陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院（723000） 張 甲 郝建梅

圓錐曲線是由一平面去截二次錐面所得的一類曲線，包含橢圓、雙曲線和拋物線三類［1］。一直以來，有關(guān)圓錐曲線的問題均是高考的熱門考點，特別是有關(guān)圓錐曲線的弦長問題?！肚髾E圓弦長，方法知多少？》［2］一文給出了橢圓弦長的一般計算公式。如果拋物線弦長問題也有一般的計算公式，則計算量將會大大減少。拋物線同橢圓和雙曲線一樣，也可用教材中給出的求圓錐曲線弦長的常用公式d=（k表示直線的斜率，x1和x2分別表示直線與拋物線相交時兩交點的橫坐標(biāo)）來求解弦長問題，但是想要求出公式中的x1+x2和x1x2，就要聯(lián)立直線與拋物線的方程，再運用韋達定理求解［3］，因此計算量較大。此外，在解決過拋物線焦點的弦長問題時，根據(jù)拋物線的定義，常用焦點弦長公式，即d=x1+x2+p（p表示拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離）。但是在使用該公式時必須要知道直線與拋物線兩交點橫坐標(biāo)的和，即x1+x2，所以，如果能推導(dǎo)出已知直線方程和拋物線方程，就能求出直線與拋物線相交時的弦長，使得問題迎刃而解。

高中數(shù)學(xué)系列選修教材中引入了參數(shù)方程，參數(shù)方程的應(yīng)用是解決動點軌跡等問題常用的一類解題方法。一般地，曲線參數(shù)方程的定義可表述為，若某一曲線l上任意一點的坐標(biāo)（x,y）可表示為某一變量t的函數(shù)，其中

在t的允許取值范圍內(nèi)，每一個t所對應(yīng)的點M（x,y）都在曲線l上，則稱式（1）為曲線l的參數(shù)方程。根據(jù)以上敘述，本文考慮用拋物線的參數(shù)方程去求解拋物線的弦長問題，為敘述方便，本文先給出拋物線y2=2px（p＞0）的參數(shù)方程［4］：

t∈（-∞,0）?（0,+∞），參數(shù)t表示拋物線上除原點以外的任何一點與原點連線斜率的倒數(shù)。

一、拋物線弦長的一般計算公式

（一）當(dāng)直線斜率存在且不等于0時

如圖1，已知直線y=kx+m（k為直線斜率，且k≠0）與拋物線y2=2px（p＞0）交于A，B兩點，為直線與x軸的交點，求弦長|AB|。

圖1

可根據(jù)上述拋物線的參數(shù)方程，求解拋物線弦長問題，具體過程如下：

又因為線段AB與AC有相同的斜率，所以

因為直線與拋物線交于A，B兩點，所以4p(p-2km)＞0，即式（4）中的兩個值一定是A，B兩點與原點連線斜率的倒數(shù)，將其代入式（3），得

（二）當(dāng)直線斜率不存在時

如圖2，已知直線x=m與拋物線交于A，B兩點，求弦長|AB|。

圖2

二、例題解析

［例1］設(shè)拋物線y2=4x與直線y=2x-4 相交于A，B兩點，求弦長|AB|。

解法一：由聯(lián)立得4x2-20x+16=0，化簡得x2-5x+4=0。

設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)為(x1,y1)，(x2,y2)，根據(jù)韋達定理，得x1+x2=5，x1x2=4，

解法二：根據(jù)式（5），可得

點評：本題拋物線方程和直線方程均已給出，是一道常規(guī)的求拋物線弦長的題目。傳統(tǒng)的方法需要聯(lián)立兩個方程來求解，在聯(lián)立方程利用韋達定理計算時比較容易出錯。

［例2］過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F作一條直線，且直線的傾斜角為，該直線與拋物線所交的弦為AB，已知弦長|AB|=8，求p。

點評：本題是已知拋物線與直線相交的弦長，求拋物線的方程。雖然例1和例2的解題思路都一樣，但例2 引入了未知數(shù)p，利用圓錐曲線的弦長公式計算時難度會更大一些。比較兩種計算方法，發(fā)現(xiàn)解法二利用式（5）更簡便。

［例3］求拋物線y2=2px(p＞0)的通徑長|AB|。

解法二：根據(jù)式（6）可求得通徑長|AB|=

點評：本題涉及拋物線通徑長度的求解。解法一是根據(jù)拋物線通徑的相關(guān)性質(zhì)，聯(lián)立拋物線方程和通徑所在的直線方程求解。解法二是根據(jù)式（6）直接計算，進一步顯示出拋物線弦長的一般計算公式的簡便性。

［例4］如圖3 所示，拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F為圓x2+y2-4x=0 的圓心，斜率為2 且過焦點F的直線與拋物線交于A，D兩點，與圓交于B，C兩點，求|AB|+|CD|。

圖3

解法一：已知拋物線的焦點為圓x2+y2-4x=0的圓心，所以拋物線方程為y2=8x；斜率為2 的直線過拋物線的焦點，所以直線方程為y=2x-4。聯(lián)立直線方程和拋物線方程可得4x2-24x+16=0，化簡得x2-6x+4=0。設(shè)A，D兩點的坐標(biāo)為(x1,y1)，(x2,y2)，根據(jù)韋達定理，得x1+x2=6，所以弦長|AD|=6+4=10，即|AB|+|CD|=10-4=6。

解法二：根據(jù)題干求出拋物線的方程y2=8x和直線方程y=2x-4，由式（5）得，|AD|=，所 以|AB|+|CD|=10-4=6。

點評：通過仔細讀題并結(jié)合圖形可知，本題的解題關(guān)鍵是求出拋物線與直線相交的弦長。題目讓計算|AB|+|CD|，實際就是計算拋物線弦長減去圓直徑的長度。

以上4 個例題涵蓋了直線與拋物線相交時，直線斜率存在和直線斜率不存在且剛好過拋物線焦點的情況。通過分析以上4 個例題可知，將式（5）和式（6）用于求解拋物線弦長問題可避免在聯(lián)立直線方程和拋物線方程的過程中可能出現(xiàn)的計算失誤，同時達到簡化計算的效果。若將以上兩個公式用于選擇題等小題的計算，則可以快速地解決問題。參數(shù)方程思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)，是解決許多復(fù)雜問題的重要工具。對于許多復(fù)雜問題，引入?yún)?shù)方程進行求解可大大降低解題難度。圓錐曲線的參數(shù)方程雖然在高考中占比不是很大，但如果能作為一種重要工具加以熟練運用將會有不少的收獲。

拋物線的弦長問題，看上去似乎不太復(fù)雜，可是一旦拋物線方程或者直線方程比較復(fù)雜時，再將兩個方程聯(lián)立用韋達定理求解會非常麻煩，大多數(shù)學(xué)生很難在較短時間內(nèi)準(zhǔn)確求解。本文將拋物線的參數(shù)方程應(yīng)用于拋物線弦長問題，推導(dǎo)出了拋物線弦長的一般計算公式，即式（5）和式（6）。這兩個公式涵蓋了直線與拋物線相交的所有情況。當(dāng)拋物線的焦點在x軸負半軸或者y軸的正半軸或負半軸時，推導(dǎo)方法與式（5）和式（6）類似，本文不再一一贅述?！肚髵佄锞€弦長的一個公式》［3］一文利用拋物線的一般方程也給出了該公式的推導(dǎo)過程。對高中生而言，在解題的過程中運用參數(shù)方程可能稍有難度，但經(jīng)過不斷努力熟練掌握該方法，在解題時就可以取得事半功倍的效果。訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用拋物線的參數(shù)方程求拋物線的弦長，可有效發(fā)展學(xué)生的解題思維。