武群麗， 趙 萌

(華北電力大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理系， 河北 保定 071000)

1986年，ZADEH[1]提出了模糊集理論。ATANASSOV[2]對此進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了直覺模糊集的概念，受到人們的廣泛關(guān)注。直覺模糊集同時(shí)考慮肯定度、反對度和不確定程度3個(gè)方面的信息，比模糊集理論考慮更加全面。直覺模糊理論已廣泛應(yīng)用到?jīng)Q策方面[3-8]。

由于單個(gè)決策者決策能力的有限性以及多準(zhǔn)則評(píng)價(jià)值形式的多樣性，混合多屬性群決策方法應(yīng)用而生，如直覺模糊VIOKR評(píng)價(jià)方法[4]、E-VIKOR方法[9]、MULTIMOORA決策方法[10]以及基于支持度和熵值的決策方法[11]等。目前，已有的對混合多屬性群決策的研究往往基于決策者完全理性。實(shí)際上，決策者對不同方案有不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好心理。有些學(xué)者已在決策階段考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好這一因素，如文杏梓等[12]以及張曉等[13]運(yùn)用前景理論考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好，趙萌等[14]建立了考慮風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的愿景滿意度函數(shù)。通過大量的文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)混合多屬性群決策方法沒有在混合數(shù)據(jù)處理和群決策兩個(gè)階段同時(shí)考慮專家的風(fēng)險(xiǎn)偏好。

基于以上問題，本文提出基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的混合多準(zhǔn)則群決策方法。該方法在混合數(shù)據(jù)處理和群決策兩個(gè)階段同時(shí)考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好這一因素。在混合數(shù)據(jù)處理階段，定義了考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的新記分函數(shù)，將直覺模糊數(shù)(Intuitionistic fuzzy numbers，IFNS)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)。新記分函數(shù)解決了已有記分函數(shù)出現(xiàn)的部分問題，在比較直覺模糊數(shù)大小方面更有效。在群決策階段，基于決策信息猶豫度和前景值偏離度兩視角確定專家權(quán)重，一方面，基于專家決策信息的猶豫度來確定專家權(quán)重，考慮到各專家對不同準(zhǔn)則決策的猶豫度存在差別，把直覺模糊數(shù)的猶豫度更加細(xì)化為3個(gè)等級(jí)，這是鮮有文獻(xiàn)能考慮到的；另一方面，利用專家個(gè)體與群體對方案決策的前景值的偏離程度來確定權(quán)重。綜合運(yùn)用準(zhǔn)則權(quán)重、專家權(quán)重、改進(jìn)前景理論進(jìn)行最后的決策。

1 直覺模糊集的基本概念和改進(jìn)前景理論

1.1 直覺模糊集的基本概念

定義2[1]設(shè)A=〈μA(x),σA(x)〉，B=〈μB(x),σB(x)〉為兩直覺模糊數(shù)，若μA(x)≥μB(x),σA(x)≤σB(x)，則A≥B；當(dāng)且僅當(dāng)μA(x)=μB(x),σA(x)=σB(x)時(shí),A=B。

1.2 改進(jìn)前景理論

1979年，Kahneman等[15]提出前景理論，前景理論將決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度這一因素引入到?jīng)Q策過程中。這一理論由價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)共同組成，即

(1)

(2)

(3)

其中V表示前景價(jià)值，v(Δx)為價(jià)值函數(shù)，θ為決策方案對益損的敏感程度值，w(p)為概率權(quán)重函數(shù)，Δx表示決策方案相對于參考點(diǎn)的變化值。Δx≥0時(shí)，v(Δx)為收益值；Δx<0時(shí)，v(Δx)為損失值。

馬健等[16]對價(jià)值函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。改進(jìn)的前景價(jià)值函數(shù)引入一個(gè)新的參數(shù)ξ，形式如下：

(4)

其中ξ、θ反映決策者對益損敏感程度。若決策者對收益更敏感，則θ=1，ξ>1；若對損失更敏感，θ>1，ξ=1。α、β反映決策者對于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，若是保守者，α、β>1；若是中間者，α、β=1；若是冒險(xiǎn)者，0<α、β<1。

2 基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的新記分函數(shù)

2.1 現(xiàn)有記分函數(shù)

1994年，Chen等[17]定義了得分函數(shù)。設(shè)任意直覺模糊數(shù)A=〈μA(x),σA(x)〉，則A的得分函數(shù)為

S(A)=μA(x)-σA(x)，

(5)

其中μA(x)、σA(x)、S(A)分別表示隸屬度、非隸屬度、凈隸屬度。S(A)越高，則A越大。所以，通過比較S(A)來確定A的大小。但是，當(dāng)凈隸屬度相同，而猶豫度不同時(shí)，則直覺模糊數(shù)的大小無法判斷，式(5)忽略了猶豫度對直覺模糊數(shù)大小的影響。

牛利利等[5]把從眾心理引入到函數(shù)中，提出新的得分函數(shù)

(6)

對于Chen等[17]提出的得分函數(shù)出現(xiàn)的無法直接比較直覺模糊數(shù)大小的情形，該函數(shù)在沒有其他函數(shù)的輔助下，能夠直接得出排序結(jié)果。然而，不同風(fēng)險(xiǎn)偏好類型的決策者的直覺判斷是不同的，具體表現(xiàn)為：保守型決策者認(rèn)為猶豫度越小，不確定程度越小，得到否定的機(jī)會(huì)就越小，相對風(fēng)險(xiǎn)也越??；冒險(xiǎn)型決策者認(rèn)為猶豫度越大，不確定程度越大，得到肯定的機(jī)會(huì)就越大。該記分函數(shù)考慮了風(fēng)險(xiǎn)偏好導(dǎo)致決策結(jié)果與人的直覺判斷不符的情況。

高建偉等[6]提出了一個(gè)考慮肯定信息、否定信息以及不確定信息的新記分函數(shù)為

(7)

其中πA(x)=1-μA(x)-σA(x)。該函數(shù)表示μA(x)-σA(x)越大，πA(x)越小時(shí)，S(A)值越大，A越大。高建偉等提出的記分函數(shù)考慮了猶豫度的影響。但是，當(dāng)凈隸屬度為零，且猶豫度不為零時(shí)，該記分函數(shù)無法比較兩直覺模糊數(shù)的大小。該記分函數(shù)也沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好這一因素。

羅雪鵬等[7]結(jié)合得分函數(shù)和精確函數(shù)，引入一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度參數(shù)λ，定義了一種綜合得分函數(shù)：

(8)

李梅[8]在考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好及猶豫度的基礎(chǔ)上重新定義了基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的直覺模糊得分函數(shù)，如：

(9)

新引入的風(fēng)險(xiǎn)偏好因子η∈[-1,1]。當(dāng)η>0時(shí)，決策者屬于冒險(xiǎn)型；當(dāng)η<0時(shí)，決策者屬于保守型；當(dāng)η=0時(shí)，決策者屬于中間型。此時(shí)Sη(A)退化為文獻(xiàn)[17]的S(A)。當(dāng)直覺模糊數(shù)有以下特征時(shí)，兩直覺模糊數(shù)需進(jìn)行二次比較：①隸屬度與非隸屬度其中一個(gè)為零；②凈隸屬度為零且猶豫度不為零。

2.2 基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的新記分函數(shù)

基于上述分析，本文引入風(fēng)險(xiǎn)偏好這一因素，并在隸屬度、非隸屬度以及猶豫度的基礎(chǔ)上重新提出一個(gè)基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的新記分函數(shù)。新的記分函數(shù)可以解決文獻(xiàn)[5-6]沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好對決策結(jié)果影響的問題，同時(shí)可以克服文獻(xiàn)[7-8]中的部分缺陷。

定義3 設(shè)A=〈μA(x),σA(x)〉為一個(gè)直覺模糊數(shù)，πA(x)=1-μA(x)-σA(x)為其猶豫度，則稱

(10)

為A的記分函數(shù)。其中μA(x)、σA(x)、πA(x)分別表示A的隸屬度(肯定信息)、非隸屬度(否定信息)、猶豫度(不確定信息)，μA(x)∈[0,1]，σA(x)∈[0,1]，πA(x)∈[0,1]。引入的風(fēng)險(xiǎn)偏好因子τ∈[-1,1]，當(dāng)τ>0時(shí)，決策者屬于冒險(xiǎn)型；當(dāng)τ<0時(shí)，決策者屬于保守型；當(dāng)τ=0時(shí)，決策者屬于中間型，此時(shí)Sλ(A)退化為文獻(xiàn)[17]的S(A)。

式(10)所示的記分函數(shù)與原有記分函數(shù)有以下異同點(diǎn)：

相同點(diǎn)①在比較直覺模糊數(shù)之間的大小時(shí)，新記分函數(shù)和現(xiàn)有記分函數(shù)，都考慮了肯定信息、否定信息和不確定信息對決策的影響；②新記分函數(shù)與部分記分函數(shù)同時(shí)考慮了風(fēng)險(xiǎn)偏好的作用。

不同點(diǎn)該記分函數(shù)解決了現(xiàn)有記分函數(shù)3個(gè)問題：①未考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好導(dǎo)致決策結(jié)果與人的直覺判斷不符的情況；②有些情況下，會(huì)出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)偏好對結(jié)果沒有影響的問題；③當(dāng)直覺模糊數(shù)有以下特征時(shí)，兩直覺模糊數(shù)需進(jìn)行二次比較，隸屬度與非隸屬度其中一個(gè)為零；凈隸屬度為零且猶豫度不為零。

下面通過兩個(gè)例子進(jìn)一步說明本文提出的新記分函數(shù)與現(xiàn)有記分函數(shù)的區(qū)別。

例1 設(shè)兩個(gè)直覺模糊數(shù)分別為A1=(0.8,0.2)，A2=(0.7,0)，比較兩數(shù)大小。用文獻(xiàn)[5-6]及本文的記分函數(shù)計(jì)算所得結(jié)果見表1。

表1 例1的S(A)結(jié)果對比

從表1可知，文獻(xiàn)[5-6]提出的記分函數(shù)所計(jì)算的結(jié)果沒有區(qū)分風(fēng)險(xiǎn)偏好對決策結(jié)果的影響，而運(yùn)用本文記分函數(shù)計(jì)算的結(jié)果可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好類型細(xì)分為3種情況：若決策者為冒險(xiǎn)者，A1A2；若決策者為中間者，A1

例2 設(shè)兩個(gè)直覺模糊數(shù)分別為A1=(0,0.4)，A2=(0,0.2)，比較兩數(shù)大小。文獻(xiàn)[7-8]及本文的記分函數(shù)計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 例1的S(A)結(jié)果對比

從表2可知：文獻(xiàn)[7]的記分函數(shù)結(jié)果顯示，無論決策者屬于哪種類型，A1

定理1(單調(diào)性) 設(shè)A=〈μA(x),σA(x)〉為直覺模糊數(shù)，其中μA(x)∈[0,1]，σA(x)∈[0,1]，則記分函數(shù)Sτ(A)關(guān)于μA(x)單調(diào)遞增，關(guān)于σA(x)單調(diào)遞減。

證明為簡述方便，以下證明將μA(x)用μ替換，將σA(x)用σ替換，將πA(x)用π替換，將Sτ(A)用Sτ替換。

定理2(有界性) 設(shè)A=〈μA(x),σA(x)〉為直覺模糊數(shù)。記分函數(shù)是有界性的，當(dāng)τ∈[-1,1]，記分函數(shù)滿足：-1≤Sτ(A)≤1。

3 基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的混合多準(zhǔn)則群決策方法

3.1 問題描述

3.2 基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的混合多準(zhǔn)則數(shù)據(jù)處理

3.2.1 語言變量轉(zhuǎn)化為直覺模糊數(shù)

在語言變量轉(zhuǎn)換為直覺模糊數(shù)的過程中，很多文獻(xiàn)沒有考慮各專家對不同準(zhǔn)則決策的猶豫度存在差別的情況，影響了決策結(jié)果的可信度。專家對同一準(zhǔn)則給出相同的語言評(píng)價(jià)值，由于專家對各準(zhǔn)則的了解程度并不相同，雖然將其轉(zhuǎn)化為同一直覺模糊數(shù)，它們的猶豫度相同，但是不能詳細(xì)地反映出專家猶豫的程度，這顯然與實(shí)際不符。所以本文結(jié)合林原等[18]的轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)，將專家猶豫度分為“很小”、“小”、“一般”3個(gè)等級(jí)。令語義評(píng)價(jià)粒度r=5，π=0.1、0.2、0.3依次表示猶豫度的3個(gè)等級(jí)，得到評(píng)價(jià)語義信息和對應(yīng)直覺模糊數(shù)形式見表3。

表3 語義信息與直覺模糊數(shù)轉(zhuǎn)化

3.2.2 區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為直覺模糊數(shù)

假如cij=(uij,σij,πij)為aij經(jīng)上述規(guī)范化處理后轉(zhuǎn)化成直覺模糊數(shù)，則

(11)

3.3 準(zhǔn)則權(quán)重確定

鑒于事物的復(fù)雜以及專家認(rèn)知的局限性，在實(shí)際決策過程中會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)則權(quán)重信息完全未知的情況，對于此種情況，本文用綜合效用最大化法[20]求解準(zhǔn)則權(quán)重，充分考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和心理因素。具體如下：

(12)

對于形如以上模型的非線性優(yōu)化問題，利用Lagrange方法求解。得到準(zhǔn)則權(quán)重的最優(yōu)解：

(13)

則綜合各個(gè)決策專家的平均準(zhǔn)則權(quán)重為

(14)

3.4 決策專家權(quán)重確定

專家權(quán)重很大程度上影響著最終決策結(jié)果的合理性。本文基于專家決策信息猶豫度和專家決策前景值的可靠性兩個(gè)視角共同決定專家的權(quán)重。

3.4.1 專家決策信息猶豫度的權(quán)重

(15)

已知式(15)，則有

(16)

專家Dl評(píng)價(jià)結(jié)果的整體猶豫度πl(wèi)滿足

(17)

πl(wèi)越大，說明專家評(píng)價(jià)的不確定程度越大，評(píng)價(jià)結(jié)果的可信任度越小，由此得到Dl的猶豫權(quán)重為

(18)

3.4.2 專家決策前景值的可靠性的權(quán)重

前景表示對方案的不同狀態(tài)的選擇。專家個(gè)體決策與群體決策前景值越相近，說明專家與群體對方案決策的前景值的偏離程度越低，專家決策的可靠性越強(qiáng)，專家賦予的權(quán)重也越大。歐氏距離來衡量兩者之間的偏離程度[18]，如下：

(19)

專家Dl的可靠性權(quán)重可通過如下公式計(jì)算：

(20)

由以上分析可得專家綜合平均權(quán)重：

(21)

3.5 基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的混合多準(zhǔn)則群決策模型

3.5.1 混合多準(zhǔn)則數(shù)據(jù)處理階段

3.5.2 專家群決策階段

(22)

式中

Step5：計(jì)算專家平均權(quán)重。

(23)

Step6：按照式(24)計(jì)算綜合不同偏好專家的前景值：

(24)

得到整體改進(jìn)前景值矩陣V=(vij)m×n。

Step7：按照式(25)計(jì)算綜合改進(jìn)前景值：

(25)

根據(jù)vi從大到小的順序?qū)溥x方案進(jìn)行排序，vi越大，說明該方案越優(yōu)。

4 算例分析

一家電子商務(wù)公司，需要選出一個(gè)物流中心，現(xiàn)從4個(gè)備選物流中心(A1、A2、A3、A4)中進(jìn)行選擇，電子商務(wù)公司組成一個(gè)由3個(gè)專家構(gòu)成的決策小組，分別為中間型D1、冒險(xiǎn)型D2、保守型D3。評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為經(jīng)濟(jì)效益B1、自然環(huán)境B2、經(jīng)營環(huán)境B3、基礎(chǔ)設(shè)施B4、社會(huì)效益B5。決策專家經(jīng)協(xié)商認(rèn)為，各個(gè)準(zhǔn)則有高等、中等、低等這3種可能的風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)：概率分別為p1=0.1、p2=0.6、p3=0.3。試確定最優(yōu)物流中心。3個(gè)專家利用區(qū)間數(shù)，語言變量，直覺模糊數(shù)的形式對準(zhǔn)則進(jìn)行打分，見表4—表6。

表4 D1的打分值

表5 D2的打分值

表6 D3的打分值

4.1 混合多準(zhǔn)則數(shù)據(jù)處理階段

Step1、2：將混合型評(píng)價(jià)值化為直覺模糊數(shù)，直覺模糊數(shù)再轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)。風(fēng)險(xiǎn)偏好因子τ∈[-1,1]，專家D1屬于中間型，τ=0；專家D2屬于冒險(xiǎn)型，τ=1；專家D3屬于保守型，τ=-1。由于篇幅限制，這里只列出專家D1高、中、低等風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下的直覺模糊數(shù)型打分矩陣：

4.2 專家群決策階段

Step3：將各個(gè)專家評(píng)價(jià)結(jié)果的實(shí)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)矩陣轉(zhuǎn)化為改進(jìn)前景值矩陣。

1)決策專家D1屬于中間型，則α=β=1。令α=β=1，χ=δ=0.58，ξ=1，θ=2.25[16]，得到改進(jìn)前景值矩陣為

2)決策專家D2屬于冒險(xiǎn)型，則0<α、β<1。令α=β=0.88，χ=0.61，δ=0.66，ξ=1，θ=2.25[16]，得到改進(jìn)前景值矩陣為

3)決策專家D3屬于保守型，則α、β>1。令α=β=1.21，χ=0.55，δ=0.49，ξ=1，θ=2.25[16]，得到改進(jìn)前景值矩陣為

Step4：準(zhǔn)則平均權(quán)重為wj=(0.212,0.183,0.125,0.237,0.243)。

Step5：專家綜合平均權(quán)重。

Step6：計(jì)算綜合不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的決策專家的改進(jìn)前景值，得到整體的改進(jìn)前景值矩陣為

Step7：計(jì)算綜合改進(jìn)前景值。

vi=(0.051,-0.051,-0.333,-0.231)。

根據(jù)vi的大小可知，A1>A2>A4>A3，所以A1最優(yōu)，電子商務(wù)公司應(yīng)選擇物流中心A1。

為了說明本文方法的有效性，利用文獻(xiàn)[20]提出的基于前景價(jià)值函數(shù)的直覺模糊多屬性決策方法與本文方法進(jìn)行比較，文獻(xiàn)[20]的方法結(jié)果為vi=(-0.09,-0.06,-0.272,-0.249)，根據(jù)vi的大小可知方案的排序結(jié)果為A2>A1>A4>A3。與本文方法的排序結(jié)果相似，方案A1、A2比方案A3、A4優(yōu)，而且A3都是最劣方案，說明本文方法有一定的有效性。但是，從排序結(jié)果也可以看出，A1和A2的排序結(jié)果有差異，文獻(xiàn)[20]的方法計(jì)算結(jié)果顯示A2是最優(yōu)方案，而本文方法計(jì)算結(jié)果顯示A1是最優(yōu)方案。存在差異的原因是文獻(xiàn)[20]的方法只是在群決策階段考慮專家風(fēng)險(xiǎn)偏好，本文方法在混合數(shù)據(jù)處理和群決策兩個(gè)階段都考慮了專家風(fēng)險(xiǎn)偏好的影響，這說明了在兩階段考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好對解決實(shí)際問題更具全面性。

5 結(jié)語

本文提出了一種在混合多準(zhǔn)則數(shù)據(jù)處理和專家群決策兩個(gè)階段同時(shí)考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的混合多準(zhǔn)則群決策方法，在數(shù)據(jù)處理階段，提出了一個(gè)考慮專家風(fēng)險(xiǎn)偏好的新記分函數(shù)，該記分函數(shù)根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)來決定專家風(fēng)險(xiǎn)偏好類型，不僅解決了現(xiàn)有記分函數(shù)因沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好而導(dǎo)致決策結(jié)果出現(xiàn)偏差的問題，也增強(qiáng)了記分函數(shù)的區(qū)分度。在群決策階段，引入改進(jìn)的前景理論為決策方法對方案進(jìn)行排序，改進(jìn)的前景理論能夠明確區(qū)分專家風(fēng)險(xiǎn)偏好類型?；跊Q策信息猶豫度和前景值偏離度兩視角確定的專家權(quán)重，既把專家決策時(shí)的猶豫程度更加細(xì)化，也考慮了專家決策的可靠性。通過驗(yàn)證說明了本文方法的有效性，且具有較大的優(yōu)勢性。