霍 李，宮新宇，王 媛，劉榆華，那光耀

(中國人民解放軍63853部隊， 吉林 白城 137001)

1 引言

火炮回轉半徑，即炮身水平時炮身前端面至回轉軸線的距離[1-2]。在靶場試驗中，需要測量火炮的回轉半徑來檢查火炮狀態(tài)是否偏離設計指標[3-6]或進行彈道修正[7-8]。

目前正在實施的國家軍用標準GJB 2977A—2006《火炮靜態(tài)檢測方法》[9]給出了火炮回轉半徑的2種測量方法：直接法和間接法。由于直接法需要預先知道被測火炮回轉軸線的位置，而在現場檢測卻很難準確找到被測火炮的回轉軸線，因此，現場檢測通常采用間接法。GJB 2977A—2006[9]給出的“間接法”其實質是大直徑間接測量方法中“角度弦長法”[10]取圓心角為60°時的特例。文獻[11]中推導出在相同圓心角測量誤差情況下，圓心角取180°時得到“角度弦長法”測量火炮回轉半徑的結果最佳。在檢測現場是用周視瞄準鏡裝定角來代替炮塔實際旋轉角(圓心角)。由于圓心角取60°和180°這兩個特殊角時的數據處理簡單，長久以來，形成了“60°裝定角”和“180°裝定角”這2個固定裝定角。但是，在火炮方向射界小于180°時，只能選取60°裝定角。文獻[12]中討論了火炮方向射界對“角度弦長法”測量火炮回轉半徑結果的影響，提出了考慮方向射界的“靈活裝定角”方式。

由于“角度弦長法”需要測量弦長和對應的圓心角，而在檢測現場，炮塔旋轉角(圓心角)的精確測量較為困難。為避免在檢測現場測量圓心角，文獻[13]中提出了不需要測量圓心角的“三邊法”?！叭叿ā笔且?個垂點構成的三角形的外接圓半徑為回轉圓半徑，無任何冗余測量數據，測量結果的精度完全取決于現場操作。文獻[14]中提出了存在1條冗余數據的“四垂點”冗余測邊網法，通過測邊網平差處理[15]中有效利用冗余數據來提高測量精度。為進一步提高火炮回轉半徑的測量精度，文獻[16]中提出了有3條冗余數據的“五垂點”冗余測邊網法。

為了便于現場實施時測量方法的選取，本文采用蒙特卡洛方法對測量過程中的影響因素進行模擬，比較上述火炮回轉半徑間接測量方法測量結果的精度，為國家軍用標準修訂提供依據。

2 測量方法原理

2.1 角度弦長法

在火炮調平的情況下，保持炮身水平，炮塔旋轉大小為βazi的角，旋轉前后其炮口端面中心在水平面上的投影點分別為點A、點B，火炮回轉軸在水平面上的投影點(簡稱“回轉中心”)為點O，則火炮回轉半徑Razi的大小為點A與點O間的距離lAO，如圖1所示。

圖1 角度弦長法測量原理示意圖

在圖1所示的等腰三角形△OAB中，盡管火炮回轉中心點O的位置是未知的，但如果能測得兩投影點A與B間的距離lAB(弦長)和βazi(弦長lAB對應的圓心角)，則可按式(1)計算火炮回轉半徑Razi。

Razi=0.5lAB/sin(βazi/2)

(1)

在檢測現場，弦長lAB的測量容易實現，而炮塔旋轉角βazi的測量卻比較困難。國家軍用標準GJB 2977A—2006《火炮靜態(tài)檢測方法》中的間接測量方法[9]以及改進方法[11-12]都是用周視瞄準鏡裝定角γazi來代替炮塔實際旋轉角βazi進行計算。

文獻[12]中提出了考慮方向射界的“靈活裝定角”方式：當方向射界不小于180°時，裝定角的大小設定為180°；當方向射界小于180°時，裝定角設定為方向射界的大小。

2.2 三邊法

三邊法的測量原理[13]是：任意不共線的3點確定唯一圓。如圖2所示，通過測量火炮回轉圓上的任意3個點之間的距離lA、lB和lC，按式(2)計算火炮回轉半徑Razi。

(2)

圖2 三邊法測量原理示意圖

2.3 冗余測邊網法

對于有多個點的測邊網而言，當點的數量大于3時，存在冗余測邊數據。由于測量誤差的存在，此時，冗余測邊構成的圖形往往不能閉合。文獻[14]和文獻[16]中都采用了測邊網平差處理的方法使得圖形閉合，然后再將平差后的測邊結果轉換為點的相對坐標，最后通過圓擬合得到回轉圓半徑Razi的大小。

2.3.1四垂點

文獻[14]中提出“四垂點”的冗余測邊網法，如圖3所示，存在1條冗余數據，可對應1個條件方程。

以點A為頂點的角為例，通常情況下φ1+φ2≠φ3，即圖形不閉合。平差處理的目的是使平差圖形閉合，即平差值條件方程見式(3)。

(3)

詳細的平差處理過程、相對坐標的轉換和圓擬合見文獻[14]。

圖3 四垂點冗余測邊網法測量原理示意圖

2.3.2五垂點

為進一步提高火炮回轉半徑的測量精度，文獻[16]通過增加測邊數量來增加冗余，提出了“五垂點”的冗余測邊網法。

在圖4的測邊網中存在3條冗余數據，可對應3個條件方程。同樣以點A為頂點的角為例，要使圖形閉合，平差值條件方程組見式(4)。

(4)

詳細的平差處理過程、相對坐標的轉換和圓擬合見文獻[16]。

圖4 五垂點冗余測邊網法測量原理示意圖

3 對測量結果的影響因素

3.1 火炮方向射界

對“角度弦長法”，火炮方向射界β的大小制約了周視瞄準鏡裝定角γazi的設定[12]；對“三邊法”和“冗余測邊網法”，火炮方向射界β的大小會影響垂點間構形，因為垂點只能分布火炮方向射界之內，圖5所示的是火炮方向射界對四垂點測邊網構形的影響。

圖5 方向射界大小對垂點間構形的影響示意圖

3.2 標記點位置分布不均勻

設火炮回轉圓所在的坐標系為O-x′y′，其中x′軸在火炮回轉圓所在的平面上任意選取。

(5)

式中：R為火炮回轉半徑；θi為相鄰2個點間對應的圓心角，按式(6)計算。

θi=θi-1+2π/n+ση

(6)

式中：ση為點分布不均勻的圓心角誤差，為指定范圍內的任意隨機值；θ1為[-π，π]范圍內的任意隨機值。

3.3 火炮調平誤差

實際狀態(tài)下的火炮回轉圓并不是絕對水平，存在火炮調平誤差。令火炮回轉圓所在的平面O-x′y′相對于水平面O-XY的傾斜角為α，兩平面的交線為x軸。

(7)

(8)

3.4 垂點位置標記誤差

在標記垂點過程中，鉛垂是繞投影點進行擺動的，因此垂點可以看作是在特定圓內的一點。該圓的圓心為投影點，半徑為鉛垂擺動幅度。

垂點在水平坐標系O-xy上的坐標Pi(xi，yi)，按式(9)計算。

(9)

式中：d1為鉛垂擺動幅度，為指定范圍內的任意隨機值；τ為[-π，π]范圍內的任意隨機值。

3.5 測邊誤差

平面內任意兩個點A(xA，yA)、B(xB，yB)之間的距離dAB，按式(10)計算。

(10)

lk=dk+σl

(11)

3.6 只對角度弦長法有影響的因素

3.6.1角偏與平偏

目前“角度弦長法”，是通過周視瞄準鏡進行圓心角裝定。由于儀器誤差、人員操作因素、周視瞄準鏡的角觀測誤差等因素的影響，周視瞄準鏡裝定角的實際值與目標值可能不一致，稱之為“裝定角誤差”。

理想狀態(tài)下，周視瞄準鏡應放置在回轉中心上，即周視瞄準鏡豎軸與火炮回轉軸重合。

實際上，一方面，由于火炮回轉中心O的位置是未知的，只能憑經驗大致估計；另一方面，由于火炮結構的原因，在回轉中心位置不一定能找到適合安放周視瞄準鏡的位置，只能固定在回轉中心附近。這就導致了周視瞄準鏡豎軸與火炮回轉軸(簡稱“兩軸”)未必重合。其中：兩軸不平行的夾角，稱為“角偏”；兩軸之間的水平距離，稱為“平偏”。

角偏也可以看作是火炮回轉圓所在的平面O-x′y′與周視瞄準鏡水平回轉所在的平面O-xsys之間的夾角χ。周視瞄準鏡的瞄準點M(xs，ys)，在火炮回轉圓所在的坐標系O-x′y′上為點(x′，y′)，按2.3節(jié)的思路，有式(12)的關系式。

(12)

式中，φ為[-π，π]范圍內的任意隨機值。

GJB 2977A—2006[9]規(guī)定的“平偏”不大于0.5 m，對“角偏”無明確要求。

3.6.2被瞄準點距離

火炮旋轉前后，測量系統(tǒng)在水平面上的投影如圖6所示。點O為火炮回轉中心，點M為地面靶板上的被瞄準點在水平面上的投影，點S1、點S2分別為火炮旋轉前后周視瞄準鏡豎軸在水平面上的投影，γ1、γ2分別為炮塔旋轉前后周視瞄準鏡視線與直線OS1、OS2的夾角。則周視瞄準鏡裝定角γazi=γ1+γ2，炮塔實際旋轉角βazi。圖6中，γazi>βazi。

在其他條件不變的情況下，γ1、γ2分別的大小與點O與點M的距離有關。即回轉軸與被瞄準點的距離越遠，裝定角與旋轉角越接近。

GJB 2977A—2006[9]規(guī)定了“火炮回轉軸與被瞄準點的距離”不小于100 m。

對上述幾種測量方法的測量結果均有影響的因素有：① 火炮方向射界β；② 火炮調平誤差σα；③ 水平地面上垂點位置標記誤差σd1；④ 各點之間的距離(邊長)測量誤差σl。

只涉及“三邊法”和“冗余測邊網法”的影響因素是：標記點位置分布不均勻對應的圓心角誤差ση。

只對角度弦長法有影響的因素為：① 周視瞄準鏡豎軸與回轉軸的角誤差(角偏)σχ；② 周視瞄準鏡豎軸與回轉軸的距離(平偏)σd2；③ 火炮回轉軸與被瞄準點的距離d3；④ 周視瞄準鏡裝定角誤差σγ。

上述影響因素中，只有“火炮方向射界”與被測火炮自身的性能相關，而其余因素與測量實施條件相關。

圖6 測量系統(tǒng)水平投影圖

4 模擬分析

4.1 蒙特卡洛方法實施步驟

步驟1構建火炮回轉半徑理想值R、火炮方向射界β、火炮回轉軸與被瞄準點的距離d3。

步驟2以各測量誤差在概率上符合正態(tài)分布特征，即ε∈N(0，σ2)，選取合適的測量誤差σα、σd1、σl、ση、σχ、σd2、σγ，仿真出測量過程中的1組偽隨機數(εα，εd1，εl，εη，εχ，εd2，εγ)。

步驟3由給定值R、β、d3與偽隨機數(εα，εd1，εl，εβ，εχ，εd2，εγ)解算火炮回轉圓上各標記點坐標。

“三邊法”和“冗余測邊網法”，按式(5)賦予火炮回轉圓上各點坐標。

步驟5垂點在水平坐標系O-xy上的坐標Pi(xi，yi)，按式(9)計算。

步驟6則按式(11)計算出各邊的模擬值lk。

步驟7由各邊的模擬值lk計算火炮回轉半徑Rc。

步驟8重復步驟2～步驟7的過程m次，計算將得到“角度弦長法”“三邊法”和“冗余測邊網法”各m個火炮回轉半徑模擬樣本(Rc1，Rc2，…，Rcm)。對樣本進行統(tǒng)計，得到火炮回轉半徑的測量均方差δR，按式(13)計算。

(13)

設定測量實施的基本條件為：火炮調平誤差σα=1°、垂點位置標記誤差σd1=2 mm、兩點距離測量誤差σl=2 mm、標記點位置分布不均勻對應的圓心角誤差ση=5°、角偏σχ=5°、平偏σd2=500 mm、被瞄準點的距離d3=100 m、裝定角誤差σγ=1 mil；取火炮回轉半徑R=5 000 mm，Monte Carlo方法模擬抽樣m=105次。

4.2 火炮方向射界的影響

在基本條件的基礎上，取火炮方向射界β為不同值時，幾種測量方法得到的火炮回轉半徑的測量均方差δR，結果如圖7所示。

圖7 火炮方向射界對幾種測量方法結果的影響曲線

從圖7中可以看出：

1)幾種方法得到的火炮回轉半徑測量均方差δR，隨著火炮方向射界β的增加，在β<180°時迅速降低，在β>180°時降低幅度趨于緩和、測量結果趨于穩(wěn)定。

在β=180°時，得到的火炮回轉半徑的測量均方差：角度弦長法(靈活裝定角)為1.50 mm，三邊法為1.42 mm，冗余測邊網法“四垂點”為1.39 mm，冗余測邊網法“五垂點”為1.32 mm。

當β>180°時，角度弦長法的測量均方差穩(wěn)定在1.50 mm；當β≥240°時，三邊法的測量均方差穩(wěn)定在1.05 mm；當β≥270°時，冗余測邊網法“四垂點”的測量均方差穩(wěn)定在0.87 mm；當β≥288°時，冗余測邊網法“五垂點”的測量均方差穩(wěn)定在0.75 mm。

2)在火炮方向射界β<78°時，角度弦長法相對“三邊法”和“冗余測邊網法”具有明顯的優(yōu)勢。

在β=78°時，得到的火炮回轉半徑的測量均方差：角度弦長法為16.44 mm，三邊法為20.52 mm，冗余測邊網法“四垂點”為18.41 mm，冗余測邊網法“五垂點”為16.80 mm。

3)在β≥86°的區(qū)域，在同樣火炮方向射界的情況下，“三邊法”和“冗余測邊網法”的“垂點”數量越多，得到的測量均方差越小。

在β=86°時，得到的火炮回轉半徑的測量均方差：角度弦長法為15.23 mm，三邊法為15.07 mm，冗余測邊網法“四垂點”為13.61 mm，冗余測邊網法“五垂點”為12.44 mm。

圖7的結果表明：“角度弦長法”“三邊法”或“冗余測邊網法”，實施所需要的理想狀態(tài)是各“垂點”能均勻分布在火炮回轉圓上，各測量方法要達到理想狀態(tài)對應的火炮方向射界分別不小于180°(2個垂點)、240°(3個垂點)、270°(4個垂點)、288°(5個垂點)。

4.3 測量因素的影響

在火炮方向射界能滿足各測量方法的理想實施狀態(tài)時，在基本條件的基礎上，進一步分析各測量因素對結果的影響趨勢。

4.3.1火炮調平誤差的影響

在基本條件的基礎上，分別取火炮調平誤差σα為不同值時得到的火炮回轉半徑的測量均方差，結果如表1所示。

表1 火炮調平誤差對測量結果均方差的影響數據

從表1可以看出：隨著火炮調平誤差σα的增加，幾種測量方法的測量均方差都呈顯著的上升趨勢，特別是當σα≥2°時，測量均方差的上升趨勢越發(fā)明顯。

4.3.2垂點位置標記誤差

在基本條件的基礎上，分別取垂點位置標記誤差σd1為不同值時得到的火炮回轉半徑的測量均方差，結果如表2所示。

從表2可以看出：隨著垂點位置標記誤差σd1的增加，幾種測量方法的測量均方差都呈顯著的上升趨勢。

4.3.3邊長測量誤差

在基本條件的基礎上，分別取邊長測量誤差σl為不同值時得到的火炮回轉半徑的測量均方差，結果如表3所示。

表2 垂點位置標記誤差對測量結果均方差的影響數據

表3 邊長測量誤差對結果的影響數據Table 3 Influence of side length measurement error on results

從表3可以看出：隨著邊長測量誤差σl的增加，幾種測量方法的測量均方差都呈顯著的上升趨勢，特別是當σl>5 mm時，測量均方差的上升趨勢越發(fā)明顯。

4.3.4標記點位置分布不均勻

在基本條件的基礎上，分別取標記點位置分布不均勻對應的圓心角誤差ση為不同值時得到“三邊法”和“冗余測邊網法”的火炮回轉半徑測量均方差，結果如表4所示。

表4 點分布不均勻的圓心角誤差對測量結果的影響數據

從表4可以看出：標記點分布不均勻的角誤差ση對“三邊法”和“冗余測邊網法”的火炮回轉半徑的測量結果影響不大，至少在ση≤10°的范圍內無顯著影響，幾種方法的火炮回轉半徑測量均方差都在1 mm左右。

4.3.5周視瞄準鏡豎軸與回轉軸的角誤差(角偏)

在基本條件的基礎上，分別取“周視瞄準鏡豎軸與回轉軸的角誤差(角偏)”σχ為不同值時得到“角度弦長法”的火炮回轉半徑的測量均方差，結果如表5所示。

表5 角偏對“角度弦長法”測量結果的影響數據

從表5可以看出：在σχ≤2°的范圍內，角偏σχ對“角度弦長法”的火炮回轉半徑測量均方差δR60和δR180影響甚微；在σχ>5°后，δR60和δR180增加明顯。

4.3.6周視瞄準鏡豎軸與回轉軸的距離(平偏)

在基本條件的基礎上，分別取“周視瞄準鏡豎軸與回轉軸的距離”(平偏)σd2為不同值時得到“角度弦長法”的火炮回轉半徑的測量均方差，結果如表6所示。

表6 平偏對“角度弦長法”測量結果的影響數據

從表6可以看出：在σd2≤1 500 mm的范圍內，平偏σd2對δR180影響不大；隨著平偏σd2的增加，δR60呈顯著的上升趨勢。

4.3.7火炮回轉軸與被瞄準點的距離

在基本條件的基礎上，分別取火炮回轉軸與被瞄準點的距離d3為不同值時得到“角度弦長法”的火炮回轉半徑的測量均方差，結果如表7所示。

表7 被瞄準點的距離對“角度弦長法”測量結果的影響數據

從表7可以看出：隨著火炮回轉軸與被瞄準點的距離d3的增加，“角度弦長法”的火炮回轉半徑測量均方差δR60和δR180均呈顯著的下降趨勢；在d3≥20 m時，δR180<2 mm；即便d3=100 m，δR60依然接近20 mm。

4.3.8裝定角誤差的影響

在基本條件的基礎上，分別取裝定角誤差σγ為不同值時得到“角度弦長法”的火炮回轉半徑的測量均方差，結果如表8所示。

表8 裝定角誤差對“角度弦長法”測量結果的影響數據

從表8可以看出：在σγ≤5 mil的范圍內，σγ的變化對δR180的影響甚微；隨著σγ的增加，δR60呈上升趨勢，但在σγ≤2 mil范圍內，變化不大。

5 討論

5.1 角度弦長法

“角度弦長法”與“三邊法”和“冗余測邊網法”相比：在測量準備階段需要額外的進校“炮塔上固定和調試瞄準鏡”這一操作；在測量實施進行火炮方位轉動時，需要多出1名周視瞄準鏡觀測員。

“角度弦長法”的“60°裝定角”和“180°裝定角”除了裝定角不同外，在其他方面的操作并無實質差異，但“60°裝定角”的測量均方差比包括“180°裝定角”在內的其他幾種方法高出一個數量級。通常情況下其測量均方差接近20 mm，不適用于對精度要求較高的場合。

但在火炮方向射界β<78°時，建議優(yōu)先選用角度弦長法(靈活裝定角)。

5.2 “三邊法”與“冗余測邊網法”

在火炮回轉軸線位置未確定且火炮方向射界β≥86°時，可考慮使用“三邊法”和“冗余測邊網法”測量火炮回轉半徑。

“三邊法”和“冗余測邊網法”避免了在現場精確測量火炮回轉角，與“角度弦長法”相比減少了操作步驟和人員。更為重要的是在同等條件下，“三邊法”和“冗余測邊網法”比“角度弦長法”的測量均方差小。

隨著垂點和測邊的增加，火炮回轉半徑的測量均方差會進一步降低，“三邊法”可以控制在1 mm左右，“冗余測邊網法”甚至能小于1 mm。但是垂點和測邊的工作量會顯著增加。

在現場，選用“三邊法”還是“冗余測邊網法”，應根據實際精度需求，以及火炮構造來進行選擇。

6 結論

1) 在檢測現場應根據實際情況選擇測量方法：在火炮方向射界β<78°時，建議優(yōu)先選用角度弦長法(靈活裝定角)；在火炮方向射界β>86°時，隨著“垂點”數量的增加，測量結果的均方差變小。

2) 在軍標修訂時，建議用“角度弦長法(靈活裝定角)”取代原有的“60°裝定角法”，增加“三邊法”和“冗余測邊網法”，以應對不同情況。