■貴州省鎮(zhèn)寧民族中學(xué) 曾凡彩

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，體驗(yàn)、思考和表達(dá)在同一個(gè)問(wèn)題的發(fā)生過(guò)程中是相互依存、不可分割的。因此，要想加快實(shí)現(xiàn)“三教理念”下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂“一題多解”的問(wèn)題研究，需要注重對(duì)新課標(biāo)下的多元化的核心素質(zhì)需求加以落實(shí)，以此實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的案例教學(xué)研究，另外還可以創(chuàng)新教師的教學(xué)理念，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面素質(zhì)培養(yǎng)。本文將對(duì)高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的案例展開具體性的闡述，進(jìn)一步分析基于“三教理念”下，學(xué)生在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一題多解”過(guò)程中，凸顯出數(shù)學(xué)思維的活躍性、實(shí)踐活動(dòng)性、表達(dá)準(zhǔn)確性的特點(diǎn)。如何在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)上加快實(shí)現(xiàn)“三教”理念的落地生根是當(dāng)下教師團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)該思考的問(wèn)題，需要教師在具體的教學(xué)實(shí)踐中深入探討，為最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ)。

一、“一題多解”的內(nèi)涵及重要性

“一題多解”指在同一道數(shù)學(xué)題的計(jì)算基礎(chǔ)上，從多個(gè)角度出發(fā)形成解題思路，然后得出問(wèn)題的答案。在高中教育階段及數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生必須具備一定的一題多解能力，然后結(jié)合自身的學(xué)習(xí)實(shí)踐，在掌握一題多解內(nèi)涵上突破課堂教育。一題多解的內(nèi)涵是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂實(shí)踐中的重要組成部分，能在多種解題思路以及方法解答的運(yùn)用中對(duì)題目進(jìn)行多個(gè)層次的分析，結(jié)合關(guān)鍵的研究對(duì)象展開多角度的調(diào)查，最終發(fā)現(xiàn)各個(gè)角度的切入點(diǎn)與突破點(diǎn)。另外，一題多解在高中數(shù)學(xué)課堂的作用下，能有效拓展學(xué)生和教師的解題思路，并且實(shí)現(xiàn)發(fā)散性思維能力與解題水平的提高。除此之外，在一題多解方法的不同角度下，往往會(huì)涉及多個(gè)層面的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，由此看來(lái)，一題解在學(xué)生綜合能力掌握及知識(shí)運(yùn)用的方面能發(fā)揮出提升作用。經(jīng)過(guò)一題多解的課堂訓(xùn)練后，學(xué)生能在數(shù)學(xué)問(wèn)題的線索及思路中找到多種簡(jiǎn)單的解法，這也是一題多解能力提升的具體表現(xiàn)。

二、高中數(shù)學(xué)解題的常見問(wèn)題

在高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，由于思維能力等方面的原因，學(xué)生很容易因?yàn)橐韵聠?wèn)題出現(xiàn)解題思路錯(cuò)誤的情況：

（一）容易混淆題目概念

由于當(dāng)前數(shù)學(xué)考試和練習(xí)大多都是對(duì)基本知識(shí)和基本概念的考查，許多學(xué)生解題錯(cuò)誤還是由于對(duì)基本知識(shí)記憶不牢以及概念混淆而導(dǎo)致的，比如，關(guān)于集合部分的學(xué)習(xí)中，對(duì)于需要計(jì)算的部分少之又少，基本都是對(duì)基礎(chǔ)概念的掌握、對(duì)數(shù)字或者算式進(jìn)行分類。例如，復(fù)數(shù)部分的相關(guān)知識(shí)：對(duì)于一個(gè)常規(guī)的復(fù)數(shù)表示為虛部和實(shí)部?jī)刹糠?，不過(guò)在對(duì)復(fù)數(shù)方程進(jìn)行解析時(shí)，相當(dāng)一部分學(xué)生就很容易忽視虛根的存在，只看見了實(shí)數(shù)根會(huì)導(dǎo)致答案不完整進(jìn)而丟分。其主要問(wèn)題還是在于學(xué)生對(duì)于主要概念的理解不透徹，一看到復(fù)數(shù)求解方程并沒有想到實(shí)數(shù)解和虛根的概念，比如，x4= 1，求x的值。這個(gè)題目也不算特別復(fù)雜，很多同學(xué)基本就會(huì)寫上+1 和-1，但是忽略了+i和-i這兩個(gè)虛根，其根本原因就是忽視了虛根的概念，對(duì)題目本身的意義和內(nèi)涵不夠重視，因此就無(wú)法對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題作出完整的解答。

（二）缺少多種解題方法應(yīng)用

數(shù)學(xué)問(wèn)題在解答時(shí)往往是比較開放的，大多數(shù)問(wèn)題的解決方法至少有兩個(gè)以上，因此掌握多種解題方法可以在遇見不同條件的問(wèn)題時(shí)能夠選擇最便捷的方法去解決問(wèn)題，從而提高做題效率。但當(dāng)前由于教育模式問(wèn)題，大多數(shù)教師都只教給學(xué)生單一的解題方法，也沒有給學(xué)生充足的思考空間，因此大部分學(xué)生很難掌握多個(gè)解題方法，有的學(xué)生還會(huì)以為當(dāng)前解題方法過(guò)于復(fù)雜導(dǎo)致一些小錯(cuò)誤的發(fā)生。例如，在解析幾何中關(guān)于線和面以及面與面的關(guān)系中，尤其是求夾角度數(shù)的時(shí)候，往往會(huì)有至少兩種解決方法，第一種是利用幾何的方法，第二種則是引入坐標(biāo)系，利用向量來(lái)解答。此時(shí)就需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目所給出的條件進(jìn)行方法選擇，一定要選擇最直觀且最簡(jiǎn)單的方法。若是題目給出的是有規(guī)則的圖形或者有建立坐標(biāo)系的基本條件，就可以利用向量的方法去求解法向量，否則利用幾何的方式更容易解決問(wèn)題。

三、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)“一題多解”思路的必要性

在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)習(xí)需要興趣復(fù)習(xí)，更需要激發(fā)興趣，因此，高中教師應(yīng)結(jié)合當(dāng)下大多數(shù)高中生數(shù)學(xué)興趣不足及課堂現(xiàn)狀，進(jìn)一步探索一題多解思維的創(chuàng)新，讓學(xué)生投入知識(shí)模塊和綜合運(yùn)用解題過(guò)程中。高中數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)難度較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)新東西的同時(shí)難免會(huì)激發(fā)求知欲。因此，學(xué)生和教師都應(yīng)該投入一題多寫課堂中，結(jié)合問(wèn)題情境的導(dǎo)入學(xué)習(xí)新知識(shí)，增加課堂新鮮感。除此之外，在生動(dòng)導(dǎo)入和綜合性題目的解答中認(rèn)識(shí)到一題多解思維的重要性，能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期的做題訓(xùn)練，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?！耙活}多解”在學(xué)好數(shù)學(xué)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力方面發(fā)揮出必要價(jià)值，在一題多解與一題多變形式下的數(shù)學(xué)思維拓展及案例復(fù)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生廣闊性、深刻性、靈活性的數(shù)學(xué)解題思維，這也是提升數(shù)學(xué)成績(jī)的有效途徑。

數(shù)學(xué)課堂能拓展學(xué)生的邏輯思維，并且激發(fā)他們的課堂學(xué)習(xí)效率，因此，教師應(yīng)該加快提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的質(zhì)量。大多數(shù)學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，認(rèn)為數(shù)學(xué)概念與公式相對(duì)死板，在課堂上能聽懂例題和題目，卻不會(huì)做數(shù)學(xué)，不能結(jié)合生活實(shí)際。如果數(shù)學(xué)案例的題目與實(shí)際生活無(wú)關(guān)，那么它就失去了教學(xué)的價(jià)值，因此，在數(shù)學(xué)一題多解的復(fù)習(xí)活動(dòng)中，應(yīng)重視解題過(guò)程的生活化，并且從中帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)探索的興趣。除此之外，學(xué)生還可以在一題多解方法的利用下挖掘和分析題目線索，并且運(yùn)用到多個(gè)模塊的知識(shí)中。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一題多解思路的運(yùn)用，能帶領(lǐng)學(xué)生掌握通性通法，學(xué)生可以在橫向、縱向等多個(gè)角度認(rèn)識(shí)到模塊與知識(shí)之間的聯(lián)系，在能力與經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程中不斷掌握問(wèn)題的解決方法，最終展示出高中數(shù)學(xué)課堂知識(shí)點(diǎn)和一題多解樂趣對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的推動(dòng)作用。

四、一題多解在數(shù)學(xué)案例中的具體運(yùn)用

例1：已知(z-x)2- 4(x-y)(y-z)= 0，證明x、y、z成等差數(shù)列。首先，要想證明x、y、z是等差數(shù)列，必須求出x-y=y-z這個(gè)思路，然后結(jié)合這一結(jié)論，對(duì)題目的已知條件進(jìn)行推導(dǎo)，因此在看到這種數(shù)學(xué)題型的同時(shí)，學(xué)生一般會(huì)選擇用最為直觀的辦法，就是結(jié)合已知條件尋求公式的轉(zhuǎn)換，將公式加以整理，最終得出x、y、z成等差數(shù)列的結(jié)論。其次，學(xué)生在一題多解思維中也會(huì)尋找多個(gè)角度，并且結(jié)合自身學(xué)習(xí)的實(shí)踐產(chǎn)生出個(gè)人看法，證明案例中的結(jié)論。學(xué)生可以根據(jù)已知的條件(z-x)2- 4(x-y)(y-z)=0、z-x、4(x-y)(y-z)，然后再集中篩選具有對(duì)稱輪換的特點(diǎn)，結(jié)合這一特點(diǎn)，使用換元法縮減代數(shù)式中的字母數(shù)量，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化。比如x-y=a，y-z=b，那么x-z=a+b。由此看來(lái)，在上文數(shù)學(xué)案例中的一題多解思路內(nèi)涵及作用下，最為常見和最容易的思路是可靠的，但是也存在固化的呆板現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生的多元思維受限，同時(shí)也會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)解答邏輯，另外，在第二個(gè)解題思路中可以看出換元法的運(yùn)用十分巧妙，學(xué)生能仔細(xì)觀察和善于遷移，并且引入數(shù)學(xué)判斷公式掌握解題技巧，從而帶來(lái)問(wèn)題解決的啟示作用。

五、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)“一題多解”案例的新思考

（一）教思考，引發(fā)學(xué)生“想”

在具體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，教師的教學(xué)模式以及在內(nèi)容上的選擇將會(huì)直接影響學(xué)生對(duì)課堂數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握，“三教理念”在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上的融入與創(chuàng)新，能激發(fā)教師在實(shí)際的教學(xué)任務(wù)中提起對(duì)學(xué)生思維方面的重視。教師應(yīng)該格外注重自身教學(xué)內(nèi)容要能推動(dòng)學(xué)生多元化的問(wèn)題思考，并且進(jìn)一步將學(xué)生掌握的知識(shí)體系加以全面性、深刻性的整合。由此看來(lái)，高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)起到一定的引導(dǎo)作用，引發(fā)學(xué)生在加快掌握數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯的同時(shí)進(jìn)一步整理“一題多解”的脈絡(luò)，再對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)掌握中進(jìn)行多方位的分析與滲透，保障學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會(huì)用“一題多解”的數(shù)學(xué)邏輯思考問(wèn)題。

比如，高中數(shù)學(xué)題型中涉及“充分條件與必要條件”的知識(shí)點(diǎn)，教師可以在課堂實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，充分發(fā)揮想象，在挖掘問(wèn)題本質(zhì)的同時(shí)，加快實(shí)現(xiàn)“一題多解”的教育目標(biāo)；教師可以在利用學(xué)生當(dāng)下邏輯思路的基礎(chǔ)上，為學(xué)生創(chuàng)造自由發(fā)揮的問(wèn)題情境：①楊利偉是第一位登上太空的人，本身?yè)碛械摹吧眢w條件優(yōu)勢(shì)”和“成為宇航員”之間存在怎樣的聯(lián)系？②老師今天生病，我生病是否能好和我吃藥打針之間有什么聯(lián)系？

由此看來(lái)，在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，教師應(yīng)該注重教思考的重點(diǎn)，主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考，并且以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以核心問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，加快實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題思路以及數(shù)學(xué)邏輯上的“想”。學(xué)生在思考的過(guò)程中應(yīng)該加快形成自身的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，在思考問(wèn)題發(fā)生的背景和解題方法的實(shí)踐環(huán)節(jié)中，應(yīng)該積極尋求相對(duì)應(yīng)的解題思路。數(shù)學(xué)本身作為人類思維活動(dòng)中的創(chuàng)造性活動(dòng)，數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造來(lái)源于人類的思考。

（二）教體驗(yàn)，推動(dòng)學(xué)生探本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中提高自身的主動(dòng)創(chuàng)造性，這也充分體現(xiàn)出高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上數(shù)學(xué)體驗(yàn)的重要性，也是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的思考并將思考的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為實(shí)踐的途徑。教師要保障學(xué)生在及時(shí)掌握知識(shí)內(nèi)容和技能的同時(shí)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題以及解決問(wèn)題，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)文體當(dāng)中的邏輯脈絡(luò)。例如，將高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中提到的問(wèn)題展開跟組討論，將其中的結(jié)構(gòu)展示出來(lái)，并且進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題：①y=x+ 2x2+ .... +nxn的公式和為多少；②{an}屬于等差數(shù)列的范疇，其中{bn}作為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，并且a1 =b1 = 3，a2 =b2 = 24。

本題可以使用換元法解決數(shù)學(xué)數(shù)列，數(shù)列公式的推算能得出通項(xiàng)公式的答案，并證明第一個(gè)問(wèn)題，求出來(lái)的公式也就是等差數(shù)列和等比數(shù)列的形式。此外，運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法，將條件的公式整體代入證明最后結(jié)論。還可以巧妙地運(yùn)用題目求證，結(jié)合定義先證后求整體代入。

在題目基礎(chǔ)上，不斷推動(dòng)學(xué)生對(duì)“一題多解”思路的掌握和使用，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。數(shù)列問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的重難點(diǎn)，同時(shí)，該案例的解題思路與方法也是通法，所以結(jié)合已知條件和解答技巧就能求出公式和問(wèn)題的答案。由此看來(lái)，基于“三教理念”的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一題多解”的創(chuàng)新研究，是推動(dòng)學(xué)生進(jìn)一步深化掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)必備的思維活力?！敖趟伎肌⒔腆w驗(yàn)、教表達(dá)”作為“三教理念”的主體內(nèi)容，可以引導(dǎo)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上提高自身的思辨能力，并且將所掌握的理論內(nèi)容進(jìn)行實(shí)踐性的技能強(qiáng)化。

（三）教表達(dá)，加強(qiáng)互動(dòng)與溝通

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上的表達(dá)主要針對(duì)課堂內(nèi)容上的思考和體驗(yàn)之后的結(jié)果，再加上數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)本身屬于特定性的實(shí)踐活動(dòng)，所以教師應(yīng)該格外重視與學(xué)生的教學(xué)互動(dòng)，解答學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的疑惑，并激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，比如，（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1。在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)值上的比較和變化都存在于（1）（2）（3）中。學(xué)生表達(dá)：（1）和（2）的數(shù)列比值存在冪的底數(shù)相同的特點(diǎn)，但是冪的指數(shù)存在差異，（3）的冪的底數(shù)和指數(shù)都不屬于同一行列。教師提出問(wèn)題：請(qǐng)學(xué)生將指數(shù)數(shù)值大小相同的方法陳述出來(lái)。數(shù)學(xué)思想與變量之間的聯(lián)系，能通過(guò)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)尋求問(wèn)題的解答，這也是一種最為基本的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)表現(xiàn)出函數(shù)性質(zhì)和理論的運(yùn)用價(jià)值。

一題多解在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的運(yùn)用，能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，這個(gè)案例就是要求學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中利用問(wèn)題所提供的一切條件進(jìn)行對(duì)比聯(lián)想，并且采取一題多解的形式解答問(wèn)題，數(shù)學(xué)公式在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用也十分重要。學(xué)生在應(yīng)用一題多解時(shí)要注意數(shù)值上的轉(zhuǎn)變以及數(shù)列比值，注重自身的表達(dá)與文字描述，提高對(duì)公式及條件的嚴(yán)謹(jǐn)性。

“三教理念”下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一題多解”的創(chuàng)新性發(fā)展具有現(xiàn)實(shí)性意義，再加上教師在高中數(shù)學(xué)課堂上起引導(dǎo)作用，可以在一定程度上引導(dǎo)學(xué)生將腦海中的“想”轉(zhuǎn)換成“做”，并且將“做”轉(zhuǎn)變成“說(shuō)”，以此在“做”和“說(shuō)”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)課題中展開進(jìn)一步探索，積極發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題。

六、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)中，“三教理念”的應(yīng)用在一定程度上起到推動(dòng)作用；教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)的創(chuàng)新教學(xué)觀念將會(huì)促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)的同一問(wèn)題的解答思路加以創(chuàng)新，逐漸掌握“一題多解”的數(shù)學(xué)邏輯；還可以在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中將多提出的解題過(guò)程相互依存。其中，“三教理念”之間的內(nèi)容上具有難以分割的聯(lián)系和特點(diǎn)，再加上課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中的理念和側(cè)重點(diǎn)存在差異，這種教學(xué)模式可以一方面引發(fā)學(xué)生多角度地思考，另一方面可以不斷充實(shí)學(xué)生知識(shí)解題思路，凸顯出學(xué)生在“三教理念”教學(xué)模式下的主體地位，并充分發(fā)揮出教師在實(shí)踐課堂上的引導(dǎo)作用。