李 勇，王玉川，陳曉雷，王游司

（重慶郵電大學工業(yè)物聯(lián)網與網絡化控制教育部重點實驗室，重慶 400065）

迭代學習控制（Iterative learning control，ILC）是一種適用于在有限時間內重復完成給定任務的智能控制策略［1］。自Arimoto 于1984 年提出ILC以來［2］，受到廣大學者的關注。經過30 余年的發(fā)展，ILC 被廣泛應用于機械臂［3］、智能交通系統(tǒng)［4］、鑄造［5］等重復過程［6］的控制應用中。ILC 作為一種簡單且功能強大的控制策略［7］，經過不斷發(fā)展，已經不再局限于微分方程描述的集總參數(shù)系統(tǒng)［8］，而是擴展到由偏微分方程所描述的分布參數(shù)系統(tǒng)［9］，并在分布參數(shù)系統(tǒng)得到廣泛使用。如文獻［10］建立了以雙曲型、拋物型或橢圓型分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學習控制的設計與分析框架，能夠處理參數(shù)或者非參數(shù)的不確定性。文獻［11］針對一類系數(shù)矩陣不確定但有界的拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)，提出閉環(huán)P型ILC 算法。與集總參數(shù)系統(tǒng)不同，分布參數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量除了時間之外，還有空間變量，這使得其研究更具有挑戰(zhàn)性。

現(xiàn)有的大部分ILC 文獻研究的批次長度固定不變，使得ILC 在實際工程應用受到一定的條件限制，阻礙了ILC 的發(fā)展與應用。而在實際應用中，批次長度可能是隨機變化的，這就意味著學習的過程可能提前結束或者推遲。例如人形機器人的步態(tài)問題［12］和生物醫(yī)學中上肢運動功能電刺激等實際應用［13］。 最近幾年，一些學者針對批次長度隨機變化的ILC 問題做了大量研究［14?16］。其中文獻［17］采用帶有Arimoto?like 增益的P型ILC 算法，使得離散時間線性系統(tǒng)在批次長度隨機變化的情況下，誤差仍能夠沿迭代軸漸進收斂。文獻［18］則針對批次長度隨機變化的離散線性系統(tǒng)中的ILC問題，提出了一種基于迭代平均算子的新型ILC 算法。Zhang 等將批次長度隨機變化的ILC 首次運用于分布參數(shù)系統(tǒng)［19］。然而，現(xiàn)有文獻中尚未有非線性分布參數(shù)系統(tǒng)的批次長度隨機變化的ILC研究。

本文針對一類離散的非線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)，根據(jù)該系統(tǒng)的性質和邊值條件設計了P 型迭代學習控制器，給出了輸出誤差的收斂充分條件，證明所提控制方法在范數(shù)意義下跟蹤誤差的收斂性，并通過仿真驗證了算法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

本文主要研究類離散的非線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)批次長度隨機變化的迭代學習控制問題?？紤]如下的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)

式中：n和t分別為空間和時間的離散變量，1≤n≤N，0≤t≤T，N和T是給定的整數(shù)；k=0、1、2…表示迭代次數(shù)；A、C和D為已知系統(tǒng)參數(shù)；xk、uk、yk∈R 分別表示系統(tǒng)（1）的系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出。f：R×R×[0，T]→R，g：R×[0，T]→R均為非線性函數(shù)，且滿足一致全局Lipschitz 條件

假設1 對于系統(tǒng)（1），任意的期望輸出軌跡yd(n，t)，存在唯一的系統(tǒng)輸入ud(n，t)∈R 使得

假設2 滿足相同的初始條件，即xk(n，0)=xd(n，0)。在實際應用中，初始狀態(tài)的每次迭代可能不會被精確地重置，但偏差在小范圍內變化。

本文主要研究迭代學習控制中批次長度隨機變化的問題，因此必須考慮期望批次長度Td與實際批次長度Tk之間的關系。當Tk＜Td時，輸出信號yk(n，t)不包含t∈[Tk+1，Td]上的信息，這意味著系統(tǒng)輸出信號不完整。當Tk≥Td時，系統(tǒng)可以輸出整個批次長度信號，但是Td之后的信號對于學習而言是冗余和無用的，所以在本文中視Tk≥Td為Tk=Td。

2 算法設計與收斂性分析

2.1 算法設計

設計系統(tǒng)（1）的ILC 方案的難點在于系統(tǒng)的實際批次長度可能與期望的批次長度不同，即批次長度隨機變化。在批次長度隨機變化的情況下，為了描述系統(tǒng)誤差在每一時刻發(fā)生的概率，本文考慮用隨機批次長度發(fā)生的概率來定義系統(tǒng)誤差。

定義1 隨機變量Tk的概率事件分布為

式中：Tm為系統(tǒng)（1）最小迭代長度，Ti為最大迭代長度。

此外，當t∈｛Tk+1，…，Td｝時，隨機變量γk(t)服從伯努利分布，用于表示第k次迭代輸出信息的有無。若γk(t)=1，表示系統(tǒng)輸出在t時刻可測且輸出在｛0，1，…，Tk｝之間有效。Ρ{γk(t)=1 }=q(t)表示系統(tǒng)誤差信息在t時刻可測量的概率。若γk(t)=0，則表示無法獲取t時刻系統(tǒng)輸出誤差的有用信息。此種情況發(fā)生概率為Ρ{γk(t)=0 }=1-q(t)。結合定義1 可得

2.2 收斂性分析

為了便于后續(xù)的收斂性分析，本文給出了以下的引理。

引理1［20］設{v(i)}，{B(i)}，{D(i)}為實數(shù)序列，且i≥0，由

3 仿真實驗

圖1 為系統(tǒng)期望輸出曲面，圖2～4 分別對應在迭代3、5、12 次后跟蹤誤差曲面。為了解變批次長度的ILC 算法對非線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)的控制效果，本文將其與經典迭代學習控制算法［21］相比較。圖2～4 的（a）圖和圖2～4 的（b）圖分別是變批次長度的ILC 算法和經典ILC 在迭代3、5、12 次后的跟蹤誤差曲面。圖5（a，b）分別是變批次長度的ILC 算法和經典ILC 在迭代第3 次和第12 次后的跟蹤誤差曲線。從圖中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，兩種算法的輸出跟蹤誤差都逐漸減小，趨近于零。但是本文算法在迭代第5 次后跟蹤誤差幾乎趨近于0，而此時經典算法的跟蹤誤差仍然相對較大。在迭代12 次后，本文算法的跟蹤誤差可以收斂到4×10-6，遠遠優(yōu)于經典算法的5×10-3。

圖1 期望輸出yd(n,t)Fig.1 Desired output

圖2 誤差曲面(k=3)Fig.2 Error surface (k=3)

圖3 誤差曲面(k=10)Fig.3 Error surface (k=10)

圖4 誤差曲面(k=12)Fig.4 Error surface (k=12)

圖5 誤差曲線Fig.5 Error curves

圖6 是在迭代到第15 次時系統(tǒng)輸出，與期望輸出幾乎一致，說明本文的變批次長度的ILC 算法可用于控制非線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)。圖7 是本文ILC 算法和經典ILC 算法的歷次迭代最大誤差曲線，通過圖7 可知，所提控制算法收斂速度明顯優(yōu)于經典ILC 算法，驗證了算法對系統(tǒng)（1）的有效性。因此通過對比，可以看出本文采用的算法明顯優(yōu)于經典迭代學習算法，不僅收斂速度更快，而且跟蹤精度更高。

圖6 迭代15 次系統(tǒng)輸出Fig.6 The fifteenth iterative output

圖7 迭代誤差最大變化曲線Fig.7 Curves of iterative number-max tracking error

4 結論

本文將批次長度隨機變化的ILC 算法應用于離散的非線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)的控制，擴寬了ILC 算法在非線性分布參數(shù)系統(tǒng)上的應用，對分布參數(shù)系統(tǒng)迭代學習控制具有重要的理論和實際意義。此外，本文實現(xiàn)對期望輸出的漸進跟蹤，并通過嚴格的分析證明系統(tǒng)的跟蹤誤差在范數(shù)意義下的收斂。與傳統(tǒng)迭代算法相比，變批次迭代算法收斂速度更快。未來將進一步考慮改進算法，以提高迭代學習控制在非線性分布參數(shù)系統(tǒng)中的可實施性。