yīng)力對結(jié)構(gòu)設(shè)計的影響，得到的結(jié)果顯示，放寬肋骨許用應(yīng)力能夠解決肋骨應(yīng)力裕度小的問題，但是肋骨的許用應(yīng)力并非越大越好，這可為未來規(guī)范的修正更新提供設(shè)計參考。

4） 放寬臨界載荷裕度和綜合應(yīng)力裕度的寬容度值后，最優(yōu)解各屬性對臨界載荷的偏重降低了，而對應(yīng)力和重量的偏重增加了。這說明在寬容度排序法中，可以通過調(diào)節(jié)各屬性寬容度的值得到不同的最優(yōu)解。