張靜怡，苗國英,2，紀 龍

(1.南京信息工程大學(xué)自動化學(xué)院,南京 210000;2.南京信息工程大學(xué)江蘇大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210000)

0 引言

隨著傳感技術(shù)和通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，以及對控制理論研究的不斷深入，多智能體系統(tǒng)的工程應(yīng)用已逐漸延伸到眾多領(lǐng)域。當系統(tǒng)中存在多領(lǐng)導(dǎo)者時，文獻[1]為使跟隨者移動至領(lǐng)導(dǎo)者形成的幾何區(qū)域，提出包含控制思想。

現(xiàn)有包含控制理論研究，大多考慮智能體間只存在合作關(guān)系的理想條件。而在許多現(xiàn)實場景中可能存在連邊權(quán)重既有正值也有負值的情形，將邊權(quán)重正負并存的網(wǎng)絡(luò)稱為符號網(wǎng)絡(luò)[2-3]。本文考慮智能體間合作-對抗關(guān)系并存的情況。

另一方面，分布式控制系統(tǒng)由于缺乏信息流集中的反饋機制，智能體狀態(tài)無法得到有效的監(jiān)督和控制，系統(tǒng)容易遭受到網(wǎng)絡(luò)攻擊下傳感器或執(zhí)行器的故障影響。目前在控制理論領(lǐng)域，關(guān)于DoS攻擊的研究主要分為攻擊信號檢測和安全控制兩種。文獻[4]考慮已知DoS攻擊周期時長和最短休眠時間，結(jié)合事件觸發(fā)驅(qū)動機制設(shè)計一種網(wǎng)絡(luò)化切換系統(tǒng)模型。文獻[5]研究DoS攻擊下的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，提出基于切換系統(tǒng)的Luenberger觀測器和控制算法；文獻[6]研究一類具有時變控制輸入的多智能體系統(tǒng)，提出隨機雙端網(wǎng)絡(luò)攻擊下的彈性一致性控制算法，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻[7-8]為了克服攻擊造成的傳感器和執(zhí)行器故障，提出一種分布式彈性控制算法，保證閉環(huán)系統(tǒng)的最終有界性。

本文的創(chuàng)新點在于研究符號網(wǎng)絡(luò)下的離散時間異質(zhì)多智能體系統(tǒng)?？紤]在DoS攻擊信號干擾下，部分智能體狀態(tài)不能及時獲取，構(gòu)造分布式狀態(tài)觀測器；基于輸出調(diào)節(jié)方法和狀態(tài)觀測器設(shè)計反饋控制算法，引入歷史時刻信息，使得系統(tǒng)中的跟隨者能夠有效跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)。

1 預(yù)備知識

以下列舉幾個重要的定義、假設(shè)和引理。

假設(shè)1[9]調(diào)節(jié)器存在的必要條件：(Ai,Bi,Ci)可控可觀，且對于任意跟隨者智能體，調(diào)節(jié)器方程

(1)

有對應(yīng)的解(Πi,Γi)，Πi∈Rni×m，Γi∈Rpi×m，i=1,…,n;Ai，Bi，Ci,S,R為維數(shù)相容的常數(shù)矩陣。

假設(shè)2[10]對于任意給定矩陣W∈Rm×m，滿足W=WT>0，向量ω:{l1,l1+1,…,l2}→Rm的行和為

(2)

引理2[12]對于任意兩個向量x∈Rn，y∈Rn和任意方陣φ∈Rn×n且φ>0，都有不等式

±2xTy≤xTφx+yTφ-1y

(3)

成立。

引理3[13]假設(shè)DoS攻擊有界，通過引入非線性函數(shù)δ(Λ(k))約束攻擊信號，滿足‖δ(Λ(k))‖2≤‖GΛ(k)‖2,其中,G表示約束非線性函數(shù)上限的常數(shù)矩陣。

2 問題描述

考慮多智能體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中有n個跟隨者和m個領(lǐng)導(dǎo)者，假設(shè)所有跟隨者的狀態(tài)維數(shù)各不相同，則系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(4)

式中：xi(k)∈RP，yi(k)∈Rq和ui(k)∈Rn(i=1,2,…,n)分別是第i個跟隨者的位置、輸出和控制輸入;領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)看作外部系統(tǒng)的跟蹤參考輸入，動力學(xué)方程為

(5)

式中:xr(k)∈Rq和yr(k)∈Rq(r=n+1,…，n+m)分別是領(lǐng)導(dǎo)者的位置和輸出；D為常數(shù)系統(tǒng)矩陣。

定義第i個跟隨者的包含控制跟蹤誤差為

(6)

將式(6)進行相應(yīng)的模型轉(zhuǎn)換，整理后得

(7)

考慮多智能體系統(tǒng)分布式的工作環(huán)境缺乏全局感知能力，當智能體受到網(wǎng)絡(luò)攻擊的滲透時，基于最近一次收到的正常通信信息更新自身狀態(tài)。定義上述情況下的包含控制跟蹤誤差方程為

(8)

式中，τi(k)表示在智能體間通信傳輸儲存的歷史信息，受DoS攻擊信號影響，歷史信息是時變的且滿足τm≤τ(k)≤τM，τm，τM是已知常數(shù)。本文采用Bernoulli分布序列來模擬拒絕服務(wù)攻擊發(fā)生的隨機性，取αi(k)為0或1的值，則攻擊發(fā)生的概率為

(9)

當αi(k)=1，系統(tǒng)遭受DoS攻擊；當αi(k)=0，系統(tǒng)正常通信。

3 異質(zhì)多智能體系統(tǒng)包含控制

3.1 觀測器設(shè)計

DoS攻擊具有攻擊所有通信通道的能力，更改智能體間的傳輸信號，使得智能體無法接收實時數(shù)據(jù)，導(dǎo)致系統(tǒng)性能降低。本文假設(shè)已知攻擊發(fā)生概率，引入非線性函數(shù)δ(Λi(k))約束DoS攻擊上限，構(gòu)造分布式狀態(tài)觀測器為

φi(k+1)=Aiφi(k)+Biui(k)-Fi[(1-αi(k))·
Λi(k)+αi(k)(Λi(k)-δ(Λi(k)))]

(10)

定義觀測器跟蹤狀態(tài)誤差為

(11)

結(jié)合式(10)觀測器和式(4)系統(tǒng)方程，可得

(12)

整理上述式子，得到增廣矩陣為

(13)

(14)

(15)

考慮構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù)

(16)

沿式(14)對V0(k)求差分，可得

(17)

根據(jù)引理2，引理3，整理成如下形式

(18)

進一步得到

(19)

(20)

3.2 控制器設(shè)計

本節(jié)設(shè)計一種彈性控制算法，在包含控制算法中加入歷史時刻信息，解決在未知DoS攻擊下多智能系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。在式(10)觀測器的基礎(chǔ)上，提出調(diào)節(jié)補償器和分布式控制協(xié)議為

(21)

式中，Hi，Ki為待設(shè)計的增益矩陣。

構(gòu)造調(diào)節(jié)補償器誤差為

θi(k)=xi(k)-Πiξi(k)。

(22)

將式(4)和式(21)代入式(22)，整理可得

θ(k+1)=diag(ΠiHi)[(1-α)ey(k)+

αey(k-τ(k))]+diag(Ai+BiKi)θ(k)。

(23)

定義包含控制輸出調(diào)節(jié)誤差為

(24)

結(jié)合式(7)，進一步變形得到

(25)

將式(25)代入式(24)，化簡為增廣矩陣可得

(26)

(27)

3.3 多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)基于式(21)控制算法，對DoS攻擊下多智能體系統(tǒng)進行安全包含控制分析。

(28)

(29)

可知在式(10)觀測器和式(18)控制算法的作用下，式(4)、式(5)多智能體系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，能夠?qū)崿F(xiàn)二分包含控制。

證明過程如下。構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)

(30)

其中

V1(k)=εT(k)P1ε(k)

(31)

(32)

(33)

(34)

對V1和V2求差分，將式(27)代入式(31)、式(32)可得

(35)

ΔV2(k)=εT(k)Q1ε(k)-εT(k-τm)(Q2-Q1)·
ε(k-τm)-εT(k-τM)Q2ε(k-τM)。

(36)

對V3(k)求差分，將式(34)代入式(33)可得

(37)

根據(jù)假設(shè)2，代入式(37)可得

(38)

根據(jù)引理2，代入式(37)可得

(39)

當τ(k)=τM時，整理上述方程，可得

(40)

整理可得

ΔV(k)=ΔV1(k)+ΔV2(k)+ΔV3(k)≤μT(k)Σ1μ(k)

(41)

式中,μ(k)=(εT(k)εT(k-τ(k))εT(k-τm)εT(k-τM))T。

當τ(k)=τm時，整理上述方程，可得

(42)

兩個邊界縮放得到的值代入式(31)～(33)，可得

ΔV(k)=ΔV1(k)+ΔV2(k)+ΔV3(k)≤μT(k)Σ2μ(k)

(43)

文獻[15-16]考慮異質(zhì)系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題，本文進一步推廣到符號拓撲網(wǎng)絡(luò)下系統(tǒng)遭受DoS攻擊的情況，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

4 數(shù)值仿真

圖1 有向符號圖Fig.1 Directed signed graph

首先考慮DoS攻擊率為0，觀測跟蹤誤差曲線和智能體狀態(tài)軌跡如圖2所示?？梢钥闯觯^測器在8 s后有效估計智能體狀態(tài)，多智能體系統(tǒng)在3 s左右實現(xiàn)包含控制，驗證觀測器和算法的有效性。

圖3-圖5分別給出DoS攻擊率為0.26，0.52和0.93時觀測器跟蹤誤差曲線和智能體運動位置軌跡，假設(shè)τ(k)=0.1。

圖3 攻擊率為0.26時觀測器跟蹤誤差和輸出位置軌跡Fig.3 Observer tracking errors and output position trajectories with attack rate of 0.26

圖4 攻擊率為0.52時觀測器跟蹤誤差和輸出位置軌跡Fig.4 Observer tracking errors and output position trajectories with attack rate of 0.52

圖5 攻擊率為0.93時觀測器跟蹤誤差和輸出位置軌跡Fig.5 Observer tracking errors and output position trajectories with attack rate of 0.93

由上述仿真結(jié)果可以看出，隨著DoS攻擊率增加，本文設(shè)計的觀測器和彈性控制算法可以有效保證異質(zhì)多智能體系統(tǒng)二分包含控制的實現(xiàn)。

5 結(jié)論

本文將一般線性多智能體系統(tǒng)拓展到具有合作-對抗作用的有向符號網(wǎng)絡(luò)。研究DoS攻擊下異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的包含控制問題。首先,考慮DoS攻擊對系統(tǒng)通信產(chǎn)生的影響，設(shè)計觀測器有效估計智能體狀態(tài);在跟隨者控制器中引入歷史時刻信息，設(shè)計分布式狀態(tài)反饋彈性控制方案;結(jié)合圖論、分段Lyapunov泛函和矩陣不等式等得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件;最后,通過仿真驗證算法的有效性。