王 洋，王 震，陳明淑

(西京學(xué)院理學(xué)院，西安 710000)

0 引言

隨著導(dǎo)彈防御技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了諸如PAC-3[1]，Aster-15[2]以及RAM[3]等眾多高性能末段攔截系統(tǒng)，因此，導(dǎo)彈在彈道末段受到的攔截威脅越來越大。此外，大量實(shí)際目標(biāo)都具備一定的機(jī)動(dòng)能力，而目標(biāo)機(jī)動(dòng)可能會(huì)降低導(dǎo)彈打擊精度。因此，同時(shí)考慮具備機(jī)動(dòng)能力的突防導(dǎo)彈、攔截器以及目標(biāo)構(gòu)成的三攻防對(duì)抗場(chǎng)景，對(duì)突防導(dǎo)彈設(shè)計(jì)高精度及強(qiáng)突防制導(dǎo)律具有重要實(shí)用意義。

比例制導(dǎo)律(Proportional Navigation Guidance Law,PNGL)由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)而得到廣泛應(yīng)用，但存在以下不足：1) 面對(duì)強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，PNGL制導(dǎo)精度降低；2) 由于未考慮突防，因此采用PNGL的導(dǎo)彈末段彈道平直，易于被成功攔截。

有限時(shí)間控制可以有效提升傳統(tǒng)漸近式控制的收斂精度與速度[4]。近年來，出現(xiàn)了許多基于有限時(shí)間穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)的制導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[5]基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論提出了有限時(shí)間制導(dǎo)律(Finite-Time-Convergent Guidance Law,FTCGL)；文獻(xiàn)[6-7]提出了基于滑模的FTCGL；文獻(xiàn)[5-7]的FTCGL都采用了切換項(xiàng)抑制目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶來的擾動(dòng)影響。然而，切換項(xiàng)帶來兩方面問題：一是抖振問題；二是需要已知目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度上界，而目標(biāo)機(jī)動(dòng)難以提前獲悉，即使已知也很保守。

近年來,許多文獻(xiàn)采用干擾觀測(cè)器(Disturbance Observer,DO)估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)，從而避免使用切換項(xiàng)。文獻(xiàn)[8-9]采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Extended State Observer,ESO)。但是ESO基于漸近穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)，無法保證估計(jì)誤差收斂到零。因此，這些基于ESO的FTCGL的制導(dǎo)精度會(huì)受到ESO估計(jì)誤差的影響。文獻(xiàn)[10]采用非光滑干擾觀測(cè)器(Non-Smooth Disturbance Observer,NSDO)設(shè)計(jì)FTCGL。NSDO雖然可以保證估計(jì)誤差收斂到零，但是NSDO需要已知目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度變化率的上界。顯然，在實(shí)際工程中，目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度變化率上界也難以預(yù)知。

此外，與PNGL的設(shè)計(jì)思路相同，前述文獻(xiàn)[5-10]提出的FTCGL只考慮制導(dǎo)精度，因此其彈道平緩，易受攔截。近年來，針對(duì)如何提高導(dǎo)彈末段突防能力的問題，有文獻(xiàn)開展了研究。文獻(xiàn)[11]為空艦導(dǎo)彈設(shè)計(jì)了螺旋機(jī)動(dòng)俯沖制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[12]基于滑模算法設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防策略；文獻(xiàn)[13]采用包含時(shí)變附加項(xiàng)的比例導(dǎo)引律追蹤虛擬目標(biāo),從而實(shí)現(xiàn)螺旋俯沖機(jī)動(dòng)。但是，文獻(xiàn)[11,13]方法只適用于慢速或非機(jī)動(dòng)目標(biāo),文獻(xiàn)[12]的策略方法沒有嚴(yán)格證明穩(wěn)定性。

基于以上問題，本文基于自適應(yīng)干擾觀測(cè)器及有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，為突防彈設(shè)計(jì)一種新型機(jī)動(dòng)突防制導(dǎo)律，所提方法有如下優(yōu)勢(shì)：

1) 基于自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度進(jìn)行觀測(cè)，可有限時(shí)間補(bǔ)償目標(biāo)機(jī)動(dòng)影響，且無需已知目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的上界信息;

2) 通過有限時(shí)間機(jī)動(dòng)衰減設(shè)計(jì)保證制導(dǎo)精度不受所設(shè)計(jì)的附加機(jī)動(dòng)突防的影響;

3) 基于估計(jì)目標(biāo)加速度以及突防機(jī)動(dòng)連續(xù)化設(shè)計(jì)，保證了制導(dǎo)加速度連續(xù)變化。

1 問題描述

突防彈、攔截器及目標(biāo)三方對(duì)抗關(guān)系如圖1所示。

圖1 突防彈、攔截器及目標(biāo)三方對(duì)抗關(guān)系Fig.1 Penetration-intercepting offensive and defensive confrontation

圖1中：M，T及I分別表示突防彈、目標(biāo)及攔截器，其位置分別為(xM,yM)，(xT,yT)以及(xI,yI)；速度分別為VM，VT及VI；θM，θT與θI分別為突防彈、目標(biāo)及攔截器的彈道傾角；qM與qI分別為突防彈與攔截器的視線角；rMT與rMI分別為突防彈與目標(biāo)及突防彈和攔截器的相對(duì)距離。本文的變量均為標(biāo)量。

可以建立如下突防彈、目標(biāo)以及攔截器位置變化方程

(1)

(2)

(3)

突防彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)如下

(4)

攔截器-突防彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)如下

(5)

(6)

式中,ATλ=ATcos(qM-θT)，為目標(biāo)法向機(jī)動(dòng)加速度。

期望目標(biāo) 為突防彈M設(shè)計(jì)控制加速度AM，保證：1) 有限時(shí)間內(nèi)VλM→0；2) 無需已知目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度上界信息；3)突防彈的彈道擺動(dòng)機(jī)動(dòng)；4) 控制加速度AM連續(xù)變化。

2 相關(guān)引理

本章由引理1及引理2給出后文需要用到的自適應(yīng)干擾觀測(cè)及有限時(shí)間收斂相關(guān)理論。

引理1(自適應(yīng)二階滑?？刂扑惴?[14]考慮如下的系統(tǒng)

(7)

式中:sgn()為符號(hào)函數(shù);d0為干擾；自適應(yīng)參數(shù)的變化律為

(8)

時(shí)變參數(shù)L0(t)的自適應(yīng)律為

(9)

式中，p0為正常數(shù)。只要干擾d0是有界的，則s0將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

V(t)=0t≥tr

(10)

式中,收斂時(shí)間tr≤t0+V1-γ(0)/α(1-γ)。

3 突防制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

3.1 自適應(yīng)干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

基于引理1，設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)干擾觀測(cè)器

(11)

(12)

L1(t)的自適應(yīng)律為

(13)

式(11)干擾觀測(cè)器的穩(wěn)定性由定理1給出。

定理1針對(duì)滿足假設(shè)1的式(4)制導(dǎo)系統(tǒng)，采用式(11)自適應(yīng)干擾觀測(cè)器，則存在有限時(shí)間tE滿足

(14)

(15)

將式(6)及式(11)代入式(15)可得

(16)

(17)

綜合式(16)及式(17)可得

(18)

同時(shí)，自適應(yīng)參數(shù)滿足

(19)

L1(t)的自適應(yīng)律為

(20)

(21)

3.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

同時(shí)考慮打擊精度及突防，設(shè)計(jì)滑模面為

(22)

式中：C(i=-n,…,-1,1,2,…,n)為非0整數(shù)；?為非0常數(shù)；tM為機(jī)動(dòng)截止時(shí)間。

針對(duì)滑模面s，設(shè)計(jì)機(jī)動(dòng)突防滑模制導(dǎo)律

(23)

定理2針對(duì)滿足假設(shè)1的式(4)制導(dǎo)系統(tǒng)，采用式(11)自適應(yīng)干擾觀測(cè)器及式(23)制導(dǎo)律，則存在有限時(shí)間tH可以保證法向相對(duì)速度

VλM=0t≥tH

(24)

同時(shí)式(23)給出的控制加速度AM連續(xù)變化。

證明過程如下。對(duì)滑模面s求左導(dǎo)數(shù)，可得

(25)

對(duì)滑模面s求右導(dǎo)數(shù)，可得

(26)

令A(yù)F=?sin(Cπ(t/tM))-?(tF-t)Cπcos(Cπ(t/tM))/tM，易知AF在t=tM左右極限及函數(shù)值滿足

AF+(tM)=AF+(tM)=AF(tM)=0

(27)

(28)

(29)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V1=s2/2，對(duì)V1求導(dǎo)，同時(shí)考慮式(18)，可得

(30)

(31)

(32)

(33)

由于kσ>0且0<(σ+1)/2<1，同時(shí)V1(tE)是有界的，所以由引理2可知，存在有限時(shí)間tV1，使得

V1=s=0t>tV1。

(34)

隨后，考慮以下兩種情況。

情況1 當(dāng)tV1≤tM，由式(34)及式(22)滑模面的定義可知，VλM=0,t>tM。

情況2 當(dāng)tMtV1。

總結(jié)情況1及2可知

VλM=0t>max{tM,tV1}

(35)

由于max{tM,tV1}有限，所以可知式(24)成立。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 單次對(duì)抗仿真

仿真中：突防彈的初始位置xM(0)=-5000 m，yM(0)=0 m;速度VM=500 m/s;彈道傾角θM(0)=qM(0);式(23)制導(dǎo)律及式(7)自適應(yīng)干擾觀測(cè)器參數(shù)kσ=1，σ=0.6，p1=0.7，L1(0)=15；機(jī)動(dòng)參數(shù)?=-30，C=5,tM=10。攔截器采用PNGL制導(dǎo)方法，比例系數(shù)取為5。攔截器的初始位置xI(0)=0 m，yI(0)=200 m，速度VI=600 m/s，彈道傾角θI(0)=qI(0)，目標(biāo)的初始位置xT(0)=0 m，yT(0)=0 m，速度VT=50 m/s，彈道傾角θT=30°。目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度為AT=5sin(t/3),單位為m/s2。突防彈及攔截器的加速度上界都設(shè)置為500 m/s2。

為了對(duì)比突防效果，去掉式(23)制導(dǎo)律的機(jī)動(dòng)項(xiàng)，形成如下的無機(jī)動(dòng)有限時(shí)間制導(dǎo)律

(36)

(37)

采用式(23)無機(jī)動(dòng)有限時(shí)間制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)抗仿真(場(chǎng)景1)，結(jié)果見圖2。由圖2(a)可知，突防彈在未到達(dá)目標(biāo)前就被攔截；由圖2(b)可知，相對(duì)距離小于0.5 m，到達(dá)了被有效毀傷的距離；突防彈控制加速度見圖2(c)，可知變化幅度很小。

圖2 場(chǎng)景1仿真結(jié)果(突防彈無機(jī)動(dòng))Fig.2 Simulation result of Case 1 when the missile is non-maneuvering

采用本文提出的式(23)機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)抗仿真(場(chǎng)景2),仿真結(jié)果見圖3。由圖3(a)可知，突防彈成功突破了攔截；由圖3(b)可知，攔截器與突防彈之間的最小距離大于20 m；突防彈的控制加速度見圖3(c)，其擺動(dòng)變化且幅度大，成功引起了攔截器的控制加速度飽和。另一方面，由圖3(a)及圖3(b)還可以看出，突防彈仍能保證突防彈與目標(biāo)的相對(duì)距離接近零，保證了對(duì)目標(biāo)的打擊精度。自適應(yīng)觀測(cè)器的估計(jì)誤差見圖3(c)，自適應(yīng)增益L1(t)的變化見圖3(e)，其有界變化。此外，由圖3(c)可知，所提出制導(dǎo)律的控制加速度連續(xù)變化。由圖3(f)可知，所提出制導(dǎo)律的滑模面連續(xù)變化，且由于控制加速度連續(xù)變化，因此滑模面不存在抖振。

圖3 場(chǎng)景2仿真結(jié)果(突防彈機(jī)動(dòng))Fig.3 Simulation result of Case 2 when the missile is maneuvering

4.2 多次對(duì)抗打靶仿真

考慮突防彈從不同的位置開始末段制導(dǎo)。定義i次打靶，i=1,2,…,60。對(duì)于第i次打靶，突防彈道初始位置為xM(0)=-5000 m，yM(0)=-3000+100im，速度VM=500 m/s,彈道傾角θM(0)=qM(0)。突防彈采用本文提出的式(23)機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律。攔截器采用PNGL制導(dǎo)方法。制導(dǎo)律參數(shù)及目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度與4.1節(jié)相同。

將攔截器及突防彈的脫靶量統(tǒng)計(jì)在圖4中。由圖4(a)可知，所有場(chǎng)景下攔截器對(duì)突防彈的脫靶量大于15 m，證明了突防彈可有效突防。由圖4(b)可知，所有場(chǎng)景下突防彈相對(duì)目標(biāo)的脫靶量都接近零，證明了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的高精度打擊能力。

圖4 突防彈機(jī)動(dòng)時(shí)多次打靶結(jié)果統(tǒng)計(jì)Fig.4 Statistics of multiple shooting results when the missile is maneuvering

5 結(jié)論

本文提出了一種新型機(jī)動(dòng)突防制導(dǎo)律，在保證突防彈末段打擊精度的同時(shí)提高了突防能力。首先，基于自適應(yīng)干擾觀測(cè)器估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)，在有限時(shí)間內(nèi)補(bǔ)償目標(biāo)機(jī)動(dòng)影響，且無需目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度上界信息;其次，通過機(jī)動(dòng)衰減設(shè)計(jì)保證制導(dǎo)精度不受所設(shè)計(jì)的附加機(jī)動(dòng)突防的影響;再次，基于估計(jì)目標(biāo)加速度以及突防機(jī)動(dòng)連續(xù)化設(shè)計(jì)，保證設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律連續(xù)變化；最后，通過仿真驗(yàn)證了上述優(yōu)點(diǎn)。