寇發(fā)榮，楊慧杰，張新乾，鄭文博，王思俊

(西安科技大學 機械工程學院,西安 710054)

智能化和網(wǎng)聯(lián)化是未來汽車發(fā)展的趨勢[1]。無人駕駛車輛將環(huán)境感知、自主決策與規(guī)劃、動力學控制[2]等關鍵技術整合,從而提高道路安全性與利用率、車輛智能化水平[3]。路徑跟蹤算法是智能車輛動力學控制的核心問題,車輛需要按照預設路徑行駛,同時保證行駛精度和穩(wěn)定性。

模型預測控制作為一種車輛路徑跟蹤優(yōu)化控制算法,通過對線性模型的輸入和狀態(tài)變量添加約束,可將結果轉化為帶約束的最優(yōu)控制問題[4-5]。線性時變模型預測控制在車輛路徑跟蹤實時性控制中有明顯的優(yōu)勢[6]。采用動力學模型的路徑跟蹤控制器考慮輪胎與地面的附著極限,車輛可以在復雜路面下以高速穩(wěn)定行駛。國內外學者在車輛路徑跟蹤模型預測控制領域做了大量研究: Falcone等[7]研究了用于車輛動力學的模型預測控制器設計和實現(xiàn)問題,并通過實車試驗驗證了高速車輛的穩(wěn)定性。斯坦福大學學者使用模型預測控制器和反饋控制器設計框架,協(xié)調解決了車輛緊急避撞及其穩(wěn)定性問題[8]。國內學者采用模型預測控制方法對車輛底盤集成控制和穩(wěn)定性開展研究[9-10]。針對路徑跟蹤控制器跟蹤精度問題,趙治國等[11]采用粒子群優(yōu)化算法實現(xiàn)了預瞄距離自適應控制;白國星等[12]分析了車輛穩(wěn)態(tài)轉角、車速和預測時域的變化規(guī)律,通過調節(jié)參數(shù)實現(xiàn)路徑跟蹤控制器的改進優(yōu)化。上述文獻中采用的路徑跟蹤模型預測控制算法在彎道內路徑跟蹤精度難以保障,行駛時會出現(xiàn)轉向系統(tǒng)反應超前或滯后[13],從而影響控制器跟蹤效果。狀態(tài)反饋控制方法能夠實現(xiàn)閉環(huán)控制,達到系統(tǒng)期望的性能指標。斯坦福大學Snider[14]將狀態(tài)反饋控制器運用于路徑跟蹤控制。Kapania等[15]使用穩(wěn)態(tài)質心側偏角跟蹤參考軌跡方向,改善了路徑跟蹤性能。魏建偉等[16]基于LQR最優(yōu)控制提出了主動轉向和直接橫擺力矩控制的聯(lián)合控制策略,提高了車輛的側向穩(wěn)定性。線性二次調節(jié)器LQR通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)控制,其性能指標是關于狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù),可以實現(xiàn)系統(tǒng)控制過程中的動態(tài)誤差和能量消耗最低[17]。

本文提出了一種基于狀態(tài)反饋的路徑跟蹤模型預測控制方法。以車輛動力學模型建立路徑跟蹤模型預測控制器,選擇合適的控制器時域參數(shù)值,在前輪主動轉向的基礎上以車輛當前位置的橫擺角偏差設計狀態(tài)反饋調節(jié)器,使用LQR算法對轉向角進行校正,最后利用MATLAB/Simulink和Carsim軟件進行聯(lián)合仿真分析驗證算法的有效性。

1 車輛狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)框架

1.1 車輛動力學模型

路面附著、輪胎等非線性因素對無人駕駛車輛轉向特性有顯著影響,給控制器設計帶來一定挑戰(zhàn)。為準確描述這些影響因素,忽略車輛垂向運動和軸荷轉移,對車輛模型進行適當簡化使其具有橫向、縱向和橫擺這3個自由度,簡化后的車輛動力學模型如圖1所示。圖中：XOY為固定于地面的慣性坐標系;xoy為固定于車身的車輛坐標系;o為車輛質心位置;x軸沿車輛縱軸方向;y軸與車輛縱軸垂直。

圖1 3自由度車輛模型

根據(jù)牛頓第二定律,得到沿x軸、y軸和z軸的受力平衡方程，即

(1)

考慮到前輪轉角較小,輪胎所受縱向力和側向力呈線性變化,將其表示為輪胎側偏角和滑移率的線性關系，即

(2)

式中：Ccf、Ccr為前后輪胎側偏剛度;Clf、Clr為輪胎縱向剛度;slf、slr為輪胎滑移率；αcf、αcr為前后輪胎側偏角。

最終得到基于線性輪胎模型和小角度假設下的車輛非線性動力學模型:

(3)

1.2 車輛狀態(tài)反饋控制器

智能車輛路徑跟蹤控制框圖如圖2所示。

圖2 路徑跟蹤控制器框圖

路徑跟蹤狀態(tài)反饋控制器包括模型預測控制器(MPC)和LQR狀態(tài)反饋調節(jié)器兩部分。模型預測控制器根據(jù)道路信息和車輛約束條件計算出預測時域內前輪轉角,狀態(tài)反饋調節(jié)器根據(jù)道路參考橫擺角φref和車輛實際橫擺角φ計算橫擺角偏差Δφ,并通過LQR算法對車輛前輪轉角進行校正,最終將修正后的轉角δ輸出到Carsim中實現(xiàn)對車輛的控制。

2 模型預測橫向控制器設計

基于狀態(tài)空間的模型預測控制算法具有預測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正3個特征,該算法汲取反饋控制思想,預測時域的滾動優(yōu)化使系統(tǒng)在受到內部或外界的擾動時及時補償和校正,具有很強的魯棒性[4]。

(4)

計算機對連續(xù)系統(tǒng)作實時控制,需要使用一階差商的方法將式(4)線性時變連續(xù)系統(tǒng)進行近似離散化,得到離散的狀態(tài)空間表達式為

(5)

其中:

Ak,t=I+TAdyn(t);Bk,t=TBdyn(t)。

模型預測控制器根據(jù)系統(tǒng)預測模型下一時刻輸入量和當前時刻狀態(tài)量,確定未來預測時域內的輸出,由式(5)動態(tài)方程將系統(tǒng)未來一段時域的輸出表示為

Y(t)=ψtξ(t)+ΘtΔU(t)

(6)

其中：

將預測時域內輸出量和時域內的控制增量作為優(yōu)化目標,使系統(tǒng)穩(wěn)定的跟隨期望軌跡,得到最終的目標函數(shù)為

(7)

式中:Q、R、ρ為權重系數(shù)矩陣;ε為松弛因子,防止計算過程中出現(xiàn)無解情況。

考慮系統(tǒng)中控制量和控制增量極限約束,同時由車輛橫向速度和橫擺角速度定義車輛滑移穩(wěn)定包絡線約束[18]。車輛在穩(wěn)態(tài)條件下的橫擺角速度為

(8)

臨界條件下假設輪胎縱向力為0,得到橫擺角速度極值為

(9)

車輛穩(wěn)定性條件的另一個約束是后軸輪胎的側向力飽和,后輪側滑造成整車失控危害較大,需要對輪胎側偏角進行限制。

由圖1可得到后輪側向力產(chǎn)生的側偏角,后輪側偏角與質心運動參數(shù)的關系為

(10)

車輛最大側向力產(chǎn)生的后輪最大側偏角為

(11)

圖3 車輛滑移穩(wěn)定性包絡線約束

式(9)和式(10)也可以表示為矩陣形式

|H(t)·ξ(t)|≤G+s

(12)

綜合上述條件,基于模型預測控制器的無人車前輪轉角最優(yōu)控制問題可以轉化為最優(yōu)二次型:

minJ(ξ(t),u(t-1),ΔU(t))

(13)

3 LQR狀態(tài)反饋調節(jié)器設計

3.1 車輛跟蹤誤差模型

車輛在彎道行駛時的跟蹤誤差模型[19]如圖4所示,模型參考點位于質心o處,選取路徑點P定義車輛當前位置行駛偏差,其中橫擺角偏差Δφ是期望路徑點切線與車輛x軸夾角,ye為車輛橫向位置偏差,車輛x軸與行駛車速v之間的夾角為質心側偏角β,路徑點P處的曲率半徑為Rref。

圖4 車輛跟蹤誤差模型

由圖4幾何關系可得,車輛當前時刻的橫向偏差變化率為

(14)

在小角度假設下,由sin(β+Δφ)≈β+Δφ,將三角函數(shù)線性化

(15)

車輛沿期望路徑行駛時,質心處的橫擺角偏差變化率為

(16)

由于路徑跟蹤模型預測控制器彎道內過早轉向,導致車輛行駛軌跡偏向于彎道內側。本文參考斯坦福大學stanley路徑跟蹤控制算法思想[20],以車輛質心位置為控制點,通過轉向角補償校正實現(xiàn)車輛橫擺角偏差反饋控制,同時降低當前位置的橫向偏差,使車輛行駛方向更接近參考軌跡切線方向。

由此得到車輛當前位置所滿足的運動學跟蹤誤差模型表達式為

(17)

式中:μ為道路附著系數(shù);k為曲率;δf為模型預測控制器計算得到的前輪轉角;δs為轉角校正量。

3.2 基于誤差模型的狀態(tài)反饋調節(jié)器設計

狀態(tài)反饋調節(jié)器可以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,同時改善控制器路徑跟蹤性能。本節(jié)結合車輛跟蹤誤差模型得到橫擺角偏差,利用LQR控制方法構建狀態(tài)反饋調節(jié)器。

由式(17)狀態(tài)空間方程構建二次型性能指標:

式(18)指標中第一項反映了系統(tǒng)對調節(jié)過程的平穩(wěn)性和快速性要求,第二項反映了對能量消耗的要求。系統(tǒng)受到擾動偏離參考軌跡時,需要產(chǎn)生附加方向盤轉角,使跟蹤橫擺角偏差Δφ和能量消耗綜合最優(yōu)。

應用拉格朗日乘子法構造無約束優(yōu)化問題,建立增廣泛函，即

定義哈密爾頓函數(shù)為

H[x,u,λ,t]=θ=F[x(t),u(t),t]+λTf(x,u,t)(20)

使用黎卡提微分方程解出P(t)矩陣

P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t)

(21)

將P(t)代入式(22)最終可得最優(yōu)控制量u*(t)為

u*(t)=-R(t)BTP(t)x*(t)=-K(t)x*(t)

(22)

式中K(t)為反饋增益矩陣。

4 路徑跟蹤控制器仿真分析

4.1 仿真道路及控制器參數(shù)設置

為驗證基于狀態(tài)反饋的模型預測控制器跟蹤效果,本節(jié)設計了路徑跟蹤仿真對比試驗。雙移線道路包括連續(xù)轉彎和回正操作,能夠全面測試車輛彎道內的軌跡跟蹤性能,因此采用雙移線測試路段,路面附著良好,無路面超高。圖5為雙移線軌跡及參考橫擺角曲線,路徑縱向位移設置為200 m,曲率隨路徑變化,最小曲率半徑30 m,位于X=60 m處。

圖5 雙移線工況

由于模型預測控制器跟蹤誤差與預測時域步長、車速和道路曲率的關系難以用函數(shù)關系式表示,因此以車輛在雙移線軌跡的行駛數(shù)據(jù)為誤差參考依據(jù): 給出離散時間步長一定時,不同預測時域下車輛路徑跟蹤橫向偏差的均方根值,使車輛能夠根據(jù)不同行駛工況選擇合適的控制器時域步長值。

圖6 不同車速和預測時域的跟蹤誤差

圖6中曲線為3個速度下不同預測步長的跟蹤誤差均方根值。由圖6可知,車輛以36 km/h和72 km/h車速在彎道行駛時,預測時域步長與跟蹤誤差成正比關系,預測時域越長,跟蹤誤差越大;在108 km/h車速下,隨著預測時域步長增加,跟蹤誤差先減小后逐步增大。同時預測時域步長不應過小,小步長易使車輛繞參考軌跡擺動,中高速情況下容易失去穩(wěn)定性。由此可以確定不同速度下合適的預測時域步長,結果如表1所示,其它速度區(qū)間的最佳時域步長可以通過線性回歸預測得到。

表1 不同速度下確定的預測步長

本文使用Carsim搭建整車模型,仿真所用車輛模型為前輪驅動C級轎車,模型及仿真過程中的參數(shù)設置如表2所示。

表2 車輛參數(shù)及權重矩陣設置

4.2 路徑跟蹤控制器對比分析

將基于狀態(tài)反饋的路徑跟蹤模型預測控制器與傳統(tǒng)模型預測控制器的車輛行駛軌跡、橫擺角及偏差曲線進行對比分析。不同車速下改進控制器性能表現(xiàn)不同,本文分別在36 km/h、72 km/h和108 km/h速度下進行仿真試驗,采用車輛參考軌跡與實際行駛軌跡誤差平均值和最大值指標作為衡量軌跡跟蹤精度好壞的依據(jù),并結合仿真結果分析車輛在不同控制器下的路徑跟蹤效果。

圖7為36 km/h速度下得到的仿真結果,圖7a)為車輛行駛軌跡,圖7b)和圖7c)為車輛相對參考軌跡的橫向偏差和橫擺角偏差,圖7d)為前輪轉角對比圖,算法改進前后車輛軌跡和前輪轉角的結果對比通過箭頭標注。

圖7 36 km/h車速仿真結果

從圖7a)曲線可以看出,采用傳統(tǒng)模型預測控制的車輛在40～50 m區(qū)間入彎較晚,在60～70 m區(qū)間因提早轉向而駛離車道,車輛進入下一彎道時導致偏差累積,而使用本文方法的車輛在駛入和駛離彎道時更加接近參考軌跡。由圖7b)和圖7c)可以看出,車輛行駛最大偏差出現(xiàn)在彎道內,傳統(tǒng)模型預測控制器的最大橫向偏差和橫擺角偏差都大于狀態(tài)反饋控制器。由圖7d)車輛前輪轉角對比分析可知,車輛在40～50 m和60～70 m彎道內校正后的方向盤轉角幅值略大于傳統(tǒng)模型預測控制器,意味著車輛入彎時刻更早,而出彎時刻稍晚,同時可以看出進入下一彎道后轉向更快速,有利于車輛提升彎道跟蹤的準確性。由計算可知,雙移線工況下,汽車以36 km/h定速行駛,使用本文方法的控制器橫向誤差平均值為0.138 m,誤差最大值為0.353 m,位于橫向位置74 m處;而傳統(tǒng)模型預測控制器橫向誤差平均值為0.165 m,誤差最大值為0.518 m,位于橫向位置76 m處。

圖8為車輛以72 km/h行駛時得到的仿真結果。

圖8 72 km/h車速仿真結果

從圖8a)中曲線可以看出,在40～50 m和60～70 m區(qū)間車輛變換彎道時,兩種控制方法下車輛駛離彎道的位置基本相同,使用本文方法的車輛橫向位置誤差和橫擺角偏差更小。從圖8b)和圖8c)可知,基于狀態(tài)反饋的路徑跟蹤控制器橫向偏差和橫擺角偏差均得到明顯改善。由圖8d)可知,在位置50～60 m區(qū)間,使用本文方法的車輛前輪轉角在達到最大值后沒有立刻回正,而持續(xù)了一小段時間,由圖8a)可知此時彎道內使用狀態(tài)反饋控制器的車輛更加接近參考軌跡。由計算得狀態(tài)反饋控制器橫向誤差平均值為0.148 m,誤差最大值為0.454 m;傳統(tǒng)模型預測控制器橫向誤差平均值為0.225 m,誤差最大值為0.681 m。

圖9為車輛以108 km/h行駛時的仿真結果。

圖9 108 km/h車速仿真結果

由于車輛高速行駛時輪胎接近附著極限,兩種控制方法得到的路徑跟蹤誤差均較大,在動力學約束條件下本文方法對高速彎道軌跡改善程度較小。

車輛行駛偏差數(shù)據(jù)對比如表3和表4所示,由表可以看出,72 km/h速度下基于狀態(tài)反饋的跟蹤控制器行駛精度改善程度最大,車輛橫向偏差平均值和幅值降低33%以上,橫擺角偏差的幅值降低達61%;36 km/h速度下也有很好的跟蹤效果,車輛在中低速過彎時車輛偏差的最大值和平均值均小于傳統(tǒng)模型預測控制器;而以108 km/h高速行駛時橫擺角偏差有所改善,橫向偏差最大值有所增加。但由于彎道內行駛車速一般較低,故基于狀態(tài)反饋的模型預測控制器能夠適用于彎道行駛。

表3 雙移線工況橫向偏差對比

表4 雙移線工況橫擺角偏差對比

5 結論

本文為解決車輛駛入和駛離彎道時行駛精度低的問題,提出了基于狀態(tài)反饋的路徑跟蹤橫向控制策略。在路徑跟蹤模型預測控制器基礎上,對于復雜行駛路況,在滿足控制量約束和輸出量約束的橫向控制器基礎上,加入針對輪胎的滑移穩(wěn)定性約束,提高車輛行駛安全性,根據(jù)工況調整合適的控制器時域參數(shù)使誤差均方根值最小。在傳統(tǒng)模型預測控制器基礎上,建立了基于LQR的狀態(tài)反饋調節(jié)器。以路面附著良好的雙移線道路為基本仿真工況,通過MATLAB/Simulink和Carsim對所設計的控制器進行仿真驗證,結果表明:相比于傳統(tǒng)模型預測控制器,基于橫擺角偏差反饋的改進狀態(tài)反饋控制器在36 km/h車速下橫向偏差降低了16%以上,橫擺角偏差降低了33%以上;72 km/h車速下橫向偏差降低了33%以上,橫擺角偏差降低了了61%以上;108 km/h車速下偏差略有改善,驗證了改進控制器能夠提升車輛彎道內中低速行駛時的跟蹤精度,使車輛駛離彎道時不會過早的轉向而偏離車道。