陳海軍 任元 王華

1) (航天工程大學宇航科學與技術系,北京 101416)

2) (航天工程大學基礎部,北京 101416)

3) (航天工程大學,激光推進及其應用國家重點實驗室,北京 101416)

1 引言

固體中的玻色子和光子在兩者能量和動量接近時發(fā)生強耦合時形成的準粒子稱之為極化激元,激子是電子和空穴(帶正電)由于庫侖力的作用形成的束縛態(tài).激子-極化激元是指半導體微腔中的光子和內嵌在微腔量子阱中的激子發(fā)生強耦合形成的準粒子[1],是一種半光半物質的狀態(tài),是激子和光子的疊加態(tài),具有 10-31量級的質量和ps 量級的壽命,其中的激子部分容易和其他粒子產生相互作用[2].激子-極化激元彼此之間發(fā)生相互作用,形成復合玻色子,可在接近室溫的條件下經歷類似于玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensates,BECs)的非平衡相變,稱之為激子-極化激元BEC(簡稱為極化激元凝聚,polariton condensates)[3-6].

原子除了軌道角動量l外,還有自旋角動量s,軌道角動量和自旋角動量的耦合稱為SO 耦合(spinorbit coupling,SOC)或者s-l耦合,SOC 是量子力學誕生之初就已知的一種現象,代表了磁原子內相互作用的主要來源[7].SOC 引起了原子能譜的變化,進而導致了原子能譜的精細結構的形成.在中性原子中,不存在SOC 作用[8],但是可以通過適當修改原子和光之間的相互作用產生非Abelian規(guī)范勢[9],從而使中性原子受到SOC 作用[10].

在固體物理中,SOC 作用是許多基本效應的起源[11],由晶體結構決定,很難操縱,而且很難與其他影響分開.在沒有反轉對稱性的半導體中,晶體中的靜電場通過Lorentz 變換成運動電子坐標系中的磁場,進而和電子自旋耦合,產生SOC 作用[12].在能用單離子完美描述的固體磁性方面,SOC 起著重要作用,如在稀土絕緣體中和半導體中,在極值點附近SOC 通常會引起能帶分裂[7],另一方面,SOC 通過耦合自旋和軌道運動自由度來提升單電子能級的簡并性[13].

在極化激元凝聚中,可以通過極化激元能級的腔誘導TE-TM 分裂實現足夠強的SOC[14].SOC對于具有旋量序參數的多組分旋量BEC 系統(tǒng)的拓撲結構有十分重要的作用,在四分量旋量BEC 系統(tǒng)中,發(fā)現了依賴于自旋的明暗激子轉換,發(fā)現SOC產生了豐富多樣的拓撲元素,觀察到了明暗激子的相分離以及密度和自旋極化的奇異空間結構[11].在原子BEC 中,SOC 會極大地影響周期勢場中可用非線性激發(fā)的穩(wěn)定性和對稱性[15].基于此,文獻[16]研究了雙組分旋量極化激元凝聚中,周期勢場中SOC 對能隙極化激元基本孤立子和渦旋孤立子形成的影響,給出了4 個不同族,拓撲荷數為m=±1的穩(wěn)定的渦旋孤立子.文獻[17]研究了徑向周期勢場中自旋極化激元凝聚的演化,在該周期勢場中允許新的非線性激發(fā),并支持極化激元凝聚體中以前從未證明過的各種動態(tài)穩(wěn)定孤立子狀態(tài),包括密度峰值位于不同徑向最小值的環(huán)狀孤立子和擴展的動態(tài)穩(wěn)定多環(huán)模式.

事實上,將光晶格勢場引入非線性介質顯著提高了BEC 中局域波結構的穩(wěn)定性[18].上述文獻中研究了周期勢場中極化激元凝聚中局域波結構及其穩(wěn)定性,除此之外,非周期性勢場中極化激元凝聚的相關研究也引起了人們的關注,非周期性勢場最經典的例子是Bessel 型光晶格(Bessel lattice,BL).BL 可由非衍射Bessel 光束產生,Bessel 光束或稱為無衍射光束由Durnin[19]于1987 年首先提出,可由計算機生成的全息圖[20]或者錐形棱鏡[21]產生.由于晶格誘導場的衍射受到抑制,類似于諧波晶格的情況,使得這種柱對稱的徑向非周期的晶格顯得特別重要.

物質波孤立子是一種重要的非線性局域態(tài),能長時間保持形狀和能量不隨時間變化,包括明孤立子、暗孤立子和渦旋孤立子等.有很多理論工作研究了BL 中孤立子的類型、結構、穩(wěn)定性和動力學行為.在散焦立方非線性介質中,由BL 可以支持靜態(tài)的、旋轉多極模孤立子和多環(huán)結構多極模孤立子[22].在自聚焦介質中由BL 可以支持穩(wěn)定的三維孤立子,如果晶格強度超過某一閾值,孤立子在其范數的一個或兩個區(qū)間內是穩(wěn)定的[23].在立方-五次方非線性介質中,BL 可以支持渦旋孤立子、多極孤立子和“項鏈”形孤立子[24].在立方非線性介質中,BL 可以支持在自然界中非常罕見的、具有明亮形狀的、穩(wěn)定的環(huán)形渦旋孤立子,由于BL 的存在,這種環(huán)形渦旋孤立子是動態(tài)穩(wěn)定的[22].Kartashov等[25]研究了BL 中渦旋孤立子家族的顯著特性,并給出了它們的穩(wěn)定性條件,結果表明,孤立子拓撲荷數越高,使其穩(wěn)定所需的晶格深度越大.另外,BL 中線性和非線性情況下基礎孤立子和多極孤立子的穩(wěn)定性被研究,在線性情況下,通過數值方法求解了不同深度的BL 對應的本征值和本征函數,在非線性情況下,研究了基礎孤立子和多極孤立子的存在性和穩(wěn)定性[26].

綜上所述,本文將BL 勢場引入極化激元凝聚系統(tǒng),研究在BL 勢場囚禁下雙組分旋量極化激元凝聚系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構.第2 節(jié)首先介紹了BL 勢場的數學模型及其基本特征,然后給出了描述雙組分旋量極化激元凝聚系統(tǒng)的GP (Gross-Pitaevskii)方程,并闡述了GP 方程中各參數的物理意義及其取值范圍,最后介紹了求解GP 方程的數值算法.第3 節(jié)研究了實驗室坐標系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構.第4 節(jié)研究了旋轉坐標系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構.第5 節(jié)研究了BL 勢場中多極孤立子的旋轉穩(wěn)定性.最后,第6 節(jié)給出了主要結論.

2 模型和方程

本節(jié)首先介紹BL 勢場的數學模型及其主要特點,然后給出描述極化激元凝聚動力學的主要方程,并闡述方程中各參量和函數的物理意義和取值范圍,最后介紹求解方程的數值方法.

2.1 Bessel 型光晶格

圖1 不同階數n 的Bessel 型光晶格勢場的空間分布(a) n=0;(b) n=1;(c) n=2;(d) n=3 .x,y ∈[-8,8].勢場的數學表達式為其中V0=1,b=0.5Fig.1.The BL potentialwith different n:(a) n=0;(b) n=1;(c) n=2;(d) n=3 .x,y ∈[-8,8],V0=1,b=0.5.

高階(n≥1) BL 的最小值分布在靠近勢場中央(勢場中央是勢壘)的第一圓環(huán)處(圖1(b),(c),(d)中黑色部分),第一圓環(huán)的半徑隨階數n的增大而增加,其深度隨階數n的增加而減小,高階BL 在第一圓環(huán)處形成環(huán)狀淺勢阱,其特點是在中央存在“倒鐘形”勢壘.高階BL 中,除第一圓環(huán)外,其他圓環(huán)都由環(huán)狀勢壘彼此分割.因此,為了維持相同的勢阱深度,高階BL 需要更大的勢阱強度.需要指出的是,中央深勢阱和環(huán)狀淺勢阱的寬度可以通過徑向收縮因子b調節(jié),在沒有特別指出的情況下,計算過程中均取b=0.5.另外,高階BL 的勢阱深度和勢場強度不一致,勢阱深度由勢場最小值和勢場強度共同決定.如n=3 時,勢場最小值為-0.2,為了維持和n=0 時具有相同的勢阱深度,其勢場強度應取V0=5.

2.2 Gross-Pitaevskii 方程

由于極化激元具有有限壽命以及極化激元之間存在散射,因此極化激元凝聚是非平衡系統(tǒng)[27],其動力學通常用由衰減和泵浦引起的非厄米平均場近似理論描述[28].但是,如果極化激元凝聚達到穩(wěn)定狀態(tài),其中的泵浦和衰減達到動態(tài)平衡,可以看成是準保守系統(tǒng)[16].另外,在自旋極化激元凝聚系統(tǒng)中,包含兩種自旋特征的分量,假定描述雙組分極化激元凝聚系統(tǒng)的波函數為ψ=(ψ1,ψ2)T,其滿足的Gross-Pitaevskii 方程的無量綱形式為[14,29]無量綱過程中,空間、時間和能量單位分別是x0=1 μm,t0=1.9ps 以及ε0=0.35 meV[16].勢能項α表示由腔誘導TE-TM分裂引起SO 耦合強度[30].g1=g2=1 表示同種自旋組分內部極化激元之間存在排斥相互作用.g12=-0.05表示兩種自旋組分極化激元之間存在微弱的吸引相互作用,由于組分之間的相互作用十分微弱,因此組分之間的相互作用對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)結構不起決定作用.

考慮到要計算極化激元凝聚由于旋轉引起的穩(wěn)態(tài)結構,以及穩(wěn)態(tài)結構在旋轉過程中隨時間的演化情況,因此選取旋轉坐標系 (x′,y′) 是十分方便的,具體旋轉方案可以參考文獻[31].旋轉坐標系和實驗室坐標系 (x,y)之間的關系為x′=xcos(Ωt)+ysin(Ωt),y′=ycos(Ωt)-xsin(Ωt),其 中Ω表 示旋轉坐標系相對于實驗室坐標系的旋轉角速率.在不至于混淆的前提下,采用相同的符號x,y表示兩種坐標系,如果Ω=0表示實驗室坐標系,Ω/=0表示旋轉坐標系.在旋轉坐標系中,會在方程(1)中 引 入-Ωz項[32,33],其 中(?=1)表示角動量z方向分量算符,則-Ωz=iΩ(x?y-?x).

2.3 計算方法和參數選擇

為了得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構,利用虛時演化方法[34]求解方程(1).虛時演化方法求解方程(1)需要選擇合適的初始條件,雖然初始條件的選擇不會影響最終穩(wěn)態(tài)結構,但是合適的初始條件會使得計算程序盡快地收斂到最終的穩(wěn)態(tài)結構[35].在實驗室坐標系中,常見的初始條件包括高斯型波包和TF近似求解方程(1)得到的解析解.在旋轉坐標系中,初始條件的選擇沒有確定的結論,文獻[35]提出了高斯型波包和量子化渦旋的疊加態(tài)作為初始條件,疊加態(tài)中的比例系數分別是 1-Ω和Ω.

為了計算多極孤立子穩(wěn)態(tài)結構,本文采用了正反渦旋疊加態(tài)[36]

作為初始條件,其中α,β是實數,使得α2+β2=1,其平方表示正反渦旋在疊加態(tài)中所占的比重,為了方便,取w是高斯波包的寬度,l1和l2分別表示正反渦旋的角動量量子數,對應的角動量分別是l1?,l2?.

勢場結構和系統(tǒng)參數對穩(wěn)態(tài)結構有重要影響.BL 的兩個參數分別是勢場強度V0和徑向收縮因子b,通過調節(jié)這兩個參數,可以改變勢場的結構,進而在其中形成對應的穩(wěn)態(tài)結構.系統(tǒng)參數包括組分之間極化激元間的相互作用和組分內部極化激元間的相互作用,以及SOC 相互作用,在本文計算過程中,固定g1=g2=1,g12=-0.05,即組分內部有較強的排斥相互作用,而組分之間只有微弱的吸引相互作用,即可調節(jié)的系統(tǒng)參數只有SOC 相互作用.另外,旋轉參考系的旋轉角速率在旋轉參考系中也是重要的參數,其取值范圍選擇Ω ∈[0,1].

3 實驗室坐標系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構

本節(jié)在實驗室坐標系中求解無SOC 作用和有SOC 作用時極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構.

3.1 無SOC 作用時實驗室坐標系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構

實驗室坐標系中,Ω=0.首先計算0 階Bessel勢場(n=0)中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構,該勢場在中央形成深勢阱,中央深勢阱類似于拋物型勢阱,又不完全相同于拋物型勢阱,中央深勢阱的深度可以通過勢場強度調節(jié),而拋物型勢阱是無限深勢阱.0 階Bessel 勢場(n=0)中的穩(wěn)態(tài)結構如圖2所示,圖2(a)給出的是高斯型孤立子密度分布,高斯型孤立子屬于拋物型勢阱對應的本征態(tài),屬于基礎孤立子類型,維持高斯型孤立子的勢場強度是V0=1.圖2(b)和圖2(c)表示多極孤立子密度分布,分別對應偶極和四極孤立子,可以看出,維持多極孤立子需要更大的勢場強度,由于0 級Bessel勢場的中央深勢阱深度和勢場強度一致,即維持多極孤立子需要更深的中央勢阱.假定多極孤立子的極 數 用np表 示,則np=2時,V0=4;np=4 時,V0=20,隨著極數的增加,勢場強度增大,而且在中央深勢阱中很難支撐極數較大的多極孤立子,即使勢場強度再大.圖2(c)的計算范圍是x,y ∈[-3,3],而圖2(a)和圖2(b)的計算范圍是x,y ∈[-8,8],可以看出,隨著勢場強度的增加,多極孤立子越來越局域化,占據的空間范圍越小,與之對應的密度分布的最大值隨之增加.另外需要指出的是,多極孤立子相鄰極對應的相位是反相的,圖2(d)所示是和圖2(c)對應的相位分布,可以看出,相位在0 和π之間交替變化.

圖20 階BL 中央深勢阱中的(a)高斯型孤立子、(b)偶極孤立子和(c)四極孤立子的密度分布;(d)與圖(c)對應的相位分布.圖(a)和圖(b)的計算范圍是 x,y ∈[-8,8],圖(c)和圖(d)的計算范圍是 x,y ∈[-3,3],BL 參數分別是(a) V0=1;(b)V0=4,b=0.4;(c),(d)V0=20Fig.2.Densities of (a) Gassian,(b) dipolar,(c) quadrupolar solitons and (d) the phase of the quadrupolar soliton in the central deep potential well of the BL,where x,y ∈[-8,8]for panels (a) and (b),x,y ∈[-3,3]for panels (c) and (d).Values of other parameters are V0=1for panel (a),V0=4,b=0.4for panel (b),V0=20 for panels (c) and (d).

除中央深勢阱外,環(huán)狀淺勢阱的特點是深度隨著Bessel 晶格勢場階數n的增加而減小,半徑隨著階數n的增加而增加.環(huán)狀淺勢阱中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構如圖3 和圖4 所示.圖3 給出的是環(huán)狀孤立子,可以看出,淺勢阱中環(huán)狀孤立子的結構完全依賴于環(huán)狀勢阱,其半徑隨著階數n的增加而增大.維持穩(wěn)定環(huán)狀孤立子結構的勢場強度隨著階數n的增大而增加.另外,由于本文選擇保守系統(tǒng),粒子(極化激元,下同)數應該守恒,隨著BL 階數n的增加,分布范圍(環(huán)形寬度不變,半徑增加)隨之增加,因此環(huán)狀孤立子的最大密度隨著階數n的增加而減小.環(huán)狀淺勢阱中極化激元凝聚的多極孤立子穩(wěn)態(tài)結構如圖4 所示,和中央深勢阱相比,環(huán)狀勢阱中央存在勢壘,可以阻止粒子向中央移動,更易于多極孤立子的形成.圖4 給出多極孤立子的極數np=2,4,6,8,10,12,可以看出,極數是偶數.實際上,這種多極孤立子可以看成是正反渦旋的疊加態(tài),當l1=l2=l時,形成疊加態(tài)的極數是 2l,此時正反渦旋的角動量彼此抵消,整體的角動量為0,如果l1/=l2,可以形成極數為奇數的疊加態(tài),但是l1/=l2,整體疊加態(tài)有剩余凈角動量,因此穩(wěn)定的多極孤立子是極數為偶數、整體角動量為0 的穩(wěn)態(tài)結構.

圖3 BL 環(huán)狀淺勢阱中極化激元凝聚環(huán)狀孤立子穩(wěn)態(tài)結構的密度分布 |ψ1,2|2隨階數n 的變化,計算范圍 x,y ∈[-8,8],角速率Ω=0,SOC 作用強度 α=0.BL 參數分別是 (a) V0=10,n=1;(b) V0=10,n=2;(c)V0=20,n=3Fig.3.Densities |ψ1,2|2of ring-shaped solitons in the ring-shaped shallow potential well of the BL with different (V0,n) :(a) (10,1);(b) (10,2);(c) (20,3).x,y ∈[-8,8],Ω=0,α=0.

圖4 BL 環(huán)狀淺勢阱中極化激元凝聚多極孤立子穩(wěn)態(tài)結構的密度分布 |ψ1,2|2,計算范圍 x,y ∈[-8,8],角速率 Ω=0,SOC 作用 強 度 α=0,n=3 .V0 和 np分 別 是 (a) V0=30,np=2;(b) V0=30,np=4;(c) V0=30,np=6;(d) V0=60,np=8 ;(e) V0=60,np=10;(f)V0=70,np=12Fig.4.Densities (|ψ1,2|2) of multipole solitons in the ring-shaped shallow potential well of BL with different (V0,np) :(a) (30,2);(b) (30,4);(c) (30,6);(d) (60,8);(e) (60,10);(f) (70,12).x,y ∈[-8,8],Ω=0,α=0,n=3.

另外,在同一階數的Bessel 勢場中可以形成極數不同的多極孤立子,圖4 中BL 勢場的階數是n=3,可以看出,多極孤立子的極數np隨著勢場強度的增加而增大,較大極數的多極孤立子需要較強的勢場強度,即某一勢場強度能維持多極孤立子的極數是確定的.如V0=30 維持的多極孤立子的最大極數是np=6,V0=60 維持的多極孤立子的最大極數是np=10,而當np=12 時,需要的勢場強度V0=70.另外,需要指出的是,同一勢場強度可以維持不同極數的多極孤立子,勢場強度和極數之間并沒有一一對應的關系.如V0=30 可以維持np≤6的多極孤立子,V0=60可以維持np≤10 的多極孤立子,V0=70至少可以維持np≤12 的多極孤立子.最后,多極孤立子各極的最大密度隨np沒有較大變化,在Bessel 勢場環(huán)狀淺勢阱中形成的多極孤立子各極隨角度均勻分布,邊緣清晰,各極所占空間范圍隨著np的增加而減小.相位分布和圖2(d)結果一致,多極孤立子相鄰極相位反相,相位在0 和 π 之間交替變化.

3.2 SOC 作用對實驗室坐標系中極化激元凝聚穩(wěn)態(tài)結構的影響

圖5 和圖6 給出了存在SOC 作用時實驗室坐標系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構.圖5 給出了SOC作用對中央深勢阱中基礎孤立子結構的影響,不存在SOC 作用時,基礎孤立子呈柱對稱分布,當出現SOC 作用時,基礎孤立子在y方向被壓縮,隨著SOC 作用系數α的增加,這種壓縮趨勢變得強烈,基礎孤立子的中心密度也隨之增加,如圖5(a),和圖5(b)所示.當SOC 作用系數α繼續(xù)增加,如接近0.5 時,基礎孤立子在x方向和y方向同時被壓縮,y方向壓縮的程度更大,如圖5(c)所示.當α非常接近0.5 時,基礎孤立子開始分裂,除了中央主要部分外,有少部分粒子圍繞在中央部分外側,并且關于x軸分離對稱,如圖5(d)所示.

圖5 BL 勢場中央深勢阱中基礎孤立子穩(wěn)態(tài)結構的密度分布 |ψ1,2|2隨SOC 作用強度α 的變化 (a) α=0.3;(b) α=0.4 ;(c) α=0.495;(d) α=0.499.計算范圍 x,y ∈[-3,3],BL 參數為 V0=1.0,n=0,角速率Ω=0Fig.5.Densities |ψ1,2|2of fundamental solitons in the central deep potential well of the BL with different α:(a) α=0.3 ;(b) α=0.4;(c) α=0.495;(d) α=0.499.x,y ∈[-3,3],Ω=0 ,V0=1.0,n=0.

圖6 給出了SOC 作用對環(huán)狀淺勢阱中環(huán)狀孤立子的影響,可以看出,相同強度的SOC 作用對不同階數Bessel 光晶格勢場中環(huán)狀孤立子結構的影響一致,使得不存在SOC 作用時的完全柱對稱的環(huán)狀孤立子結構在y方向發(fā)生分裂,分裂間隙隨著階數n的增大而增加.從穩(wěn)態(tài)結構的密度分布可以看出,SOC 作用影響下的穩(wěn)態(tài)結構類似于偶極孤立子,但是從相位圖6(d)可以看出,該穩(wěn)態(tài)結構的相位圖完全不同于偶極孤立子的相位分布,相位分布的極數是密度分布極數的2 倍,相鄰極所對應的相位在0 和約 0.86 之間交替變化,而偶極孤立子的相位在0 和 π 之間交替變化.

圖6 存在SOC 作用時,不同階數BL 勢場環(huán)狀淺勢阱中極化激元凝聚穩(wěn)態(tài)結構的密度分布 |ψ1,2|2.計算范圍 x,y ∈[-8,8],角速率 Ω=0,SOC 作用強度 α=0.2.BL 參數分別是 (a) V0=10,n=1;(b) V0=10,n=2;(c),(d)V0=20,n=3Fig.6.In the presence of SOC,the densities (|ψ1,2|2) of stationary state structures in the ring-shaped shallow potential well of the BL with different V0 and n:(a) V0=10,n=1;(b) V0=10,n=2;(c),(d) V0=20,n=3 .x,y ∈[-8,8],Ω=0,α=0.2.

4 旋轉坐標系中極化激元凝聚系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構

研究旋轉坐標系中極化激元系統(tǒng)的運動時,實驗室坐標系是靜系,旋轉坐標系相對于靜系以角速率Ω旋轉是動系.旋轉坐標系中的穩(wěn)態(tài)結構指的是觀察者處于動系中時觀察到的極化激元凝聚的密度分布,根據運動的相對性,這種密度分布也可以看成是旋轉坐標系不動,而極化激元凝聚旋轉引起的,其旋轉角速率是-Ω.

4.1 旋轉坐標系中環(huán)狀淺勢阱中的渦旋孤立子

為了討論極化激元凝聚系統(tǒng)的旋轉狀態(tài),引入了旋轉坐標系(x′,y′),其旋轉角速率是Ω.在旋轉參考系中,可以得到渦旋孤立子.圖7 給出了不存在SOC 作用時環(huán)狀淺勢阱中渦旋孤立子的穩(wěn)態(tài)結構,可以看出,不存在SOC 作用時,兩種組分形成對稱的穩(wěn)態(tài)結構,即|ψ1|2=|ψ2|2,上述實驗室坐標系中的穩(wěn)態(tài)結構皆是如此.由于受到環(huán)狀淺勢阱的束縛,環(huán)狀渦旋孤立子和環(huán)狀孤立子的密度分布相同,從密度分布上不能區(qū)分是環(huán)狀孤立子還是環(huán)狀渦旋孤立子.圖7(a)表示旋轉坐標系角速率Ω=0.05時形成的渦旋孤立子的密度分布,圖7(b)表示與之對應的相位分布,可以清楚地看出,渦旋孤立子中渦旋對應相位分布中的奇點,相位圍繞奇點從0 到 π 均勻變化.圖7(b)表示旋轉坐標系角速率Ω=0.1 時形成的渦旋孤立子的密度分布,圖7(d)表示與之對應的相位分布,可以看出,相位在奇點周圍經歷了兩次從0 到 π 的均勻變化,這種變化次數和環(huán)狀渦旋孤立子對應的角動量成正比,角速率為0.1 時對應渦旋孤立子的角動量是角速率為0.05時形成渦旋孤立子角動量的2 倍.

圖7 無SOC 作用,旋轉坐標系中,處于BL 環(huán)狀淺勢阱中極化激元凝聚的渦旋孤立子結構的密度((a),(c))和相位((b),(d))分布,BL 參數為 V0=10,n=3,計算范圍 x,y ∈[-8,8],α=0.角速率分別是0.05((a),(b))和0.1((c),(d))Fig.7.In the absence of SOC,the densities ((a),(c)) and phases ((b),(d)) vortex solitons in the ring-shaped shallow potential well of the BL in the rotating coordinate frame with different Ω (0.05 for panels (a) and (b),and 0.1 for panels (c) and (d)),where x,y ∈[-8,8],α=0 ,V0=10,n=3.

圖8 是存在SOC 作用時,環(huán)狀淺勢阱中渦旋孤立子的穩(wěn)態(tài)結構.可以看出,當存在SOC 作用時,兩組分之間發(fā)生了組分分離,這和無SOC 作用系統(tǒng)的組分分離條件是不一致的,無SOC 作用系統(tǒng)的組分分離條件是＞g1g2[37],而本文所給的參數并不滿足這一條件,因此在存在SOC 作用的系統(tǒng)中,由于SOC 作用的存在,不滿足條件1g2時,組分之間也發(fā)產生了分離.另外可以看出,當系統(tǒng)中存在SOC 作用時,在旋轉坐標系中,環(huán)狀淺勢阱中兩組分形成不對稱的(|ψ1|2/=|ψ2|2)穩(wěn)態(tài)結構.

圖8(a)表示旋轉角速率為Ω=-0.15 時環(huán)狀淺勢阱中的極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結構.第一組分的密度分布|ψ1|2呈現類似于偶極孤立子的結構,偶極孤立子的兩極關于x軸分離對稱.|ψ1|2對應的相位分布呈不規(guī)則的區(qū)域顯示,每個區(qū)域內相位是從0 到 π 變化,但是每個區(qū)域的邊緣不規(guī)則,而且每個區(qū)域對應的相位奇點也不重合.第二組分的密度分布|ψ2|2也呈現類似于偶極孤立子的分布,但是兩極沒有完全分離,關于y軸對稱,相位分布和第一組分具有相同特點.整體上看,兩個組分發(fā)生了組分分離,第一組分上下布局,第二組分左右布局.

圖8 存在SOC 作用時,不同角速率下形成的渦旋孤立子的密度和相位分布 (a) —0.15;(b) 0;(c) 0.15.計算范圍x,y ∈[-8,8],α=0.1 ,V0=10,n=3Fig.8.In the presence of SOC,the densities and phases of vortex solitons in the ring-shaped shallow potential well of the BL with different Ω :(a) —0.15;(b) 0;(c) 0.15.x,y ∈[-8,8] ,V0=10,n=3,α=0.1.

圖8(b)表示旋轉角速率為0 時環(huán)狀淺勢阱中的穩(wěn)態(tài)結構,兩組分呈對稱分布,即|ψ1|2=|ψ2|2,其特點在第3.1 節(jié)做了分析,兩組分的相位分布相差 π/2 角度,即第二組分的相位分布相對于第一組分的相位旋轉了 π/2 角度.圖8(c)表示旋轉角速率為Ω=0.15 時環(huán)狀淺勢阱中的穩(wěn)態(tài)結構,和圖8(a)的旋轉方向相反,可以看出,由于SOC 作用的存在,相比于圖8(a),兩組分的密度和相位分布剛好完全交換.因此,對于存在SOC 作用的體系,環(huán)狀淺勢阱中渦旋孤立子的基態(tài)結構對于角速率不是完全對稱的,而是反對稱的,即|ψ1(Ω)|2=|ψ2(-Ω)|2,|ψ2(Ω)|2=|ψ1(-Ω)|2.

4.2 BL 的徑向縮放因子對旋轉系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)結構的影響

如上所述,當存在SOC 作用時,在環(huán)狀淺勢阱中的渦旋孤立子會產生組分分離使系統(tǒng)形成非對稱的穩(wěn)態(tài)結構,這種組分分離現象在實驗室坐標系中并不會產生,在實驗室坐標系中形成對稱的穩(wěn)態(tài)結構.本節(jié)討論坐標系高速 (Ω ≈1) 旋轉情況下,BL 勢場的徑向縮放因子b對中央深勢阱中渦旋穩(wěn)態(tài)結構的影響,縮放因子可以通過調節(jié)深勢阱的寬度改變勢場的結構進而影響穩(wěn)態(tài)結構.

圖9(a)給出了b=0.1 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構,b的數值越小,勢阱寬度越大,可以看出,兩組分發(fā)生了完全的柱對稱組分分離,組分1 占據深勢阱的中央位置,而組分2 環(huán)繞在組分1 周圍,而且組分1 的密度最大值遠大于組分2 的密度最大值,1.405/0.1289≈11,即組分1 的密度最大值大約是組分2 密度最大值的11 倍.

圖9(b)給出了b=0.2 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構,隨著b值的增加,勢阱寬度減小,囚禁范圍減小,可以看出,兩組分所占據的空間范圍減小,兩組分的主要部分(密度分布較大的區(qū)域)也發(fā)生了組分分離,組分1 的密度空間分布沒有很大變化,而相位分布有了變化,獨立的4 個相位區(qū)域均勻分布,相位大小交替變化.組分2 的主要部分形成了上下對稱的偶極孤立子形式,而其余部分在中央形成了相鄰的兩個渦旋,在相位圖上可以清楚地看出,兩組相位從0 到 π 變化區(qū)域,但是相位奇點沒有完全重合.

圖9 BL 勢場的徑向縮放因子b 對中央深勢阱中渦旋穩(wěn)態(tài)結構的密度和相位的影響 (a) b=0.1;(b) b=0.2;(c) b=0.3 ;(d) b=0.4.計算范圍 x,y ∈[-2,2],SOC 作用強度 α=0.4,BL 參數為 V0=40,n=0,旋轉角速率Ω=0.95Fig.9.Densities and phases of stationary vortex structures in the central deep potential of the BL with different b:(a) b=0.1 ;(b) b=0.2;(c) b=0.3;(d) b=0.4.x,y ∈[-2,2],α=0.4 ,V0=40,n=0,Ω=0.95.

圖9(c)給出了b=0.3 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構,隨著b值繼續(xù)增加,勢阱寬度繼續(xù)減小,囚禁范圍繼續(xù)減小,可以看出,兩組分所占據的空間范圍進一步縮小,整體上看,兩組分沒有完全組分分離,兩組分都在深勢阱中央部分有分布,組分1 全部分布在勢阱中央部分,而組分2 呈“紡錘”型沿著y方向分布,沿x方向有兩個渦旋對稱分布.兩組分的相位分布相對于圖9(b)沒有顯著變化.

圖9(d)給出了b=0.4 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構,兩組分的密度分布相對于圖9(c)無顯著變化,只是組分2 的“紡錘”型分布沿y方向.組分1 的相位分布由反對稱的上下兩部分構成,組分2 的兩個從0 到 π 的相位變化區(qū)域奇點關于x軸分離對稱分布.

5 BL 勢場中多極孤立子的旋轉穩(wěn)定性

第3 節(jié)給出了實驗室坐標系中,在Bessel 勢場的中央深勢阱和環(huán)狀淺勢阱中可以形成多極孤立子,由于環(huán)狀淺勢阱存在中央勢壘,能阻止粒子向勢場中心靠攏,從而更容易形成多極孤立子.第4 節(jié)研究了旋轉坐標系中渦旋孤立子的穩(wěn)態(tài)結構.本節(jié)研究第3 節(jié)中給出的多極孤立子的穩(wěn)定性,即讓多極孤立子以一定的角速率長時間旋轉,檢驗其保持整體性的能力.

檢驗多極孤立子穩(wěn)定性的一個有效方法是觀察其長時間演化行為,如果其密度分布的整體性和相對結構不隨時間變化,則極化激元凝聚系統(tǒng)是穩(wěn)定的,否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.圖10 為旋轉角速率為Ω=0.1時,幾種模式的多極孤立子在t ∈[0,100]區(qū)間內旋轉的過程中其密度分布隨時間的變化.圖10(a)和圖10(b)表示的是在中央深勢阱中形成的偶極和四極孤立子密度分布隨時間的演化情況.從圖10(a)可以看出,中央深勢阱中形成的偶極孤立子在長時間的旋轉演化過程中密度分布的相對位置和結構保持不變,偶極孤立子是旋轉穩(wěn)定的.為了觀察其旋轉細節(jié),給出了時間間隔 Δt=25 時的密度分布,可以看出,偶極孤立子整體做類似于剛體的勻速旋轉運動,更進一步證實了其穩(wěn)定性.

圖10(b)給出了中央深勢阱中形成的四極孤立子的旋轉情況,可以看出在t ∈[0,22.5]區(qū)間內保持完整的剛體勻速旋轉運動,但是,當t=30 時,四極孤立子突然塌縮.一方面,在Bessel 勢場的中央深勢阱中很難形成極數較多的多極孤立子,如在本文給定的條件下,形成了np=2 的偶極孤立子;另一方面,在Bessel 勢場的中央深勢阱中形成的極數較多的孤立子是不穩(wěn)定的,如本文給定的條件下,偶極孤立子是穩(wěn)定的,而四極孤立子是不穩(wěn)定的.

圖10(c),(d)給出了Bessel 勢場中環(huán)狀淺勢阱中形成的多極孤立子的旋轉過程.圖10(c)表示環(huán)狀淺勢阱中四極孤立子在t ∈[0,100]區(qū)間內旋轉過程中密度分布隨時間的變化過程,同樣地,給出時間間隔 Δt=25 時的密度分布,可以看出,旋轉過程中,四極孤立子保持了整體的剛性勻速旋轉,密度分布的四極之間的相對位置沒有變化,密度分布的最大值也保持恒定.

圖10 BL 勢場中多極孤立子在旋轉過程中,密度分布 |ψ1,2|2隨時間變化,旋轉角速率為Ω=0.1Fig.10.Evolution dynamics of the multipolar solitions in the BL with Ω=0.1.

圖10(d)給出了np=12 的多極孤立子的旋轉過程,可以看出,其旋轉過程中保持了很好的完整性,內部各部分之間相對位形保持不變,因此,環(huán)狀淺勢阱中形成的多極孤立子具有良好的穩(wěn)定性.另外,隨著np的增加,穩(wěn)定的多極孤立子的密度分布在空間形成類似儀表的刻度,能更好地標識旋轉運動的角位置,進而根據多極孤立子旋轉角速率和坐標系旋轉角速率之間的關系,確定坐標系旋轉運動的角速率,基于此,有人提出了多極孤立子陀螺的概念[38].

6 結論

BL 勢場具有環(huán)狀勢阱和無限深勢阱的雙重性質,0 階BL 在勢場中央形成類似于拋物型勢阱的深勢阱,而高階BL 在第一圓環(huán)處可以形成環(huán)狀淺勢阱,這種環(huán)狀淺勢阱由于中央存在勢壘,能阻止粒子向中央聚集.BL 勢場是非周期性勢場,柱對稱的BL 勢場中央深勢阱和第一圓環(huán)處的淺勢阱更具有特殊性,可以通過勢場強度和徑向縮放因子分別調節(jié)中央深勢阱和環(huán)狀淺勢阱的深度和寬度,使得粒子被牢固地束縛在其中形成多種構型的穩(wěn)態(tài)結構.另外,極化激元系統(tǒng)甚至可以在室溫下發(fā)生相變形成極化激元凝聚,這種能在室溫下實現凝聚的系統(tǒng)給量子物理研究帶來了十分優(yōu)越的平臺,而在其中通過TE-TM 分裂形成具有較強SOC 作用的雙組分旋量極化激元凝聚系統(tǒng),SOC 作用的引入使得系統(tǒng)多了一個自由度,可以通過調節(jié)SOC強度改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構.

本文把BL 引入具有SOC 作用的雙組分旋量極化激元系統(tǒng),研究了實驗室坐標系和旋轉坐標系中極化激元凝聚系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結構包括基礎型孤立子(高斯孤立子)、多極孤立子、靜態(tài)環(huán)狀孤立子和渦旋環(huán)狀孤立子.由于多極孤立子在量子導航領域具有潛在應用,本文也驗證了多極孤立子的穩(wěn)定性,在BL 勢場的環(huán)狀淺勢阱中形成的多極孤立子具有良好的穩(wěn)定性,能在旋轉坐標系中保持穩(wěn)定和結構的完整性.