陳樂(lè)川 劉文文 何江

摘 要：本文以滬深300ETF為研究對(duì)象，利用滬深300ETF的日收盤(pán)價(jià)和滬深300ETF期權(quán)合約數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)滬深300ETF的對(duì)數(shù)日收盤(pán)價(jià)的正態(tài)性。根據(jù)B-S模型進(jìn)行定價(jià)。由于B-S模型中波動(dòng)率為常數(shù)，與現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)觀測(cè)到的“波動(dòng)率微笑”曲線不符，故引入heston模型進(jìn)行定價(jià)。對(duì)于heston模型中需要確定的5個(gè)參數(shù)，采用模擬退火算法進(jìn)行估算，比較B-S模型及heston模型對(duì)于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)效果。從而對(duì)B-S模型的假設(shè)和局限性進(jìn)行分析，最終得到結(jié)論：滬深300ETF對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)不服從正態(tài)分布，B-S模型中第2個(gè)假設(shè)條件——股票對(duì)數(shù)價(jià)格符合正態(tài)分布不成立。B-S模型能較好地對(duì)滬深300ETF期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，heston模型定價(jià)效果優(yōu)于B-S模型，兩個(gè)模型對(duì)看漲期權(quán)的定價(jià)效果均優(yōu)于看跌期權(quán)的定價(jià)效果，B-S模型中第6個(gè)假設(shè)條件——股票收益波動(dòng)率σ為常數(shù)并已知不成立。

關(guān)鍵詞：B-S模型；heston模型；模擬退火算法

一、引言

近年來(lái)我國(guó)金融市場(chǎng)發(fā)展迅速，大力推動(dòng)了金融衍生品的產(chǎn)生和發(fā)展。在金融活動(dòng)中，金融衍生工具也逐漸體現(xiàn)其重大價(jià)值。在金融衍生品中，期權(quán)具有獨(dú)特的功能和用途。而研究期權(quán)定價(jià)，無(wú)論出于套期保值或者投機(jī)套利等目的都具有現(xiàn)實(shí)意義。由于我國(guó)金融發(fā)展起步較晚，市場(chǎng)尚未成熟，具體表現(xiàn)為市場(chǎng)中投機(jī)氛圍較重，股市橫盤(pán)震蕩趨勢(shì)明顯，股票漲跌的不確定性較高，導(dǎo)致金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)較大，投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)較大，可能會(huì)造成損失。此時(shí)，利用期權(quán)構(gòu)建投資組合，對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，穩(wěn)定收益，則十分重要。因此本文研究期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，具有現(xiàn)實(shí)參考價(jià)值。

期權(quán)定價(jià)一直是金融界的研究熱點(diǎn)，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入研究。宋海明和侯頔基于Black-Schole模型， 設(shè)計(jì)一種針對(duì)該模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并給出美式期權(quán)價(jià)格的數(shù)值近似，通過(guò)對(duì)比二叉樹(shù)方法，證明該算法的有效性。于長(zhǎng)福和陳婷婷使用上證50ETF的歷史波動(dòng)率作為其期望波動(dòng)率，并使用B-S模型對(duì)上證50ETF期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。方艷、張?jiān)t和喬明哲沒(méi)有直接使用歷史波動(dòng)率，而是使用IGARCH模型和GARCH模型分別預(yù)測(cè)上證50ETF的波動(dòng)率，將其作為期望波動(dòng)率，并用蒙特卡羅法和B-S模型分別對(duì)上證50EFT期權(quán)定價(jià)。通過(guò)對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，IGARCH模型對(duì)上證50ETF波動(dòng)率的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于GARCH模型；當(dāng)模擬次數(shù)大于1000時(shí)，蒙特卡羅法對(duì)上證50ETF期權(quán)定價(jià)效果略?xún)?yōu)于B-S模型。然而無(wú)論是用歷史波動(dòng)率還是預(yù)測(cè)波動(dòng)率來(lái)作為期望波動(dòng)率，都是將期望波動(dòng)率視為常數(shù)。基于這種局限性，鄧國(guó)和將波動(dòng)率視為時(shí)變函數(shù)，使用heston模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)，通過(guò)變換和求解特征函數(shù)，得出heston模型的期權(quán)定價(jià)公式。由于heston模型需要確定的參數(shù)較多，且無(wú)法直接求解，王林、張蕾和劉連峰采用模擬退火算法來(lái)估算heston模型中需要確定的5個(gè)參數(shù)，解決了heston模型參數(shù)求解困難的問(wèn)題。姚艾嘉等基于VG過(guò)程刻畫(huà)上證 50ETF 期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格變化情況，對(duì)美國(guó)股市熔斷前后各9支期權(quán)數(shù)據(jù)采用快速分?jǐn)?shù)階Fourier變換進(jìn)行期權(quán)定價(jià)研究，實(shí)證表明：VG過(guò)程依然擬合較好，用快速分?jǐn)?shù)階Fourier變換數(shù)值方法具有一定優(yōu)勢(shì)。而劉瑩和鄭玉衡使用粒子群（PSO）智能算法估計(jì)了heston的6個(gè)參數(shù)進(jìn)行期權(quán)定價(jià)研究，結(jié)果表明結(jié)合粒子群智能算法估計(jì)的heston模型參數(shù)進(jìn)行期權(quán)定價(jià)效果較好。

本文以滬深300ETF為研究對(duì)象，利用滬深300ETF的日收盤(pán)價(jià)和滬深300ETF期權(quán)合約數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)滬深300ETF的對(duì)數(shù)日收盤(pán)價(jià)的正態(tài)性。根據(jù)B-S模型和heston模型進(jìn)行定價(jià)，對(duì)于heston模型中需要確定的5個(gè)參數(shù)，采用模擬退火算法進(jìn)行估算，比較兩個(gè)模型對(duì)于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)效果。從而論證B-S模型的假設(shè)在實(shí)際市場(chǎng)中不成立，B-S模型具有局限性。

二、理論框架

1B-S模型

若連續(xù)隨機(jī)過(guò)程{B（t），t≥0}滿(mǎn)足以下性質(zhì)：

①B（0）=0；

②對(duì)s∈［0，t），增量B（t）-B（s）～N（0，t-s）；

③對(duì)于不重復(fù)的區(qū)間［si，ti］，隨機(jī)變量B（ti）-B（si）之間是相互獨(dú)立的，則B（t）是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

令ti∈0，T，i=0，1，…，N，并使間隔滿(mǎn)足Π={0=t0<t1<t2<…<tN=T}，則對(duì)于f（t），有∑N-1i=0［fti+1-f（ti）］2。

對(duì)于一個(gè)連續(xù)且在0到T內(nèi)處處可微的函數(shù)f（t），根據(jù)微分中值定理得到如下不等式

∑N-1i=0fti+1-fti2≤∑N-1i=0ti+1-ti2f′si2≤maxs∈［0，T］f′s2∑ti+1-ti2≤maxs∈0，Tf′s2maxiti+1-ti2T（1）

將連續(xù)可微函數(shù)f（t）替換為布朗運(yùn)動(dòng)B（t），可以看到隨著對(duì)時(shí)間區(qū)間［0，T］的細(xì)分，maxiti+1-ti2趨近于0，布朗運(yùn)動(dòng)B（t）的二次變分為T(mén)，即

lim|Π|→0∑iBti+1-Bti2=T（2）

其中

Π=maxiti+1-ti2（3）

二次變分用無(wú)窮小量形式可以表示為（dB）2=dt。

給標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)加上一個(gè)僅和時(shí)間t有關(guān)的漂移項(xiàng)μt以及一個(gè)尺度參考σ，得到帶漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng)，記作X（t）=μt+σB（t）。其滿(mǎn)足X（t）～Nμt，σ2t，t≥0。若時(shí)間t為無(wú)窮小量，則上式可改寫(xiě)為

dX（t）=μdt+σdB（t）（4）

用X（t）表示股票的收益率，則令S（t）為股票價(jià)格，dS（t）為股票價(jià)格在微小間隔的變化量St+Δt-S（t），所以

dX（t）=dS（t）S（t）=μdt+σdB（t）（5）

因此，S（t）的隨機(jī)微分方程為

dS（t）=μS（t）dt+σS（t）dB（t）（6）

上式表示股價(jià)S（t）滿(mǎn)足幾何布朗運(yùn)動(dòng)。令f（Bt）為布朗運(yùn)動(dòng)Bt的連續(xù)平滑函數(shù)，根據(jù)泰勒公式，有

fx+Δx=f（x）=f′（x）Δx+f″（x）2?。é）2+f（x）3！（Δx）3+…（7）

將x=Bt代入上式，得到

Δf（Bt）=fBt+ΔBt-f（Bt）=f′（Bt）ΔBt+f″（Bt）2！ΔBt2+f（Bt）3?。ét）3+…（8）

因?yàn)椋╠B）2=dt，利用無(wú)窮小量形式忽略等式右邊第三項(xiàng)開(kāi)始之后的所有項(xiàng)，得到伊藤引理最基本形式

df（Bt）=f′（Bt）dBt+f″（Bt）2！dt（9）

由全微分公式可以得到

df=ftdt+fxdx（10）

把x=Bt代入上式，得到伊藤微積分

df=ftdt+fxdBt+122fx2（dBt）2

=ft+122fx2dt+fxdBt（11）

對(duì)于帶有漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng)dX（t）=μdt+σdB（t），令a（X（t），t）和b（X（t），t）表示漂移和擴(kuò)散系數(shù)，即aX（t），t=μ，bX（t），t=σ，則稱(chēng)如下隨機(jī)微分方程（SDE）為伊藤漂移擴(kuò)散過(guò)程。

令連續(xù)函數(shù)f（X（t），t）滿(mǎn)足X（t）二階可導(dǎo)，t一階可導(dǎo)，得到

df=ftdt+fxdx+122fx2（dx）2（12）

將dX（t）=aX（t），tdt+bX（t），tdB（t）代入上式，得伊藤引理一般形式

df=ft+fxa+122fx2b2dt+fxbdB（t）（13）

對(duì)于股票價(jià)格S，滿(mǎn)足dS（t）=μS（t）dt+σS（t）dB（t），此時(shí)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移系數(shù)a=μS，擴(kuò)散系數(shù)b=σS。令f=lnS，則伊藤引理一般形式為

df=d（lnS）=ft+fSa+122fS2b2dt+fSbdB（t）=μ-σ22dt+σdB（14）

將等式兩邊同時(shí)取積分，得到

∫T0d（lnS（t））=∫T0μ-σ22dt+∫T0σdB（t）（15）

lnS（T）S（0）=μ-σ22T+σB（T）（16）

S（T）=S（0）eμ-σ22T+σB（T）（17）

由于s∈［0，t），增量B（t）-B（s）～N（0，t-s）。當(dāng)s=0時(shí)，Bs=0，有B（t）～N（0，t），B（t） t～N（0，1）。所以上式可以變?yōu)?/p>

S（T）=S（0）eμ-σ22T+σ Tε（18）

其中，S（0）表示初始時(shí)刻股票價(jià)格；μ為股票期望收益率；σ為股票期望收益率波動(dòng)率；T表示經(jīng)歷的時(shí)間；ε服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，S（T）表示T時(shí)刻股票價(jià)格。

根據(jù)下列假設(shè)條件：

①期權(quán)合約是歐式期權(quán)；

②股票對(duì)數(shù)價(jià)格符合正態(tài)分布；

③允許做空證券，且證券可以被分割；

④市場(chǎng)無(wú)摩擦，不存在交易費(fèi)用和稅收；

⑤標(biāo)的股票不支付股息；

⑥股票收益波動(dòng)率σ為常數(shù)并已知；

⑦市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；

⑧股票交易連續(xù)；

⑨短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)并已知。

令CS，t表示由標(biāo)的股票價(jià)格S和距離期權(quán)到期日的時(shí)間t所確定的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，簡(jiǎn)記為C。根據(jù)下式

df=ft+fSa+122fS2b2dt+

fSbdB（t）（19）

將f替換為C，由a=μS和b=σS得到

dC=CSμS+Ct+122CS2σ2S2dt+

CSσSdB（20）

將S，C，B，t離散化，即dC=ΔC，dB=ΔB，dS=ΔS，dt=Δt，得到

ΔC=CSμS+Ct+122CS2σ2S2Δt+

CSσSΔB（21）

ΔS=μS（t）Δt+σSΔB（22）

不難看出，ΔC和ΔS的表達(dá)式都含有布朗運(yùn)動(dòng)ΔB，所以同時(shí)做空1份期權(quán)，做多CS份股票，可以將ΔB完美對(duì)沖，用P表示該投資組合的價(jià)值，則在時(shí)間Δt內(nèi)的變化為

ΔP=CSΔS-ΔC=

（-Ct-122CS2σ2S2）Δt（23）

因?yàn)樵撏顿Y組合消除了全部風(fēng)險(xiǎn)，所以組合在Δt內(nèi)收益為無(wú)風(fēng)利率r，即ΔP=rpΔt。將ΔP和P=CSS-C代入上式可以得到：

Ct+rSCS+122CS2σ2S2=rC（24）

解偏微分方程得到B-S期權(quán)定價(jià)公式：

C=S（0）Nd1-Ke-rTN（d2）（25）

d1=lnS（0）K+r+σ22Tσ T（26）

d2=lnS（0）K+r-σ22Tσ T=

d1-σ T（27）

其中，C表示看漲期權(quán)的理論價(jià)格；S（0）表示標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)期價(jià)格；K表示看漲期權(quán)的行權(quán)價(jià)格；σ表示標(biāo)的資產(chǎn)的年收益率波動(dòng)率；T表示當(dāng)前時(shí)間距離期權(quán)到期日的天數(shù)（按年計(jì)算）；r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積密度函數(shù)。同理可以得到看跌期權(quán)的理論價(jià)格P

P=Ke-rTN-d2-S（0）N-d1（28）

2heston模型

由于上文中B-S模型的第6個(gè)假設(shè)條件：在期權(quán)期限內(nèi)，標(biāo)的股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差σ為常數(shù)并已知，明顯與現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)觀測(cè)到的“波動(dòng)率微笑”曲線嚴(yán)重不符。且B-S模型的第5個(gè)假設(shè)條件：在期權(quán)期限內(nèi)，標(biāo)的股票不支付股息，也常常與現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)不符，所以基于B-S模型進(jìn)行改進(jìn)。

假設(shè)t時(shí)刻的股票價(jià)格St和波動(dòng)率vt服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

dSt=（r-q）Stdt+ vtStdW1t（29）

dvt=κ（θ-vt）dt+δ vtdW2t（30）

其中，q表示股票連續(xù)支付的紅利率；v是一個(gè)不可觀測(cè)的狀態(tài)變量，滿(mǎn)足均值回復(fù)平方根CIR過(guò)程；參數(shù)κ，θ，δ為非負(fù)常數(shù)。求解得出heston定價(jià)公式：

Cet，T，St，vt，K=Ste-q（T-t）P1-

Ke-rT-tP2（31）

Pj=12+1/π∫+SymboleB@

0Re［e-ilnKfj（x，v，τ;）i］d， j=1，2

（32）

fj（x，v，τ;）=exp［A（τ;）+B（τ;）v+ix］， ? j=1， 2（33）

x=lnS（34）

A（τ;）=irτ+aδ2［（bj-ρδi+hj）τ-

2ln （1-gjehjτ1-gj）］（35）

Bτ;=bj-ρδi+hjδ2（1-ehjτ1-gjehjτ）］（36）

gj=bj-ρδi+hjbj-ρδi-hj（37）

hj= （ρδi-bj）2-δ2（2uji-2）（38）

其中，u1=1/2；u2=-1/2；a=κθ；b1=κ-ρδ；b2=κ；j=1，2；Re表示被積函數(shù)的實(shí)數(shù)部分，i為虛數(shù)單位；Cet，T，St，vt，K為歐式看漲期權(quán)的理論價(jià)格。根據(jù)平價(jià)公式可以得出，歐式看跌期權(quán)的理論價(jià)格為

Pet，T，St，vt，K=Cet，T，St，vt，K+

Ke-rT-t-Ste-q（T-t）（39）

由于本文研究的是滬深300ETF期權(quán)，沒(méi)有紅利，所以令q=0，即認(rèn)為B-S模型中第5個(gè)假設(shè)成立。重點(diǎn)論證B-S模型中第2個(gè)假設(shè)條件和第6個(gè)假設(shè)條件是否在市場(chǎng)中成立。

三、實(shí)證分析

1數(shù)據(jù)來(lái)源及處理

本文選取滬深300ETF和華泰柏瑞滬深300ETF期權(quán)進(jìn)行研究。時(shí)間上，本文選取從2020年1月1日到2020年12月31日的交易日數(shù)據(jù)，共有243個(gè)交易日。選擇該區(qū)間的原因是在這段時(shí)間里，由于新冠肺炎疫情的影響，從2020年上半年的悲觀消極到下半年的復(fù)工復(fù)產(chǎn)，滬深300ETF經(jīng)歷了大漲和大跌，橫穿牛熊市，囊括了大盤(pán)周期，且數(shù)據(jù)比較新。標(biāo)的物上，本文選取滬深300ETF在這243個(gè)交易日的日線行情數(shù)據(jù)，包括收盤(pán)價(jià)、收益率等；在期權(quán)合約方面，本文按照以下三個(gè)條件篩選出滿(mǎn)足條件的期權(quán)合約數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

（1）對(duì)于期權(quán)到期日距當(dāng)前不足6個(gè)交易日的期權(quán)合約，由于這類(lèi)合約包含的時(shí)間價(jià)值較少，價(jià)格波動(dòng)較大，所以剔除這類(lèi)合約。對(duì)于期權(quán)到期日距當(dāng)前超過(guò)60個(gè)交易日的期權(quán)合約，由于這類(lèi)合約流動(dòng)性差，成交量少，所以剔除這類(lèi)合約。

（2）對(duì)于執(zhí)行價(jià)與當(dāng)前價(jià)格相差兩個(gè)價(jià)位（如交易平臺(tái)的買(mǎi)三和買(mǎi)一）的期權(quán)合約，由于這類(lèi)期權(quán)合約大多數(shù)為深度實(shí)值期權(quán)或深度虛值期權(quán)，成交量少，所以剔除這類(lèi)合約。

（3）根據(jù)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的邊界條件：

Ct≥max（St-Ke-rt，0）（40）

Pt≥max（Ke-rt-St，0）（41）

所以剔除不滿(mǎn)足邊界條件的期權(quán)合約，最終通過(guò)篩選得到滬深300ETF期權(quán)數(shù)據(jù)共4348條，其中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)數(shù)據(jù)各2174條。本文全部數(shù)據(jù)均來(lái)源于tushare。

2正態(tài)性檢驗(yàn)

首先對(duì)滬深300ETF對(duì)數(shù)日收盤(pán)價(jià)的正態(tài)性進(jìn)行分析，檢驗(yàn)B-S公式第2個(gè)假設(shè)條件是否成立，結(jié)果如圖1、圖2和表1所示。

由圖1和圖2可以初步判斷，滬深300ETF的對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)不服從正態(tài)分布。根據(jù)圖1所示，滬深300ETF的對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)呈現(xiàn)中間低、兩邊高的現(xiàn)象，對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)總體聚集在137和157附近，而中間145到15極少。根據(jù)圖2所示，散點(diǎn)的分布除了少部分與直線重合外，大部分都偏離直線。表1是具體計(jì)算得到的結(jié)果。由表1可以看到，滬深300ETF的對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)偏度是負(fù)的，說(shuō)明左邊是拖尾的；峰度為負(fù)數(shù)，與正態(tài)分布的峰度3相差很大；由于樣本量?jī)H為243個(gè)，所以選擇Shapiro-Wilks檢驗(yàn)其正態(tài)性，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0181，檢驗(yàn)p值為0，小于顯著性水平005，拒絕其服從正態(tài)分布的檢驗(yàn)。因此可以說(shuō)明，滬深300ETF的對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)不服從正態(tài)分布，即B-S公式第2個(gè)假設(shè)條件在實(shí)際市場(chǎng)中是不成立的。

3B-S模型定價(jià)效果

為了方便計(jì)算，我們?cè)O(shè)定B-S公式中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為4%。將滬深300ETF 30日收益率標(biāo)準(zhǔn)差轉(zhuǎn)化為年標(biāo)準(zhǔn)差，即波動(dòng)率σ。對(duì)滬深300ETF看漲期權(quán)合約和看跌期權(quán)合約分別進(jìn)行定價(jià)，得到結(jié)果如圖3至圖6所示。

由圖3至圖6可以看出，基于B-S模型的殘差較小，曲線擬合效果較好?？傮w來(lái)看，基于B-S模型對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)是可行的。

4heston模型定價(jià)效果

根據(jù)前文所述內(nèi)容，由于heston模型的看漲期權(quán)價(jià)格公式和看跌期權(quán)價(jià)格公式比較復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)直接求導(dǎo)，即令導(dǎo)數(shù)為0的方法來(lái)求解非線性最小二乘問(wèn)題，只能用其他優(yōu)化算法求得局部極小值。模擬退火算法是一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，其基本思想是：設(shè)定初始溫度和初始狀態(tài)，通過(guò)內(nèi)循環(huán)迭代，以Metropolis準(zhǔn)則更新?tīng)顟B(tài)，得到穩(wěn)定狀態(tài)后根據(jù)快速降溫公式降溫，不斷迭代直到最后溫度低于設(shè)定的最低溫度，此時(shí)穩(wěn)定狀態(tài)即為估算結(jié)果。相比于遺傳算法、混沌算法而言，原理較為簡(jiǎn)單，易于仿真，且模擬效果好。所以本文采用模擬退火算法估計(jì)參數(shù)，得到結(jié)果如表2所示。根據(jù)表2得到的參數(shù)和B-S模型中的參數(shù)，對(duì)滬深300ETF看漲期權(quán)合約和看跌期權(quán)合約分別進(jìn)行定價(jià)，得到結(jié)果如圖7至圖10所示。

由圖7至圖10可以看出，基于heston模型的殘差較小，曲線擬合效果較好?？傮w來(lái)看，基于heston模型對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)是可行的。

5兩個(gè)模型定價(jià)效果對(duì)比

為了直觀比較基于B-S模型和基于heston模型對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)效果，本文構(gòu)建絕對(duì)平均誤差MAE和均平方根誤差RMSE這兩個(gè)指標(biāo)評(píng)估模型定價(jià)效果，結(jié)果如表3和表4所示。

MAE=∑Mi=1|ki-wi|M（42）

RMSE= ∑Mi=1（ki-wi）2M（43）

其中，ki表示模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)；wi表示市場(chǎng)真實(shí)數(shù)據(jù)；M表示樣本量。絕對(duì)平均誤差MAE和均方根誤差RMSE越小，表示模型預(yù)測(cè)效果越好；反之則反。

由表3和表4可以看出，heston模型對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)效果均優(yōu)于B-S模型，說(shuō)明將波動(dòng)率視為時(shí)變函數(shù)優(yōu)于視為常數(shù)，B-S模型中第6個(gè)假設(shè)條件不成立。B-S模型和heston模型對(duì)于看漲期權(quán)的定價(jià)效果優(yōu)于對(duì)看跌期權(quán)的定價(jià)效果。總體而言，B-S模型和heston模型能較好地對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

四、結(jié)論

本文以滬深300ETF為研究對(duì)象，利用滬深300ETF的日收盤(pán)價(jià)和滬深300ETF期權(quán)合約數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)滬深300ETF的對(duì)數(shù)日收盤(pán)價(jià)的正態(tài)性。根據(jù)B-S模型和heston模型進(jìn)行定價(jià)，對(duì)于heston模型中需要確定的5個(gè)參數(shù)，采用模擬退火算法進(jìn)行估算，比較兩個(gè)模型對(duì)于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)效果。得到結(jié)論：滬深300ETF對(duì)數(shù)收盤(pán)價(jià)不服從正態(tài)分布，B-S模型中第2個(gè)假設(shè)條件不成立。B-S模型能較好地對(duì)滬深300ETF期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，heston模型定價(jià)效果優(yōu)于B-S模型，兩個(gè)模型對(duì)看漲期權(quán)的定價(jià)效果均優(yōu)于看跌期權(quán)的定價(jià)效果，B-S模型中第6個(gè)假設(shè)條件不成立。

本文由于篇幅有限，僅對(duì)B-S模型中兩個(gè)假設(shè)條件進(jìn)行論證。實(shí)際上，B-S模型的其他假設(shè)條件在真實(shí)市場(chǎng)中也具有局限性，可以進(jìn)行擴(kuò)展研究。此外，本文研究的是平值期權(quán)，對(duì)于深度實(shí)值或深度虛值期權(quán)，B-S模型和heston模型定價(jià)效果可能較為一般。

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Empirical Research on Option Pricing Based on CSI 300 ETF

CHEN Lechuan LIU Wenwen HE Jiang

Abstract：This paper takes the CSI 300 ETF as the research object， and uses the daily closing price of the CSI 300 ETF and the CSI 300 ETF option contract data to test the normality of the log-day closing price of the CSI 300 ETF Pricing is based on the B-S model Since the volatility in the B-S model is constant， which is inconsistent with the“volatility smile”curve observed in the real market， the heston model is introduced for pricing For the five parameters that need to be determined in the heston model， the simulated annealing algorithm is used to estimate， and the pricing effects of the B-S model and the heston model for call options and put options are compared Therefore， the assumptions and limitations of the B-S model are analyzed， and the final conclusion is drawn： the logarithmic closing price of the CSI 300 ETF does not follow the normal distribution， and the second assumption in the B-S model， the log price of stocks， does not conform to the normal distribution. The B-S model can price CSI 300 ETF options better， the heston model has a better pricing effect than the B-S model， the pricing effect of both models on call options is better than the pricing effect of put options， and the sixth assumption in the B-S model， stock return volatility σ is constant and is known to be invalid

Keywords：B-S Model；Heston Model；Simulated Annealing Algorithm