陳慶芳

高中數學臨界生立體幾何學習現狀及教學策略

陳慶芳

（廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學,廣東肇慶526100）

作為教師，只有深入地掌握學生的學習實際情況，才能更好地進行因生施教和因材施教，方能令教學效果達到最大化的要求。本文筆者采用問卷調查、測試（前測與后測）調查、個案研究、基于SPSS的數據統(tǒng)計分析、教學設計和教學實驗等研究方法，對高中數學臨界生立體幾何學習現狀進行調查分析及教學策略研究，并為提高高中數學臨界生立體幾何的學習成績提供相關的教學經驗以及教學建議。

數學臨界生；立體幾何；對比研究；個案研究；教學實驗

在學習過程當中，臨界生具有非常大的發(fā)展?jié)摿?，做好他們的教學工作是中學教育成功的關鍵。如果教師能夠加強臨界生的教學工作，不僅可以促進高中教育教學工作的全面發(fā)展，探索出一條新的高中生教育模式，實現新形勢下的高中教學培養(yǎng)目標，并且能使更多的學生在高考中脫穎而出，考出理想的成績。

經參考有關文獻，以及在有關專家的指導下，并結合自己的工作實際情況，筆者在本課題研究的臨界生對象是針對高考總分能進入普通本科線而數學單科成績不能進入普通本科線的高中學生。

一、研究對象

本文研究對象是廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學2020年入學的學生。廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學于1998年被評為廣東省一級學校，并且是廣東省的示范性高中，見微知著，選擇此校的高中數學臨界生進行立體幾何學習的調查分析研究，統(tǒng)計的結果具有一定的典型性和代表性。

（一）數學臨界生界定方法

1.2023年高考總分上本科線預測。搜集、整理廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學2017～2021年的高考本科升學率。利用統(tǒng)計回歸分析法，預測2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學的高考本科升學率，見圖1所示。

圖1　高考本科升學率回歸分析

從圖1可以看出，2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學的本科預測升學率公式為y=0.0935x-188.25，考慮到每年高考都會存在各種不確定因素，所以在升學率公式里面引入不確定系數i。不確定系數i是根據每年高考前的高考模擬考試成績進行統(tǒng)計分析得出，最終的本科預測升學率公式調整為y=i（0.0935x-188.25）。經計算知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學的本科升學人數約為696人（注：這只是初步統(tǒng)計分析的數據，作為課題研究使用。等到2023年高考前高考模擬考試成績出來后進行相關統(tǒng)計分析后得出較準確的不確定系數i，將i代入本科預測升學率公式計算方可得出較準確的本科升學率預測值）。

2.2023年高考數學單科上本科線預測

搜集、整理廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學2017～2021年的高考數學單科上本科線的吻合率。利用統(tǒng)計回歸分析法，預測2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學的高考數學單科上本科線的吻合率，見圖2所示。

圖2　高考數學單科上本科線的吻合率回歸分析

從圖2可以看出，2023年高考數學單科上本科線預測升學率公式為y＝0.0092x+0.68315，考慮到每年高考都會存在各種不確定因素，所以在升學率公式里面引入不確定系數j。不確定系數j是根據每年高考前的高考模擬考試成績進行統(tǒng)計分析得出，最終的預測升學率公式調整為y=j（0.0092x+0.68315）。經計算知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學的數學單科本科升學人數約為601人（注：這只是初步統(tǒng)計分析的數據，作為課題研究使用。等到2023年高考前高考模擬考試成績出來后進行相關統(tǒng)計分析后得出較準確的不確定系數j，將j代入預測升學率公式計算方可得出較準確的本科升學率預測值）。

3.數學臨界生界定方法

經以上初步計算知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學的總分達到本科分數線的人數約為696人，其中數學單科成績達到本科分數線的人數約為601人。根據反吻合率計算，得知總分能進入本科線，但數學單科成績不能進入本科線的學生人數約為95人，根據上下浮動原理，取數學臨界生的總人數為190人，即這190位學生的數學單科成績是處于數學單科本科臨界線上下浮動的特定范圍區(qū)間內。

二、調查過程與分析

在本調查研究中，問卷和測試卷都是圍繞六個維度展開的，如圖3所示。

圖3　六維度圖

高中數學臨界生調查問卷的設計是參照文獻以及相關方面的研究，在有關專家的指導下自行設計的；測試卷（前測與后測）是根據考試大綱的要求，圍繞六個維度需要測試考核的相關內容進行出題的。

在數學臨界生調查問卷和測試卷（前測與后測）的設計過程中，基本都是圍繞這六個維度，并遵循的原則是：

（1）能通過詢問得出結果的問題就用調查問卷問；

（2）不能通過詢問得出結果的問題就用測試卷（前測與后測）測。

特別利用一個高中晚自習的時間，分別進行了一次問卷調查和測試（前測）調查。

（一）問卷調查分析

調查問卷共設13道選擇題，主要是針對數學臨界生進行不記分和不計名的調查。特利用高中晚自習時間發(fā)放，并且15分鐘之后收回。累計共發(fā)放190份問卷，收回190份問卷，有效190份問卷，其中問卷用SPSS分析的信度為0.705，如表1所示，效度為0.726，如表2所示，所有的統(tǒng)計數據都在合理區(qū)間內（相關標準參考DeVellis，Kaiser等學者提出的關于信效度的研究結果，這些研究結果表明：在探索性研究中，對于教師自編的問卷調查進行數據統(tǒng)計，信效度在0.7～0.8范圍內，可以被認為是較高水平。）表明數據可靠。

表1問卷數據可靠性統(tǒng)計量

表2問卷數據KMO和Bartlett的檢驗

（二）測試調查分析

測試（前測）調查共3道大題，3道大題分別是選擇題、填空題和解答題。選擇題每題5分，共60分，填空題每題5分，共20分，解答題中的第一題為10分，其余題目為12分，共70分，整張測試卷總分為150分，用時120分鐘。通過由筆者主持的項目——廣東省肇慶市高要區(qū)中小學教育科研課題《基于數學核心素養(yǎng)的高中數學臨界生立體幾何教學策略應用研究》課題組主要參與成員進行集體手工改卷，分數比較真實可靠。測試卷主要考查學生的知識點包括以下12點內容，如圖4所示。

測試人數190人，有效人數190人，通過SPSS軟件進行統(tǒng)計分析，試卷信度為0.719，如表3所示，效度為0.734，如表4所示，試卷的難度指數為0.42，所有的統(tǒng)計數據都在合理區(qū)間內（相關標準參考DeVellis、Kaiser等學者提出的關于信效度的研究結果，這些研究結果表明：在探索性研究中，對于教師自編的測試卷進行數據統(tǒng)計，信效度在0.7～0.8范圍內，可以被認為是較高水平。），表明測試數據可靠。

表3前測試卷數據可靠性統(tǒng)計量

表4前測試卷數據KMO和Bartlett的檢驗

利用SPSS軟件對測試卷里面的得分情況進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計分析的內容包括數學臨界生做每道題的得分情況分析，數學臨界生做每道題的得分以及試卷總分的差異性分析。

（三）個案研究分析

選取研究對象范圍內立體幾何成績最好、中等以及最差的學生進行個案研究，研究方法是學生訪談。學生訪談是在學生調查問卷已有的問題基礎上，對選取的學生對象進行個別談話，目的是想更進一步了解在學習過程中數學臨界生立體幾何學習情況以及差異性。

（四）數學臨界生教學實驗分析

1.實驗對象

經回歸計算得知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學的總分達到本科分數線的人數約為696人，其中數學單科成績達到本科分數線的人數約為601人，根據反吻合率計算，得知總分能進入本科線，但數學單科成績不能進入本科線的學生人數約為95人。根據上下浮動原理，取數學臨界生的總人數為190人，即這190位學生的數學單科成績是處于數學單科本科臨界線上下浮動的特定范圍區(qū)間內。

2.實驗設想

實驗班根據教師最新設計的教學方式進行上課，主要針對前面的調查分析的結果，對數學臨界生掌握立體幾何知識點較薄弱的環(huán)節(jié)以及數學臨界生差異性較大的知識內容進行講解與訓練，目的是提高數學臨界生立體幾何的解題能力以及縮小數學臨界生學習立體幾何之間的差異。

3.教學實驗過程設計

教學實驗是依托由筆者主持的項目——廣東省肇慶市高要區(qū)中小學教育科研課題《基于數學核心素養(yǎng)的高中數學臨界生立體幾何教學策略應用研究》展開的，課題組主要參與成員共7名高中數學教師。

教學實驗過程中所涉及到的標準、教學案例以及授課方法是在參考《中學數學課程標準》、有關文獻、相關教材以及在有關專家的指導下，由筆者自行編排與設計的。參與實驗的學生共190人，有效人數190人，這些學生的教學以及輔導工作由以上提到的課題組主要參與成員共7名高中數學教師負責，這7名高中數學教師是依據筆者設計的授課方法進行授課以及開展相關輔導工作。教學實驗過程總設計流程圖，如圖5所示。

圖5　教學實驗過程總設計流程圖

教學方法：通過實例式講解、案例互動式討論、研究式探索以及反饋式評價等授課方式充分發(fā)揮學生的主體地位，營造生動活潑的課堂教學氛圍。

學習方法：實踐探索、觀察發(fā)現、類比猜想、合作溝通、規(guī)范訓練。

教學工具：通過借助多媒體計算機（幻燈片、幾何畫板、實物投影等）進行輔助教學，從而增強課堂教學的生動性與直觀性。

（1）典型教學情況

根據前面的調查分析結果，將數學臨界生大致分成兩類（A類和B類），得出以下主要結論，如圖6所示。

圖6　數學臨界生調查分析結果

（2）應對策略

針對前面的數學臨界生調查分析結果，得出相應的應對策略，如圖7所示。

圖7　數學臨界生應對策略

4.實驗結果統(tǒng)計與分析

筆者經過對實驗班的學生采用新的教學方式進行授課后進行新一輪的測試（后測），測試（后測）調查共3道大題，3道大題分別是選擇題、填空題和解答題。選擇題每題5分，共60分，填空題每題5分，共20分，解答題中的第一題為10分，其余題目為12分，共70分，整張測試卷總分為150分，用時120分鐘。通過由筆者主持的項目——廣東省肇慶市高要區(qū)中小學教育科研課題《基于數學核心素養(yǎng)的高中數學臨界生立體幾何教學策略應用研究》課題組主要參與成員進行集體手工改卷，分數比較真實可靠。

測試人數190人，有效人數190人，通過SPSS軟件進行統(tǒng)計分析，試卷信度為0.748，如表5所示，效度為0.753，如表6所示，試卷的難度指數為0.48（比前測卷的難度指數要大），所有的統(tǒng)計數據都在合理區(qū)間內（相關標準參考DeVellis，Kaiser等學者提出的關于信效度的研究結果，這些研究結果表明：在探索性研究中，對于教師自編的測試卷進行數據統(tǒng)計，信效度在0.7～0.8范圍內，可以被認為是較高水平。），表明測試數據可靠。

表5后測試卷數據可靠性統(tǒng)計量

表6后測試卷數據KMO和Bartlett的檢驗

利用SPSS軟件對測試卷里面的得分情況進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計分析的內容包括數學臨界生做每道題的得分情況分析，數學臨界生做每道題的得分以及試卷總分的差異性分析。

用SPSS軟件統(tǒng)計的前測試卷的數學臨界生不同題目的得分率，如圖8所示。

圖8　前測試卷的數學臨界生不同題目的得分率

用SPSS軟件統(tǒng)計后測試卷的數學臨界生不同題目的得分率，如圖9所示。

圖9　后測試卷的數學臨界生不同題目的得分率

由圖8和圖9可以看出，經過對實驗班的學生進行新一輪的測試結果表明，對實驗班的學生采用新的教學方式進行授課后是有一定的教學效果的，原來得分較低的題目，現在得分提高了，另外數學臨界生的差異也縮小了。

三、研究結論

本文筆者采用問卷調查和測試（前測與后測）調查、個案分析研究、基于SPSS的數據統(tǒng)計分析、教學設計和教學實驗等研究方法，對高中數學臨界生立體幾何學習現狀進行調查分析及教學策略研究。研究結果表明：

1.A類數學臨界生、B類數學臨界生在對于學習立體幾何的情感態(tài)度上都顯得比較低，相比A類數學臨界生，B類數學臨界生在學習興趣等方面表現較突出。

2.就掌握立體幾何知識的內容而言，數學臨界生普遍認為，比較難以證明空間線線、線面、面面垂直和難以進行整體立體幾何知識框架的建立，相比較來說這方面B類數學臨界生掌握得比較好。

3.大多數數學臨界生認為，在立體幾何作業(yè)量及作業(yè)難度方面都比較適中，但有部分A類數學臨界生認為教師布置的課后作業(yè)難度較大、課后的作業(yè)量較多；相比較來說B類數學臨界生在一種問題使用多種解法、舉一反三的能力方面做得比較好，而A類數學臨界生比B類數學臨界生更擅長做錯題整理以及課后歸納總結做筆記。

4.大多數數學臨界生在教師的指導下，基本上都掌握了學習立體幾何的方式方法，同時他們也喜歡教師使用三維立體教學模型作為教具，并配合現代信息技術進行相關的輔助教學，相比較來說B類數學臨界生做得較好。

5.大多數數學臨界生在學習立體幾何效果的測試與評價方面都做得比較不好，相比較來說B類數學臨界生做得比較好。

6.就學習立體幾何支撐能力方面而言，大多數數學臨界生能力較低。與A類數學臨界生相比，B類數學臨界生的這方面能力相對較高，主要體現在計算能力、動手能力方面表現較好，但A類數學臨界生比較細心。

四、教學建議

基于本文的研究分析結果和有關實驗班的對比教學實驗，筆者從以下幾個方面對高中數學教師提出關于數學臨界生立體幾何的教學建議，如圖10所示。

圖10　數學臨界生立體幾何的教學建議

五、教學案例

（一）利用教學直觀法培養(yǎng)學生的空間想象能力在立體幾何教學中可以通過四種直觀教學培養(yǎng)學生的空間想象能力，尤其是對女生，如圖11所示。

在平面上畫出空間圖形的直觀圖，是培養(yǎng)空間想象能力與掌握幾何概念的必經途徑，是學習立體幾何的一大難關。因此教師必須重視借助模型、實物、直觀教具與現代信息技術逐步形成學生的空間觀念，發(fā)展學生的想象能力，從有模型畫圖到減少以至不需模型直接按畫法規(guī)則畫出空間圖形，逐步提高學生的能力。

圖11　教學直觀法

（二）在立體幾何中，不同的畫法可以應用于同一個立體圖形。至于采取什么樣的畫法，必須要根據具體情況，使所畫的圖形能突出具體問題中要重點觀察的那部分內容，并且具有一定的真實立體感。

例：兩個平面α、β相交于AB，交角為120?，點P到平面α、β的距離分別為PC＝3cm，PD＝2cm，求點P到AB的距離。

分析：此題可以畫成圖12中（1）、（2）、（3）三種圖形，顯然畫成圖（3），就更直觀一些。事實上，從圖中即可看出，作出P到AB的垂線PE，及PC⊥α，PD⊥β，據三垂線定理得CE⊥AB，所以P、C、E、D共面且共圓。于是問題歸結為求平面上四邊形PCED的外接圓的直徑，顯然，不難求出PE的值。

圖12　圖例

立體幾何教學過程不僅在圖形的觀察上有它的特殊性，而且在作圖上更有其特點。

教師要正確地畫出立體圖形（直觀圖），不僅要掌握并能熟練地運用平行投影和中心投影的一些基本知識，而且還需要特別注意在作圖過程中不斷分析有關的線、面和角之間的關系，不然將難以準確、合理地畫出需要的圖形。

（三）在知識系統(tǒng)化的過程中提高學生的概況能力

例如，立體幾何中求各種各樣的角，兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角（二面角），可概括為各種不同形式的角，最后總是轉化為相交直線的角來度量。

再如立體幾何中位置關系的判斷和證明：可概括為如圖13所示。

圖13　立體幾何中位置關系的判斷和證明

（四）理論聯(lián)系實際

要充分挖掘教材的趣味性和實踐性，注重理論聯(lián)系實際。例如，可以組織學生匯集一些實例驗證平面的三個基本性質，讓學生看到生產或生活中找不到一個實例能否定這三個基本性質，從而加深對平面基本性質的理解。又如，在黑板上寥寥數筆，勾畫出菜刀、斧頭等圖形，引進二面角概念，學生躍躍欲試，興趣油然而生。

（五）教學內容不隨意作拓廣加深

按照教學大綱規(guī)定的教學要求進行教學，不隨意拓廣加深。例如，在討論用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形時，所畫圖形主要是正三角形、正方形、正六邊形，不宜搞得復雜。在位置要求上主要是水平放置狀態(tài)，不要擴大到垂直位置狀態(tài)及任意位置狀態(tài)，更不要補充畫法理論。

（六）結合我國數學史料對學生進行愛國主義教育

我國古代對幾何體體積的計算就有過比較系統(tǒng)的研究，如《九章算術》中的長方體、方錐和圓錐、方亭和圓亭（即正棱臺和圓臺）、芻甍與芻童（即楔體和長方形底面的擬柱體）、立圓（即球）的計算公式；劉徽的“損廣補狹”“棋驗法”“截面法”；祖暅的“緣冪勢既同，則積不容異”及“體積之比等于對應截面積之比”的論述等等成果卓著。教師可結合教學內容，使學生對這些歷史有所了解，以激勵其愛國與上進之心。

六、不足與啟示

（一）不足的地方

1.在本課題的調查研究中，由于受到了各方面的條件限制，目前只是采用了問卷調查、訪談調查以及測試（前測與后測）調查等方式方法，而未采用全面調查法對高中數學臨界生學習立體幾何的現狀做調查研究，研究面可能不夠廣。

2.這次研究，筆者是在緊張繁忙的高中教學工作以及要承擔沉重家務勞動的時間之余，抽空進行相關的研究工作，時間精力都非常有限。另外，研究過程當中要用到的數據統(tǒng)計分析、現代教學設計原理與方法等方面的知識，而數據統(tǒng)計分析等方面的知識并不是筆者專業(yè)所擅長，所以有關方面的知識儲備并不充分，可能導致研究的方法不夠全面。

3.在研究的過程中，筆者選取調查的學生時，只對高中數學臨界生學習立體幾何的學習思維等方面的差異性進行了調查研究分析，但是并沒有考慮學生性別方面、父母親的文化程度方面、家庭背景方面、住宿方面等影響因素，以致分析出來的差異性結果可能并不完整。

4.由于受到各方面條件的限制，只選擇了筆者所教年級的學生進行調查研究分析，可能會導致研究人數不多的情況出現，以致影響研究結果。在以后的研究中，有待擴展到對整個學校所有年級的學生進行研究，提高研究結果的準確性。

（二）啟示

本學校正在推行“適性揚才，多元發(fā)展”的教學模式，并取得了一定成效。如何在具體的教學模式下歸納分析造成高中數學臨界生立體幾何學習困難的原因，提出立體幾何課堂教學活動中面向全體數學臨界生和因材施教相結合的教學策略，提高學生的數學成績，最終養(yǎng)成良好的數學思維習慣和能力，是重點需要解決的問題。

[1] 王小燕.高中生立體幾何必修二的學習現狀調查研究[D].蘭州:西北師范大學,2015.

[2] 池國升.《課標》背景下立體幾何學習障礙的調查研究[D].福州:福建師范大學,2014.

[3] 楊娟.高中生立體幾何解題策略差異性的調查研究[D].重慶:西南大學,2016.

[4] 涂榮豹.數學教學設計原理的構建——教學生學會思考[M].北京:科學出版社,2018.

[5] 徐福蔭,袁銳鍔.現代教育技術基礎[M].北京:人民教育出版社,2005.

O123.2,C45

A

1002-7661(2022)05-0162-06

本文系廣東省肇慶市高要區(qū)中小學教育科研課題“基于數學核心素養(yǎng)的高中數學臨界生立體幾何教學策略應用研究”（編號：2020GYJYKYKT015）研究成果。