王 浩，閆小勇

（北京交通大學(xué)，a.綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.交通系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院，北京 100044）

0 引 言

出行是人們生活中不可缺少的環(huán)節(jié)[1]。每次有潛在的出行需求時(shí)，人們都會(huì)考慮是否出行、去往何地、何時(shí)出發(fā)、使用何種交通方式和選擇什么路徑[2]。出行者們的這些出行選擇行為是復(fù)雜交通流動(dòng)現(xiàn)象的重要成因?？坍嬋后w出行選擇行為來預(yù)測(cè)出行需求是交通科學(xué)中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，也是交通規(guī)劃工作中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)[3,4]。傳統(tǒng)的出行需求預(yù)測(cè)方法包含出行生成、出行分布、方式劃分和交通分配四個(gè)階段[5]。盡管每個(gè)階段中都包含了大量的備選模型，但這些模型背后的建模機(jī)理是不同的。例如，預(yù)測(cè)出行生成多使用線性回歸模型，預(yù)測(cè)出行分布多使用類比牛頓引力定律的重力模型[6]，預(yù)測(cè)方式分擔(dān)率多使用計(jì)算個(gè)體選擇各選項(xiàng)概率的Logit 模型[7]，分配交通流量則多使用考慮出行者相互作用的路徑選擇博弈模型，即用戶平衡（User Equilibrium, UE）模型[8]。事實(shí)上，出行者選擇是否出行、出行時(shí)間、目的地、方式和路徑都是人的選擇行為，背后應(yīng)該有一致的普適性規(guī)律。但目前能統(tǒng)一刻畫相互作用群體出行選擇行為的建模框架依然缺乏[9]。

在交通科學(xué)領(lǐng)域，研究者很早就開始使用以Logit模型為代表的基于隨機(jī)效用理論建立的離散選擇模型來進(jìn)行不同階段的出行需求預(yù)測(cè)[7,10]。但這類模型大多是從個(gè)體選擇行為角度建立的，并未考慮實(shí)際交通系統(tǒng)中普遍存在的個(gè)體之間的相互作用。而實(shí)際中的出行者不管是選擇目的地和出行方式，還是選擇出發(fā)時(shí)間和路徑，都會(huì)考慮與其他出行者相互作用所導(dǎo)致的擁擠或擁堵問題。另一類可同時(shí)進(jìn)行多階段出行需求預(yù)測(cè)的模型是組合模型[11,12]，例如Yao 等建立的包含出行分布和交通分配的組合模型[2]；Boyce 等建立的考慮出行者目的地、方式和路徑選擇的組合模型[13]；Ali Safwat 和Magnanti 建立的出行生成、出行分布、方式劃分和交通分配四階段組合模型[14]等。這方面的研究大多是將多階段出行組合預(yù)測(cè)問題轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)上的交通分配問題，再用UE 模型等進(jìn)行流量分配[11,15]。UE 模型考慮了路段擁堵問題，但UE模型的目標(biāo)函數(shù)為何是網(wǎng)絡(luò)路段成本函數(shù)的積分之和，一直缺乏合理的解釋[15,16]。最近，Wang 等建立了一種存在相互作用的出行者們選擇目的地的自由效用模型[17]，這一模型不僅能解釋廣泛存在于各類復(fù)雜社會(huì)系統(tǒng)中的引力定律，也為建立刻畫群體出行選擇行為的統(tǒng)一框架提供了新的途徑。

在本文中，將自由效用模型擴(kuò)展到出行需求預(yù)測(cè)的多個(gè)階段。首先，用最簡(jiǎn)單的自由效用模型來刻畫出行者選擇出行方式的行為，該模型反映了出行者對(duì)期望效用與信息處理成本之間的權(quán)衡以及出行者之間的相互作用。然后，用自由效用模型來刻畫出行者的目的地選擇行為，并由此導(dǎo)出單約束重力模型和雙約束重力模型。進(jìn)一步地，用自由效用模型來刻畫出行者在交通網(wǎng)絡(luò)上的路徑選擇行為。最后，建立一個(gè)組合的自由效用模型來同時(shí)刻畫出行者的目的地、方式和路徑選擇行為。用能反映個(gè)體間相互作用的自由效用模型刻畫出行選擇行為，不僅可以讓我們從人類選擇行為的角度更好地理解多種出行需求經(jīng)典模型背后的根源，還為出行需求預(yù)測(cè)提供了一個(gè)更具可解釋性的統(tǒng)一建模框架。

1 出行方式選擇

式中：L是拉格朗日函數(shù)；λ是拉格朗日乘子。

由于對(duì)所有交通方式都有?L/?pk= 0，可以得到：

這意味著在出行者的最優(yōu)選擇策略下，所有出行方式的效用減去邊際信息處理成本都相等。這種情況與微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的消費(fèi)者均衡[25]中每種商品的邊際效用都相等的情況非常類似。因此，將uk-τ( lnpk+ 1)命名為出行方式k的邊際效用。相應(yīng)地，由于微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中消費(fèi)者的總效用是所有商品邊際效用的積分之和[25]，那么這個(gè)簡(jiǎn)單交通系統(tǒng)的總效用就是所有出行方式邊際效用的積分之和。出行者的最優(yōu)選擇策略是遵循等邊際準(zhǔn)則[25]來選擇出行方式，以使總效用最大化。結(jié)合式(3)和∑kpk= 1，可以得到式(1)的平衡解：

如果參數(shù)τ= 0，意味著信息處理不需要成本，該出行者會(huì)選擇效用最高的出行方式。如果τ→∞，意味著信息處理成本非常高，該出行者將不考慮預(yù)期效用而只關(guān)注信息處理成本，在這種情況下，該出行者會(huì)完全隨機(jī)地選擇出行方式。式(4)與根據(jù)隨機(jī)效用理論導(dǎo)出的Logit模型[7]在數(shù)學(xué)形式上是一致的，但推導(dǎo)不需要事先假設(shè)出行者對(duì)方式效用的感知誤差服從獨(dú)立同分布的Gumbel分布。

進(jìn)一步地，將交通系統(tǒng)擴(kuò)展到具有無窮多個(gè)(即T?1)出行者的情形，這些出行者的屬性都相同，每個(gè)出行者只有一次出行，那么問題就變成了這些出行是如何在各種出行方式上分布的。在實(shí)際中，出行方式k的效用會(huì)受到使用相同方式的出行者數(shù)量Tk的影響，即uk是Tk的函數(shù)，例如，公共汽車上乘客人數(shù)的增加將降低公共汽車乘客的舒適度。因此，效用可以被寫為uk(Tk)，這是一個(gè)單調(diào)遞減可微的函數(shù)。前已述及出行者會(huì)遵循等邊際準(zhǔn)則做出最優(yōu)的選擇，在這種情況下，任何一個(gè)出行者對(duì)出行方式的選擇都依賴于其他出行者如何在各種出行方式上分布[26]。這種在社會(huì)系統(tǒng)中普遍存在的一個(gè)人的行為依賴于其他人行為的現(xiàn)象被稱為個(gè)體交互。在此交互系統(tǒng)中，出行者們的最優(yōu)選擇策略是讓所有出行方式都具有相同的邊際效用。由于系統(tǒng)的總效用是所有出行方式邊際效用的積分之和，因此交互系統(tǒng)的效用最大化模型可以寫為：

式(5)的目標(biāo)函數(shù)與物理學(xué)中的亥姆霍茲自由能函數(shù)[28]在數(shù)學(xué)形式上是一致的。因此，式(5)被命名為自由效用模型[17]。換句話說，這個(gè)出行方式選擇系統(tǒng)可以類比為一個(gè)包含若干子系統(tǒng)、與熱庫進(jìn)行熱接觸的等溫等容熱力學(xué)系統(tǒng)：出行者的數(shù)量類比為粒子的數(shù)量；式(5)目標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng)類比為包含勢(shì)能的熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能（因此在勢(shì)博弈中此項(xiàng)被命名為勢(shì)函數(shù)[27]）；信息處理價(jià)格類比為熱庫的溫度；信息熵類比為熱力學(xué)系統(tǒng)的熵；信息處理成本類比為熱力學(xué)系統(tǒng)與熱庫之間交換的熱量；出行方式的邊際效用類比為子系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)。然而這兩個(gè)系統(tǒng)的本質(zhì)是不同的：熱力學(xué)系統(tǒng)遵循自由能最低原理使系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，在該狀態(tài)下所有子系統(tǒng)均具有相同的化學(xué)勢(shì)[28]；而出行方式選擇系統(tǒng)自由效用的最大化則是出行者遵循等邊際準(zhǔn)則做出的最佳選擇策略所導(dǎo)致的結(jié)果。

2 出行目的地選擇

根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)設(shè)置合適的效用函數(shù)uij(Tij)后，式(6)中的自由效用模型就可以直接用于出行分布預(yù)測(cè)。此外，在實(shí)際出行分布預(yù)測(cè)工作中被廣泛使用的重力模型也可由自由效用模型導(dǎo)出。為導(dǎo)出重力模型，自由效用模型的效用函數(shù)需要與從i到j(luò)的出行量具有對(duì)數(shù)關(guān)系，即uij(Tij)=Aj-cij-γlnTij，其中Aj是目的地j的固定吸引力，反映了地點(diǎn)的活動(dòng)機(jī)會(huì)（例如零售活動(dòng)、就業(yè)密度等）[11]，cij是從i到j(luò)的固定出行成本，γlnTij是出行擁堵成本函數(shù)，γ是非負(fù)參數(shù)。此時(shí)式(6)可以被具體化為：

3 出行路徑選擇

從式(11)中可以看出，交通網(wǎng)絡(luò)上的自由效用模型在數(shù)學(xué)形式上與交通科學(xué)中用于交通流分配的隨機(jī)用戶平衡（Stochastic User Equilibrium,SUE）模型[33]是一致的。有許多算法可以求解此模型并計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中所有路段上的流量[11]。在信息處理價(jià)格為0（即τ= 0）的情況下，式(11)中的自由效用模型在數(shù)學(xué)形式上與經(jīng)典的UE 模型[8]一致。UE 模型的平衡解（即每對(duì)起終點(diǎn)之間所有被使用的路徑都具有相等且最小的成本）就是出行者遵循等邊際準(zhǔn)則做出的最優(yōu)路徑選擇策略的結(jié)果。UE 模型的目標(biāo)函數(shù)（即每條路段邊際效用積分之和的負(fù)值）實(shí)際上是沒有信息處理成本的負(fù)自由效用。這為理解交通科學(xué)中的UE 和SUE 模型提供了一個(gè)新視角。

4 組合模型

截至目前，已經(jīng)用自由效用模型分別刻畫了出行者的方式選擇、目的地選擇和路徑選擇行為。但實(shí)際中的出行者不是分階段選擇這些選項(xiàng)的，而是會(huì)同時(shí)考慮去往何地、使用什么交通方式和選擇哪條路徑。因此，還應(yīng)該在自由效用模型框架下對(duì)這些出行選擇行為進(jìn)行組合建模。

在本文中，用一種網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展方法來同步求解出行方式、目的地和路徑選擇問題。網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展的示意圖見圖1，圖中最下層表示實(shí)際的多方式交通網(wǎng)絡(luò)，其中標(biāo)記為i的圓點(diǎn)表示交通小區(qū)的形心，它能產(chǎn)生和吸引出行量；方點(diǎn)表示交通網(wǎng)絡(luò)中的普通節(jié)點(diǎn)，例如交叉口或地鐵站；節(jié)點(diǎn)之間標(biāo)記為a的有向連邊表示路段，其中實(shí)線表示道路路段，點(diǎn)劃線表示地鐵線路。每條連邊都有一個(gè)效用函數(shù)ua(xa)來表達(dá)連邊效用ua和流量xa之間的關(guān)系。通過添加兩類虛擬節(jié)點(diǎn)和兩類虛擬連邊來擴(kuò)展這個(gè)實(shí)際交通網(wǎng)絡(luò)。首先，給每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i都添加一個(gè)虛擬目的地節(jié)點(diǎn)i′（見圖1 中間層的圓點(diǎn)），并在兩者之間添加一條虛擬連邊ii′（見圖1 最下層圓點(diǎn)與中間層圓點(diǎn)之間的虛線）。連邊ii′上的流量是xii′，反映了實(shí)際目的地i的出行吸引量。連邊ii′的效用函數(shù)是負(fù)的目的地可變吸引力函數(shù)-lii′(xii′)，它表達(dá)了實(shí)際目的地i的擁擠成本lii′與其出行吸引量xii′之間的關(guān)系。然后，再給每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i添加一個(gè)虛擬起點(diǎn)i″（見圖1 最上層的圓點(diǎn)），并在虛擬目的地i′與除與其編號(hào)對(duì)應(yīng)的虛擬起點(diǎn)i″之外的其他所有虛擬起點(diǎn)之間添加一條虛擬連邊i′i″（見圖1 中間層圓點(diǎn)與最上層圓點(diǎn)之間的點(diǎn)線）。連邊i′i″上的流量是xi′i″，反映了起終點(diǎn)之間的出行量，連邊i′i″的效用函數(shù)是目的地i′固定的吸引力Ai′。通過以上方法就可以得到擴(kuò)展后的網(wǎng)絡(luò)。

圖1 網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展示意圖

在這個(gè)擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)上，從起點(diǎn)i到虛擬起點(diǎn)i″的固定出行量是Oi，即i點(diǎn)的出行發(fā)生量。因而，出行方式、目的地和路徑選擇組合問題就轉(zhuǎn)化為了在這個(gè)擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)上的路徑選擇問題。這個(gè)拓展網(wǎng)絡(luò)上的自由效用模型為：

為更好地說明上述組合模型，在此增加一個(gè)算例。建立了一個(gè)簡(jiǎn)單的擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)，見圖2（a）。其中最下層的圓點(diǎn)是3 個(gè)小區(qū)，1、2、3 小區(qū)的出行發(fā)生量分別為O1= 600、O2= 690、O3= 1000。最下層兩條實(shí)線連邊表示道路路段，兩條點(diǎn)劃線連邊表示地鐵線路，它們的效用函數(shù)分別為u12= -20 -x12、u23= -20 -x23、u32= -10 -2x32、u21= -10 -2x21，其中x表示連邊上的流量，下同。最下層小區(qū)和中間層虛擬目的地之間3 條虛擬連邊的效用函數(shù)分別為u11′= -x11′、u22'= -x22'、u33'= -x33'。中間層虛擬目的地到最上層虛擬起點(diǎn)之間6 條虛擬連邊的效用函數(shù)分別u1′2″=u1′3″= 600、u2′1″=u2′3″= 100、u3′1″=u3′2″= 1000。為計(jì)算簡(jiǎn)便，此處假設(shè)信息處理價(jià)格τ= 0。將3 個(gè)小區(qū)的出行發(fā)生量看作是從最下層節(jié)點(diǎn)到最上層節(jié)點(diǎn)的出行分布量T11″= 600、T22″= 690、T33″= 1000，就可以用求解UE 模型的算法求得該算例的最優(yōu)解，見圖2（b）。最優(yōu)解中的路段流量分別為x21= 470、x12= 600、x23= 900、x32= 1000，3 小區(qū)的實(shí)際出行吸引量分別為D1=x11′= 470、D2=x22′= 920、D3=x33′=900，小區(qū)之間的實(shí)際出行分布量分別為T12=x2′1″= 255、T13=x3′1″= 345、T21=x1′2″= 135、T23=x3′2″= 555、T31=x1′3″= 335、T32=x2′3″= 665。最下層節(jié)點(diǎn)到最上層節(jié)點(diǎn)之間6 條路徑的邊際效用見表1。

圖2 組合模型算例網(wǎng)絡(luò)

表1 小區(qū)之間路徑的邊際效用

5 結(jié)束語

本文用自由效用模型分別刻畫了出行者們的出行方式、目的地和路徑選擇行為。自由效用模型有兩個(gè)基本假設(shè)[17]，即個(gè)體追求效用最大化，且個(gè)體為了掌握更多關(guān)于選項(xiàng)效用的知識(shí)需要付出信息處理成本。與出行需求預(yù)測(cè)四階段法中的多數(shù)模型相比，自由效用模型可以更好地刻畫出行選擇行為。例如，預(yù)測(cè)方式分擔(dān)率的Logit 模型[7]、預(yù)測(cè)出行分布量的最大熵模型[31]和自由成本模型[30]都沒有反映出行者之間的交互；傳統(tǒng)的UE[8]和SUE 模型[33]雖然數(shù)學(xué)形式上與描述路徑選擇的自由效用模型一致，但它們目標(biāo)函數(shù)中路段成本函數(shù)的積分項(xiàng)卻一直缺乏合理的解釋。而自由效用模型能同時(shí)反映個(gè)體在期望效用與信息處理成本之間的權(quán)衡和個(gè)體之間的相互作用，不僅可以從人類選擇行為的角度更好地理解前述出行需求經(jīng)典模型背后的根源，還可以在一個(gè)更具可解釋性的理論框架下研究出行者的決策制定過程。

進(jìn)一步用自由效用模型建立了同時(shí)考慮出行方式、目的地和路徑選擇行為的組合模型。相對(duì)于傳統(tǒng)的出行需求預(yù)測(cè)四階段法，組合多個(gè)階段的模型更符合實(shí)際出行者的選擇行為。盡管本文中只組合了出行方式、目的地和路徑三類選擇行為，在自由效用模型框架下還可以加入其他出行選擇行為。例如，在圖1 中為每個(gè)起點(diǎn)i和它對(duì)應(yīng)的虛擬起點(diǎn)i″之間添加一條彈性需求連線并為其設(shè)置合適的效用函數(shù)，就可以在給定潛在的最大出行發(fā)生量的前提下，預(yù)測(cè)起點(diǎn)i實(shí)際的出行發(fā)生量。此外，在多狀態(tài)超級(jí)交通網(wǎng)絡(luò)中[34,35]，還可以用自由效用模型對(duì)出發(fā)時(shí)間選擇行為[36]和其他出行選擇行為進(jìn)行組合建模。不僅如此，還可以通過收入水平、是否擁有私家車、是否通勤等因素對(duì)組合模型中的出行者進(jìn)行分類，讓組合模型更符合實(shí)際。總之，在更具可解釋性的自由效用框架下建立的組合模型能更系統(tǒng)地研究出行者的完整出行決策制定過程。特別是在當(dāng)前這個(gè)能反映人類移動(dòng)的大數(shù)據(jù)時(shí)代，通過從這些大數(shù)據(jù)中挖掘群體出行選擇規(guī)律來合理設(shè)置自由效用模型中的各類效用函數(shù)，可以為精確定量分析處處充滿著出行者相互作用的復(fù)雜交通系統(tǒng)提供更多可選的工具。

盡管在本文中是用自由效用模型刻畫交通系統(tǒng)中的出行選擇行為，這一模型還可以應(yīng)用到很多存在選項(xiàng)選擇行為的社會(huì)系統(tǒng)中。從式(5)中可以看到，自由效用模型在數(shù)學(xué)形式上與隨機(jī)勢(shì)博弈模型[37]是一致的，還可以退化為經(jīng)典的勢(shì)博弈模型[27]，這類勢(shì)博弈模型已被廣泛應(yīng)用于許多社會(huì)系統(tǒng)中的群體選項(xiàng)選擇問題上。勢(shì)博弈模型中的目標(biāo)函數(shù)是類比物理學(xué)中的勢(shì)函數(shù)建立的。勢(shì)博弈中的一個(gè)玩家變動(dòng)自己選項(xiàng)所導(dǎo)致的自身收益變化量與勢(shì)函數(shù)變化量是相等的。勢(shì)博弈的平衡解就是勢(shì)函數(shù)最大時(shí)的解，此時(shí)所有玩家具有相同的收益，玩家不能單方面改變選擇策略來提高自身的收益。但是，Monderer 和Shapley 對(duì)如何解釋勢(shì)函數(shù)提出了一個(gè)問題：玩家們?cè)噲D共同實(shí)現(xiàn)什么最大化[27]？實(shí)際上，勢(shì)函數(shù)不是玩家們共同追求的目標(biāo)?，F(xiàn)在從自由效用模型中已經(jīng)知道，玩家只會(huì)最大化他們自己的效用（即收益），采用的最佳策略就是讓自己所有選項(xiàng)的邊際效用都相等。當(dāng)所有玩家都遵循這樣的等邊際準(zhǔn)則時(shí)，各個(gè)選項(xiàng)邊際效用積分的和（在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為總效用）自然就是最大的。換句話說，勢(shì)函數(shù)最大是玩家個(gè)體最優(yōu)選擇策略的結(jié)果，而不是玩家們共同追求的目標(biāo)。這對(duì)勢(shì)博弈模型有了更本質(zhì)的理解，能更好地為各類復(fù)雜社會(huì)系統(tǒng)中的選擇行為建模?？傊?，自由效用模型不僅有助于深入理解交通系統(tǒng)中的出行選擇行為，在預(yù)測(cè)、引導(dǎo)甚至控制各類復(fù)雜社會(huì)系統(tǒng)中的人類選擇行為也具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。