余文利,鄧小雷,謝長(zhǎng)雄,王建臣

(1. 衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,浙江衢州 324000；2. 浙江大學(xué) 浙江省三維打印工藝與裝備重點(diǎn)試驗(yàn)室,杭州 310027；3. 衢州學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,浙江衢州 324000)

影響機(jī)床加工精度的因素包括幾何誤差、熱誤差、切削力誤差、伺服控制誤差等,其中幾何誤差和熱誤差約占總誤差的65%[1]。幾何誤差對(duì)加工質(zhì)量有重大影響,是導(dǎo)致機(jī)床誤差的主要因素。而幾何誤差具有系統(tǒng)性、可重復(fù)性和可測(cè)量性等特點(diǎn),使得誤差補(bǔ)償成為一種經(jīng)濟(jì)有效的提高機(jī)床加工精度的重要手段[2]。

幾何誤差補(bǔ)償技術(shù)的前提之一是幾何誤差建模,通過(guò)建模可以為補(bǔ)償提供模型支持。當(dāng)前幾何誤差建模最常用的方法是基于機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈的分析,通常以機(jī)床床身為基礎(chǔ),將運(yùn)動(dòng)鏈分為兩個(gè)子鏈,一個(gè)子鏈用于驅(qū)動(dòng)刀具,另一個(gè)子鏈用于移動(dòng)工作臺(tái)。對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的最常用的方法為多體系統(tǒng)理論結(jié)合齊次坐標(biāo)變換法(Homogeneous transformation matrix, HTM)[3]。金增楠等[4]基于多體系統(tǒng)理論建立拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及低序體間陣列,并據(jù)此獲得鏜削系統(tǒng)空間誤差模型。趙強(qiáng)強(qiáng)等[5]運(yùn)用多體系統(tǒng)理論,構(gòu)建任意結(jié)構(gòu)機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與低序體陣列,并提出了機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸連接支承件相對(duì)運(yùn)動(dòng)矩陣與機(jī)床支承件連接矩陣概念,建立了獲取運(yùn)動(dòng)軸誤差傳遞鏈的數(shù)學(xué)模型。楊澤青等[6]在熱穩(wěn)態(tài)條件下基于多體系統(tǒng)理論和HTM方法建立包含幾何誤差和伺服動(dòng)態(tài)誤差的綜合誤差模型。Wu等[7]基于HTM和多體系統(tǒng)理論,建立了僅考慮多軸數(shù)控機(jī)床平動(dòng)軸的位置誤差模型。文獻(xiàn)[8]通過(guò)HTM構(gòu)造相對(duì)于坐標(biāo)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)矩陣,基于齊次變換推導(dǎo)出三軸機(jī)床的幾何誤差模型。董澤園等[9]采用HTM方法基于18項(xiàng)和21項(xiàng)幾何誤差元素構(gòu)建三軸數(shù)控機(jī)床的幾何誤差模型,并對(duì)這兩種誤差補(bǔ)償?shù)挠行赃M(jìn)行了系統(tǒng)性的分析比較。Xiang等[10]基于多體系統(tǒng)理論和HTM方法提出了一種用于多機(jī)床的空間誤差廣義模型和分布式誤差補(bǔ)償技術(shù)。趙壯等[11]采用阿貝原則和布萊恩原則對(duì)HTM幾何誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行優(yōu)化,進(jìn)一步改善了空間誤差的補(bǔ)償精度。多體系統(tǒng)理論結(jié)合HTM方法雖然在機(jī)床幾何誤差建模中得到大量成功應(yīng)用,但是仍然存在以下局限性:1) HTM建模方法將機(jī)床各部件看作剛體,各部件需要建立單獨(dú)的坐標(biāo)系,一個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的綜合齊次變換矩陣包括位置矩陣、位置誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)矩陣、運(yùn)動(dòng)誤差矩陣[12],進(jìn)行矩陣變換時(shí)存在潛在的奇異性問(wèn)題;2) HTM誤差模型與機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)密切相關(guān),機(jī)床結(jié)構(gòu)的微小變化就會(huì)使得HTM誤差模型失效。近年來(lái),POE旋量理論[13]已在機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛使用,國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼將該理論應(yīng)用于構(gòu)建機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出幾何誤差模型。Zhao等[14]將幾何誤差源用旋量表示,綜合模型的計(jì)算結(jié)果為誤差旋量的總和,并建立了基于旋量理論的幾何誤差模型。Tian等[15]采用旋量理論構(gòu)建幾何誤差模型時(shí)考慮了垂直度誤差的影響,并用六維向量來(lái)表示誤差元素。Zhao和Tian的研究中沒(méi)有對(duì)每個(gè)軸的基本誤差元素進(jìn)行詳細(xì)描述,同時(shí),在構(gòu)建誤差模型時(shí)直接使用旋量,而沒(méi)有使用旋量的指數(shù)矩陣,并且沒(méi)有詳細(xì)解釋這些旋量的集成方式,使得建模過(guò)程不夠清晰和系統(tǒng)[14-15]。

本文以三軸立式加工中心為研究對(duì)象,基于POE旋量理論建立一個(gè)系統(tǒng)的幾何誤差模型,以綜合三軸立式加工中心的所有幾何誤差。首先,建立各個(gè)軸的基本誤差元素的旋量和POE模型,從幾何意義的角度,將各個(gè)軸的6個(gè)基本誤差元素分為3組,每組用一個(gè)誤差旋量表示,綜合3個(gè)誤差旋量建立各個(gè)軸誤差POE模型,所建立的POE模型確保了變換矩陣是齊次的,并且符合誤差元素的幾何定義;其次,在POE模型中考慮垂直度誤差,通過(guò)分析垂直度誤差的幾何屬性,提出兩種獲得垂直度誤差POE模型的方法;此外,將立式加工中心的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)作為旋量和POE模型相乘次序的確定原則。最后,在北京精雕Carver800T三軸立式加工中心進(jìn)行幾何誤差辨識(shí)和建模實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文模型的可行性和有效性。

1 基于POE旋量理論的三軸立式加工中心幾何誤差建模

1.1 旋量理論和POE建模

Chasles定理[16]證明了一個(gè)剛體從一個(gè)位姿到另一個(gè)位姿運(yùn)動(dòng)分為兩部分:圍繞空間某一直線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)及沿平行于該直線的平移運(yùn)動(dòng),這種復(fù)合運(yùn)動(dòng)稱為螺旋運(yùn)動(dòng)。而運(yùn)動(dòng)旋量即為螺旋運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小量,在Plücker坐標(biāo)系中,單位旋量表示為

(1)

式中:ω為瞬時(shí)角速度;v為線速度。

(2)

剛體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)包含旋轉(zhuǎn)和平移[17],假設(shè)剛體坐標(biāo)系和參考坐標(biāo)系之間的向量為q,則剛體的齊次變換矩陣為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

此外,可以采用POE旋量理論建模來(lái)表示開(kāi)放鏈機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué),對(duì)于n自由度機(jī)器人,正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積[20]為

(8)

式中T(0)表示初始變換矩陣。

從上述推導(dǎo)步驟可知,與傳統(tǒng)的基于HTM方法的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模不同,基于POE旋量理論的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法優(yōu)勢(shì)如下:1) 避免了HTM建模方法中對(duì)各部件建立局部坐標(biāo)系,整個(gè)過(guò)程只需建立一個(gè)全局參考坐標(biāo)系,解決了矩陣變換時(shí)存在的奇異性問(wèn)題;2) 運(yùn)動(dòng)旋量指數(shù)可以方便地描述剛體的運(yùn)動(dòng),其清晰的物理意義可以更好地表達(dá)剛體運(yùn)動(dòng)的空間幾何特性,從而簡(jiǎn)化了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

鑒于此,本文將POE旋量理論應(yīng)用于三軸立式加工中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模,并在此基礎(chǔ)上建立綜合幾何誤差POE模型。

1.2 幾何誤差元素分析

全局坐標(biāo)系中機(jī)床的每個(gè)部件(如平動(dòng)軸、主軸、銑頭等)都有運(yùn)動(dòng)旋量和誤差旋量,由這些組件的旋量可以組成機(jī)床的運(yùn)動(dòng)鏈,同時(shí)也是機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。通過(guò)工作臺(tái)坐標(biāo)系獲得的工件幾何誤差被選作參考坐標(biāo)系。通過(guò)對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分析,將誤差旋量和運(yùn)動(dòng)旋量的指數(shù)矩陣相乘,得到幾何誤差模型。

三軸立式加工中心包含21項(xiàng)幾何誤差元素[21],分別為定位誤差、直線度誤差、角度誤差和垂直度誤差,如表1所示。

表1 三軸立式加工中心的幾何誤差元素

表1中,δ代表線性誤差,ε代表角度誤差,S代表垂直度誤差。誤差變量均有兩個(gè)下標(biāo),第一個(gè)下標(biāo)表示誤差的方向,第二個(gè)下標(biāo)表示所在軸的名稱,例如:δxy表示Y軸在X方向的線性誤差,εxz表示Z軸圍繞X軸的角度誤差。以下將這些幾何誤差元素用旋量表示,然后基于POE旋量理論構(gòu)建綜合幾何誤差POE模型。

1.3 基于旋量的幾何誤差建模

三軸立式加工中心有3個(gè)平動(dòng)軸,其單位運(yùn)動(dòng)旋量為

ξb=[0,0,0,sx,sy,sz]T

(9)

式中單位向量s=[sx,sy,sz]T表示平動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)方向。其運(yùn)動(dòng)指數(shù)矩陣eξb可以表示為

(10)

以下用ξx、ξy和ξz分別表示X軸、Y軸和Z軸的運(yùn)動(dòng)旋量,x、y和z分別表示各個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)位移。則相應(yīng)的指數(shù)矩陣分別為每個(gè)軸的理想變換矩陣,各個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)旋量和指數(shù)矩陣分別為：

(11)

(12)

由于制造和裝配缺陷,機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸在平移過(guò)程中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位姿與理想運(yùn)動(dòng)位姿存在偏差,此偏差被稱為幾何誤差[22]。通常,由于剛體具有六個(gè)自由度,因此六項(xiàng)誤差元素可用于描述運(yùn)動(dòng)軸的幾何誤差[23],包括1項(xiàng)定位誤差,2項(xiàng)直線度誤差和3項(xiàng)角度誤差(俯仰、偏擺和滾轉(zhuǎn))。Moon等[24]使用旋量理論將六項(xiàng)誤差元素描述為模塊化誤差旋量,即使用一個(gè)旋量來(lái)表示所有的誤差元素,其定義形式為meξe=[εx,εy,εz,δx,δy,δz]T,因?yàn)闆](méi)有考慮誤差元素的幾何定義,該旋量指數(shù)矩陣無(wú)法正確表示6個(gè)基本幾何誤差元素。

圖1所示為平動(dòng)軸的6項(xiàng)基本幾何誤差元素,以X軸為例,將這6項(xiàng)誤差元素根據(jù)方向分為3組,每組分別采用一個(gè)旋量表示。第一組包含定位誤差δxx和滾動(dòng)角度誤差εxx,其對(duì)應(yīng)的旋量為ξxx;第二組包含水平直線度誤差δyx和俯仰角度誤差εyx,其對(duì)應(yīng)的旋量為ξyx;第三組包含豎直直線度誤差δzx和偏擺角度誤差εzx,其對(duì)應(yīng)的旋量為ξzx。

圖1 平動(dòng)軸的6項(xiàng)基本幾何誤差

3個(gè)旋量分別表示為：

(13)

(14)

式中：s=sin;c=cos。

X軸不包含垂直度誤差的誤差POE模型為

(15)

式中ξxe為X軸幾何誤差元素綜合旋量。

同理,Y軸和Z軸的誤差旋量和誤差POE模型為：

(16)

(17)

(18)

(19)

1.4 垂直度誤差建模

由于實(shí)際軸與理想軸的偏差,相鄰軸之間的角度不等于90°,即存在垂直度誤差。垂直度誤差可以解釋如下:由于將Y軸定義為與參考坐標(biāo)系對(duì)齊,因此對(duì)于實(shí)際的Y軸不存在垂直度誤差。根據(jù)上述解釋,可知三軸數(shù)控機(jī)床存在3個(gè)垂直度誤差,分別是X軸與Y軸之間的Sxy,Y軸與Z軸之間的Syz以及X軸與Z軸之間的Sxz,如圖2所示,由實(shí)際X軸和Y軸形成的平面稱為X-Y參考平面,實(shí)際X軸只有垂直度誤差Sxy;同時(shí),對(duì)于實(shí)際的Z軸,存在另外兩個(gè)垂直度誤差。

圖2 三軸立式加工中心垂直度誤差分布

以X軸為例,理想單位旋量ξxi為

ξxi=[0,0,0,1,0,0]T

(20)

由于存在垂直度誤差Sxy,實(shí)際單位旋量ξxs為

ξxs=[0,0,0,cos(Sxy),-sin(Sxy),0]T

(21)

(22)

此外,伴隨矩陣可用于表示坐標(biāo)變換。根據(jù)式(7),參考坐標(biāo)系圍繞理想Z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,該過(guò)程可以表示為：

(23)

式中第二個(gè)下標(biāo)r表示圍繞由第一個(gè)下標(biāo)表示的軸的旋轉(zhuǎn)旋量,該軸表示理想軸。

(24)

與伴隨矩陣坐標(biāo)變換方法一樣,參考坐標(biāo)系首先圍繞理想Y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,然后圍繞理想X軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。上述變換可表示為：

(25)

式中:ξxr=[1,0,0,0,0,0]T是圍繞理想X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的單位旋轉(zhuǎn)旋量;ξyr=[0,1,0,0,0,0]T是圍繞理想Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的單位旋轉(zhuǎn)旋量。

1.5 基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的幾何誤差建模

以XYFZ三軸數(shù)控機(jī)床為例,結(jié)構(gòu)原理如圖3a)所示,圖3b)為基于多體系統(tǒng)理論所獲得機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可應(yīng)用于幾何誤差的POE建模。

圖3 XYFZ型多軸數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖

在機(jī)床理想狀況下,因?yàn)椴豢紤]運(yùn)動(dòng)誤差,指數(shù)矩陣相乘順序?yàn)閄i→Yi→Zi。理想POE模型為

(26)

式中:x表示X軸的伺服控制位置,即X軸的移動(dòng)距離;y和z分別表示Y軸和Z軸的位置。因參考坐標(biāo)系位于工作臺(tái)上,因此X軸和Y軸的坐標(biāo)為負(fù)數(shù)。Ti也可以表示刀尖的理想齊次坐標(biāo)。

在實(shí)際情況下,機(jī)床存在各種幾何誤差,影響機(jī)床的加工精度。幾何誤差元素的誤差旋量包括垂直度誤差旋量、各平動(dòng)軸線性誤差旋量和角度誤差旋量,其誤差指數(shù)矩陣相乘順序如圖3b)所示為:Xe→Xi→Ye→Yi→F→Zi→Ze,即

(27)

式中旋量ξF=[0,0,0,0,0,0]T表示機(jī)床床身。

刀尖誤差是理想值與刀尖實(shí)際齊次坐標(biāo)的偏差,誤差變換矩陣E為

(28)

設(shè)E的3個(gè)分量分別為Ex、Ey和Ez,則

[Ex,Ey,Ez,1]T=E·[0,0,0,1]T

(29)

因?yàn)槿S立式加工中心只有平動(dòng)軸而沒(méi)有旋轉(zhuǎn)軸,刀具姿態(tài)誤差無(wú)法進(jìn)行補(bǔ)償,在此不予考慮。三軸三軸立式加工中心綜合誤差模型即為刀尖的位置誤差,使用小角度近似假設(shè),則幾何誤差模型為：

Ex=-δxx-δxy+δzxεyx+δzyεyx-δyyεxyεyx+δzyεyy+xSxyεzx-δyyεzx-δzyεxyεzx-(z+δzz+δyzεxz)×

(εyx+εyy-εxyεzx)+[1+εzx(εxyεyy-εzy)-εyx(εyy+εxyεzy)]-y[εzx+(1-εyxεyy)εzy+

εxy(εyx+εyyεzxεzy)]+(-zSyz+δyz-δzzεxz)[εzx+(1-εyxεyy)εzy+εxy(εyx+εyyεzxεzy)]

(30)

Ey=y-δyx-δzxεxx+εxx(-δzy+δyyεxy)+(-δxy+δzyεyy)(εxxεyx-εzx)+x(-εxxεyx+εzx)+

xSxy(1+εxxεyxεzx)-(δyy+δzyεxy)(1+εxxεyxεzx)+(z+δzz+δyzεxz){εxy+εyyεzx+εxx[1+εyx(-εyy+εxyεzx)]}+

(-zSxz+δxz+δzzεyz)(εxxεyx-εzx+(1+εxxεyxεzx)(εxyεyy-εzy)+εxx(εyy+εxyεzy))-

y[(εxxεyx-εzx)εzy+εxx(-εxy+εyyεzy)+(1+εxxεyxεzx)(1+εxyεyyεzy)]+

(-zSyz+δyz-δzzεxz)[(εxxεyx-εzx)εzy+εxx(-εxy+εyyεzy)+(1+εxxεyxεzx)(1+εxyεyyεzy)]

(31)

Ez=-z-δzx-δzy+δyxεxx+δyyεxy-x(εyx+εxxεzx)+(-δxy+δzyεyy)(εyx+εxxεzx)+

(δyy+δzyεxy)(εxx-εyxεzx)+xSxy(-εxx+εyxεzx)+(z+δzz+δyzεxz)[1+εyx(-εyy+εxyεzx)-εxx(εxy+εyyεzx)]+

(-zSxz+δxz+δzzεyz)(εyx+εyy+εxxεzx+(-εxx+εyxεzx)(εxyεyy-εzy)+εxyεzy)-

y[-εxy+εyyεzy+(εyx+εxxεzx)εzy+(-εxx+εyxεzx)(1+εxyεyyεzy)]+

(-zSyz+δyz-δzzεxz)[-εxy+εyyεzy+(εyx+εxxεzx)εzy+(-εxx+εyxεzx)(1+εxyεyyεzy)]

(32)

忽略了2階和高階誤差項(xiàng)后,三軸數(shù)控機(jī)床一階誤差模型為：

(33)

2 算例與試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 幾何誤差測(cè)量與辨識(shí)

北京精雕Carver800T三軸立式加工中心為XYFZ型機(jī)床,選擇美國(guó)光動(dòng)公司MCV-500激光干涉儀(LDDM)為測(cè)量?jī)x器,圖4a)所示立式加工中心被測(cè)工作空間行程為800 mm×800 mm×420 mm,圖4b)為激光干涉儀測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)圖。在幾何誤差元素辨識(shí)實(shí)驗(yàn)中,測(cè)量過(guò)程嚴(yán)格遵循ISO230-2標(biāo)準(zhǔn)[25],基于改進(jìn)的“9線法”[26]進(jìn)行多次測(cè)量,辨識(shí)得到的各個(gè)軸的定位誤差、直線度誤差和角度誤差如圖5所示,垂直度誤差如表2所示。

圖4 測(cè)量工作區(qū)和測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)圖

表2 垂直度誤差辨識(shí)結(jié)果 μrad

圖5 各個(gè)軸位置相關(guān)幾何誤差辨識(shí)結(jié)果

2.2 立式加工中心幾何誤差預(yù)測(cè)

“9線法”測(cè)量過(guò)程中辨識(shí)得到工作空間中3條線3個(gè)方向的線性誤差,本質(zhì)上是三軸立式加工心各個(gè)軸軸線上的綜合線性誤差,本文模型可以計(jì)算得到各個(gè)軸軸線上3個(gè)方向誤差的預(yù)測(cè)值,下面對(duì)測(cè)量值和預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較來(lái)驗(yàn)證模型的正確性。沿各運(yùn)動(dòng)軸軸線方向的線性誤差的預(yù)測(cè)值通過(guò)綜合幾何誤差POE模型計(jì)算得到。由于測(cè)量環(huán)境中存在的噪聲、振動(dòng)和溫度差異等均會(huì)影響測(cè)量精度,因此測(cè)量值除了機(jī)床幾何誤差外,還包含熱誤差和振動(dòng)誤差等,而通過(guò)誤差POE模型計(jì)算得到的預(yù)測(cè)值僅包含幾何誤差,預(yù)測(cè)值和測(cè)量值之間的差異包含了這些因素。因此只要預(yù)測(cè)值和計(jì)算值之間的差異不大(根據(jù)實(shí)驗(yàn)機(jī)床精度,綜合考慮各項(xiàng)影響因素后,設(shè)定為小于15 μm),則本文模型可視為足夠準(zhǔn)確。

圖6所示為機(jī)床沿X軸運(yùn)動(dòng)(A0B0線)時(shí)3個(gè)方向的線性誤差和總誤差比較圖,包含了模型預(yù)測(cè)值和測(cè)量值。從圖6中可以看出,x方向的模型計(jì)算得到的線性誤差預(yù)測(cè)值與測(cè)量值完全一致,y方向的最大偏差(預(yù)測(cè)值減測(cè)量值)為2.26 μm,偏差范圍為-0.744～2.26 μm,z方向的偏差范圍為-9.68～0.33 μm,總誤差的偏差范圍為-0.60～4.04 μm。總之,最大偏差不超過(guò)15 μm,說(shuō)明綜合幾何誤差POE模型對(duì)X軸的誤差預(yù)測(cè)精度足夠高。

圖6 X軸3個(gè)方向線性誤差和A0B0線的總誤差比較圖

對(duì)于Y軸,即當(dāng)機(jī)床沿A0D0線移動(dòng)時(shí),最大偏差出現(xiàn)在x方向?yàn)?3.6 μm。圖7所示為3個(gè)方向上的預(yù)測(cè)值和測(cè)量值比較圖以及Y軸總誤差比較圖,從圖7可知,在y方向上模型預(yù)測(cè)得出的線性誤差與測(cè)量值完全一致,z方向的偏差范圍為-9～1.7 μm,總誤差的偏差范圍為-11.3～2.69 μm,最大偏差也小于15 μm,因此綜合幾何誤差POE模型也能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)Y軸的幾何誤差。

圖7 Y軸3個(gè)方向線性誤差和A0D0線的總誤差比較圖

圖8為機(jī)床沿Z軸(A0A1線)移動(dòng)時(shí)線性誤差模型預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的比較圖,從圖中可以看出,雖然在x和y方向預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的趨勢(shì)不一致,但最大偏差僅為2.58 μm,而在z方向線性誤差預(yù)測(cè)值和測(cè)量值完全相同,總誤差的偏差小于2 μm。模型預(yù)測(cè)結(jié)果表明,綜合幾何誤差POE模型也可以精確預(yù)測(cè)Z軸的幾何誤差。

圖8 Z軸3個(gè)方向線性誤差和A0A1線的總誤差比較圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的綜合幾何誤差POE模型的有效性,在機(jī)床工作區(qū)中沿Z軸任意選擇一條線(E0E1線),使用LDDM測(cè)量機(jī)床沿E0E1移動(dòng)時(shí)的線性誤差,由于通過(guò)LDDM獲得的測(cè)量值是相對(duì)誤差,因此第一個(gè)測(cè)量值必須接近0,為了與預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較,可以通過(guò)更改參考值來(lái)調(diào)整測(cè)量數(shù)據(jù)。圖9所示為機(jī)床在3個(gè)方向上線性誤差的測(cè)量值與預(yù)測(cè)值及總誤差比較圖,從圖9中可以看出,雖然在x方向和y方向上預(yù)測(cè)值和測(cè)量值有所差異,但是偏差很小,其中,x方向的偏差范圍為-0.77～14.57 μm,y方向的最大偏差為-6.11 μm,而z方向上預(yù)測(cè)值和測(cè)量值的趨勢(shì)基本一致,其線性誤差的偏差范圍為-6.65～1.38 μm,總誤差的最大偏差為-6.65 μm,所有的偏差的最大值均小于15 μm。以上結(jié)果說(shuō)明,本文模型在各種情況下均能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)三軸立式加工中心的各個(gè)軸的幾何誤差。

圖9 Z軸3個(gè)方向線性誤差和E0E1線的總誤差比較圖

從以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,本文提出的基于POE旋量理論的綜合幾何誤差POE模型能夠準(zhǔn)確確預(yù)測(cè)三軸立式加工中心的幾何誤差,通過(guò)預(yù)測(cè)結(jié)果能夠獲得機(jī)床的幾何誤差場(chǎng)。圖10所示為Z軸的位置誤差分布和工作區(qū)A0B0C0D0平面的總誤差分布,從圖10中可以看出,最大位置誤差為-70 μm,最大總誤差為257 μm。圖11所示為整個(gè)工作區(qū)的誤差場(chǎng)分布,包括3個(gè)方向的線性誤差和總誤差,該圖呈現(xiàn)出總的幾何誤差場(chǎng),可以表示任何點(diǎn)的誤差。上述幾何誤差場(chǎng)分布可應(yīng)用于后續(xù)的機(jī)床空間誤差補(bǔ)償。

圖10 Z軸3個(gè)方向的位置誤差分布和A0B0C0D0平面的總誤差分布

圖11 整個(gè)工作區(qū)的幾何誤差場(chǎng)

3 結(jié)論

1) 針對(duì)傳統(tǒng)多體系統(tǒng)理論結(jié)合HTM方法的幾何誤差建模過(guò)程中局部坐標(biāo)系構(gòu)建及齊次坐標(biāo)變換的繁瑣性問(wèn)題,借助POE旋量理論,面向三軸立式加工中心提出一種較完善的幾何誤差建模方法。所提方法只需要建立一個(gè)基準(zhǔn)參考坐標(biāo)系,并且可以避免矩陣變換的奇異性問(wèn)題,簡(jiǎn)化了建模過(guò)程。

2) 通過(guò)將每個(gè)軸的6項(xiàng)基本誤差元素分為3組,每組誤差元素使用一個(gè)旋量來(lái)表示,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建3個(gè)誤差POE模型,使得誤差POE建模更加簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確。

3) 垂直度誤差是三軸立式加工中心幾何誤差元素中的重要組成部分,在誤差POE建模時(shí)考慮垂直度誤差,使得綜合誤差POE模型更加系統(tǒng)化和精確化。

4) 通過(guò)引入基于多體系統(tǒng)理論建立的機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),為綜合幾何誤差POE模型中指數(shù)矩陣相乘的次序提供參考,使最終建立的綜合POE模型更加合理和易于理解。