林佳慶 林嘉煒

（江蘇科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 鎮(zhèn)江 212100）

1 引言

圖像分割［1~3］是將一副圖像按照一定的規(guī)則分割成特點(diǎn)不同且不相交的區(qū)域，其相關(guān)算法根據(jù)不同的分割規(guī)則主要包括邊緣分割［4~5］、閾值分割［6~8］和基于理論的分割方法。其中聚類分割方法是最經(jīng)典的基于理論的分割方法，其應(yīng)用也是最為廣泛的方法之一。本文將以模糊C 均值聚類算法FCM（Fuzzy C-means Algorithm）作為研究的主要對象。

1969年，Ruspini［9］首次在聚類分析中引入模糊劃分的概念，使得聚類算法中隸屬度的取值范圍變得靈活，也更加符合對事物劃分的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，Dunn 在1974 年首次提出了FCM 算法［10］，并由Bezdek 在1981 年實(shí)現(xiàn)，從此FCM 成為了模糊聚類算法［11］研究的主流。目前，有很多改進(jìn)的FCM 算法［12~13］考慮了像素點(diǎn)的位置信息和灰度信息，但是對于位置信息僅考慮像素點(diǎn)的4 鄰域或8 鄰域，缺乏對每個(gè)像素點(diǎn)區(qū)域特性的考慮，并且沒有體現(xiàn)最敏感的“梯度”信息，因此不能很好地劃分梯度變化不明顯的區(qū)域。針對上述問題，可以采用分水嶺［14］算法將圖像中梯度變化不明顯的區(qū)域進(jìn)行預(yù)劃分。同時(shí)，為盡可能將相鄰區(qū)域歸屬為一類，使用相鄰區(qū)域的隸屬度差異代替聚類算法目標(biāo)函數(shù)中的隸屬度。然而，由于分水嶺算法自身的缺陷，圖像可能會(huì)出現(xiàn)“過分割”的問題，此時(shí)需要引入形態(tài)學(xué)方法［15~16］重建圖像，重建后既可以提高魯棒性，也使得結(jié)果更加迎合人的視覺感知。

2 基于分水嶺的圖像重建算法

分水嶺算法主要是將一副圖像進(jìn)行三維立體化，圖像中像素點(diǎn)的灰度值作為該像素點(diǎn)的海拔高度。

分水嶺算法在對圖像進(jìn)行分割時(shí)，將圖像劃分成多個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域視為一類，再用每個(gè)區(qū)域內(nèi)像素點(diǎn)的灰度平均值替換該區(qū)域內(nèi)所有像素點(diǎn)的灰度值。通過上述方法，可有效將圖像中的噪聲和不重要的細(xì)節(jié)過濾掉，有效地進(jìn)行預(yù)劃分。圖1（b）和（c）展示了將圖1（a）原圖進(jìn)行分水嶺分割和圖像重建的結(jié)果。

圖1 分水嶺分割與圖像重建示意圖

3 基于區(qū)域規(guī)則的核模糊C 均值聚類的圖像分割方法

3.1 經(jīng)典模糊C均值聚類的圖像分割算法

傳統(tǒng)的FCM 圖像分割是將圖像中的像素點(diǎn)的灰度值作為聚類的對象［17~18］。FCM是一種基于目標(biāo)函數(shù)的算法。其目標(biāo)函數(shù)如下所示：

其中，V={vk}表示第k個(gè)聚類中心，‖xi-vk‖2表示第i個(gè)數(shù)據(jù)和第k個(gè)聚類中心的距離（歐氏距離）。U={uik}表示第i個(gè)數(shù)據(jù)xi對于第k個(gè)聚類中心的隸屬度，并滿足如下條件：

式（1）中，m>1 ，表示模糊系數(shù)，通常取m=2。FCM 算法是將目標(biāo)函數(shù)最小化的過程，根據(jù)拉格朗日求極值法得到：

一副圖像由n個(gè)像素點(diǎn)構(gòu)成，已知每個(gè)像素點(diǎn)的灰度值xi，將圖像分為c 類，通過式（3）和式（4）可得隸屬度矩陣U?？紤]第i個(gè)像素點(diǎn)，遍歷ui1~uic找出最大值uik，則該像素點(diǎn)將被歸為第k類。

在這種教學(xué)方法下，有些學(xué)生甚至?xí)杏X課堂乏味無趣，所學(xué)到的知識(shí)也并沒有完全理解與融合。但是教師卻希望讓學(xué)生學(xué)到更多知識(shí)，所以在課堂上會(huì)大篇幅地灌輸學(xué)生自己的想法。教師的這種想法與做法，最終也就引發(fā)了教學(xué)質(zhì)量的不斷降低。隨著經(jīng)濟(jì)全球化的發(fā)展，多元化教學(xué)方式也隨之逐漸傳入中國。例如：被教師運(yùn)用最為廣泛的一種教學(xué)方式——“少教學(xué)，多創(chuàng)新”，它不但可以讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)用最少的時(shí)間取得最大的學(xué)習(xí)成果，還提高了學(xué)生的思考與創(chuàng)新能力。

3.2 核方法

FCM算法在處理高維數(shù)據(jù)集時(shí)效率較低，為解決這一問題，引入了核方法［19~20］，將FCM 算法中的距離變?yōu)楹嘶嚯x，生成新的目標(biāo)函數(shù)，新的算法稱為基于核方法的模糊C 均值聚類算法KFCM（kernel fuzzy C-means）。KFCM的目標(biāo)函數(shù)如下：

其中‖ Φ(xi)-Φ(vk)‖2為核化距離，根據(jù)核函數(shù)的性質(zhì)：K(x,y)= Φ(x),Φ(y) ，將距離公式化簡有：

核函數(shù)中使用頻率較高的是高斯核函數(shù)，其形式如下所示：

其中σ表示核參數(shù)，本文中將設(shè)定σ=20。根據(jù)式（7）有K(x,x)=0，則式（5）可化簡為

3.3 基于區(qū)域的聚類圖像分割算法

將n個(gè)像素點(diǎn)構(gòu)成的圖像，劃分為c類。

先將圖像利用形態(tài)學(xué)和分水嶺方法預(yù)劃分為N個(gè)區(qū)域，令第p個(gè)區(qū)域（1 ≤p≤N）的灰度均值為Lp，像素點(diǎn)數(shù)為Cp。根據(jù)KFCM 算法的目標(biāo)函數(shù)，可得到新的目標(biāo)函數(shù)如下：

其中upk表示第p個(gè)區(qū)域?qū)Φ趉個(gè)聚類中心的隸屬度。

3.4 鄰區(qū)域隸屬度差異懲罰

其中，Ei為第i個(gè)像素點(diǎn)xi的鄰域范圍。根據(jù)ujk的定義可知，其表示xj對第k類的隸屬度，則1-ujk即為xj不屬于第k類的程度。因此式（9）的含義表示每個(gè)像素點(diǎn)與其鄰域像素點(diǎn)不屬于同一類的程度，即隸屬度差異。類似地，基于區(qū)域規(guī)則的隸屬度差異可以定義為

其中Ep表示p區(qū)域的鄰近區(qū)域，G?代表相鄰區(qū)域的隸屬度差異。

這里為簡化計(jì)算過程，引入鄰域矩陣W=｛wpq｝的概念：

則式（10）可改寫為

3.5 最終算法模型及算法流程綜述

在式（13）的基礎(chǔ)上引入調(diào)控因子λ，再與式（9）進(jìn)行相加，即可得到本文基于區(qū)域規(guī)則的粒子群核模糊C 均值聚類方法RBPKFCM（Re?gion-Based PSO Kernel Fuzzy C-Means Clustering Method）的目標(biāo)函數(shù)：

其中為避免鄰區(qū)域隸屬度差異懲罰對RBPKFCM的目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生過度的影響，引入了調(diào)控因子λ。為使RBPKFCM 的目標(biāo)函數(shù)極小化，根據(jù)拉格朗日求極值法得到聚類中心V={vk}和隸屬度矩陣U={upk}的結(jié)果如下：

該算法具體流程如下：

Step 1 采用形態(tài)學(xué)方法對圖像I進(jìn)行預(yù)處理；

Step 2 采用分水嶺算法將圖像劃分為N個(gè)小區(qū)域，求出第p個(gè)區(qū)域（1 ≤p≤N）的灰度均值Lp，并將該區(qū)域所有像素點(diǎn)的灰度值設(shè)為Lp，再將每個(gè)小區(qū)域設(shè)為一個(gè)單獨(dú)種群，設(shè)置種群初始化，利用粒子群的全局尋優(yōu)能力從小區(qū)域中搜索出較為準(zhǔn)確的初始聚類中心；

Step 3 將上述參數(shù)代入式（15）、（16）的迭代式中，同時(shí)設(shè)定調(diào)控因子λ的值，求出URBPKFCM和VRBPKF?CM；

Step 4 根據(jù)VRBPKFCM將各個(gè)區(qū)域所屬類別的聚類中心的值設(shè)為各區(qū)域的灰度值，再根據(jù)URBPKFCM確定各個(gè)區(qū)域該被劃分到哪一類；

Step 5 得到分割后的圖像。

4 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)操作環(huán)境為Matlab2018b。對比算法分別為RBKFCM（region-based kernel fuzzy c-means clustering method）、PFCM 算 法（penalized fuzzy c-means）和KWFLICM 算法（kernel weighted fuzzy local information c-means clustering algorithm）。上述三種算法以及本文提出的RBPKFCM 算法，都是基于FCM的圖像分割算法。

4.1 合成圖片的抗噪分割實(shí)驗(yàn)

本文的實(shí)驗(yàn)對象采用的是分別添加不同噪聲的合成圖片，并利用四種算法分別對圖片進(jìn)行分割。最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2、3、4 所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，四種算法的抗椒鹽噪聲能力都比較強(qiáng)，但在對添加高斯噪聲的圖片分割時(shí)，KWFLICCM和RBPK?FCM 算法要好于PFCM、RBKFCM 算法，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果如表1 所示，前兩者的正確率均接近100%，其中正確率表示像素點(diǎn)被正確分割的數(shù)量占總像素點(diǎn)數(shù)量的百分比。將四種算法處理后的分割結(jié)果進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)，由于RBPKFCM 算法在確定初始聚類中心時(shí)采用粒子群方法，使結(jié)果最終更加穩(wěn)定。而主要的誤差集中在區(qū)域邊界附近，該位置也恰好是噪聲出現(xiàn)的位置，此結(jié)果也是相對可以預(yù)見的。

圖2 對圖像I1（0.03椒鹽噪聲）采用不同算法的分割結(jié)果

表1 不同類型圖片的分割正確率/%

4.2 自然圖片分割實(shí)驗(yàn)

上述實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法對于合成圖片進(jìn)行分割時(shí)取得了良好效果，以下實(shí)驗(yàn)對自然圖片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步說明本文算法的優(yōu)越性。

圖5、圖6、圖7 分別給出了對自然圖片進(jìn)行分割的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖5 中，PFCM 在分割背景區(qū)域和屋頂區(qū)域時(shí)，背景和屋頂均被劃分為兩部分，結(jié)果并不理想，RBKFCM 在對屋頂和屋體劃分時(shí)，空隙處的細(xì)節(jié)分割效果并不理想。由于屋頂邊緣處的灰度值較大，KWFLICM算法在劃分屋頂部分時(shí)，將其劃分成了多個(gè)部分，而RBPKFCM 算法正確地將整個(gè)屋頂視作了一類，并且整體分割效果層析清晰。圖6 中，羚羊的身體和頭部的灰度值相差較大，PFCM 和KWFLICM 算法在對其進(jìn)行分割時(shí)，對身體區(qū)域的劃分有較大誤差，RBKFCM 和RBPKF?CM 算法對羚羊身體區(qū)域有著較好的分割效果，然而在草坪中由于RBPKFCM 引入PSO 尋優(yōu)，使得最終分割結(jié)果更理想。圖7 的分割結(jié)果體現(xiàn)了RBP?KFCM 算法在提取圖像主干上的高效性：背景中天空的云朵被忽略，地面上的倒影卻被勾勒。通過多次實(shí)驗(yàn)對比可以看出，本文算法對比前三種算法，其分割結(jié)果層次清晰，細(xì)節(jié)也不冗余，對比其他算法，具有較明顯的優(yōu)勢。

圖3 對圖像I2（0.03高斯噪聲）采用不同算法的分割結(jié)果

圖4 對圖像I3（0.03高斯噪聲）采用不同算法的分割結(jié)果

圖5 對圖像“Church”采用不同算法的分割結(jié)果

圖6 對圖像“Reno”采用不同算法的分割結(jié)果

圖7 對圖像“Pilots”采用不同算法的分割結(jié)果

5 結(jié)語

傳統(tǒng)的聚類算法在進(jìn)行圖像分割時(shí)是將每個(gè)像素點(diǎn)作為聚類的對象，RBPKFCM 算法綜合考慮了灰度信息、梯度信息和位置信息，使得最終的分割效果更佳。其具體過程是先通過形態(tài)學(xué)和分水嶺方法將圖片進(jìn)行預(yù)劃分，形成多個(gè)小區(qū)域，將各個(gè)小區(qū)域作為聚類的對象，通過PSO算法尋找每個(gè)區(qū)域內(nèi)最佳初始聚類中心，再將這些初始聚類中心視作聚類入口，彌補(bǔ)了聚類算法在“梯度”上的缺陷。結(jié)合引入的懲罰項(xiàng)和調(diào)控因子，使得距離較近的區(qū)域更容易劃分成一類。但是，本文算法仍存在一些不足之處，本文算法中的一些參數(shù)是預(yù)先設(shè)定的，尚未能根據(jù)實(shí)際情況自動(dòng)取值。接下來的研究方向?qū)⑹侵攸c(diǎn)研究如何根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況進(jìn)行參數(shù)設(shè)定。