唐耀宗 楊慶之

(1.喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆喀什 844000;2.南開大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300071)

§1 引言

玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(簡稱BEC)的基態(tài),即能量最低時(shí)的狀態(tài),目前是量子力學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)重要而且活躍的研究課題[1-4],其離散情形可以描述為球面約束下的非凸最小化問題[5]

其中A ∈Rn×n×n×n是4 階對稱張量,B∈Rn×n是對稱半正定矩陣,x∈Rn是向量.

對上述優(yōu)化問題的Lagrange函數(shù)求梯度,容易驗(yàn)證其Karush-Kuhn-Tucker(KKT)系統(tǒng)即為非線性特征值問題

BEC基態(tài)解對BEC問題的理論研究以及實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)具有重要意義.對于基態(tài)解的存在和唯一性探討,可以參考[6-7]和其中的參考文獻(xiàn).作為NP難的BEC基態(tài)問題[8],通常采取兩類數(shù)值方法進(jìn)行求解.第一類是在球面約束條件下,利用非線性特征值格式(2) 設(shè)計(jì)不同類型的數(shù)值方法[9-15].第二類是求解球面約束下的極小化優(yōu)化問題格式的方法[8,16-23].文獻(xiàn)[5]中對更一般的NP難的BEC類非線性特征值問題采用了平移對稱高階冪法(SS-HOPM)進(jìn)行求解,體現(xiàn)了較好的數(shù)值計(jì)算效率,并且能夠保證點(diǎn)列收斂性[24].

本文將在文獻(xiàn)[5,24]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對SS-HOPM算法進(jìn)行不動(dòng)點(diǎn)分析,以從理論上說明使用平移對稱高階冪法可以求得的非線性特征對類型.

本文的結(jié)構(gòu)如下:§2介紹了相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本術(shù)語.§3簡單介紹了BEC類非線性特征值問題的SS-HOPM算法及其不動(dòng)點(diǎn)分析.§4對本文進(jìn)行了簡單總結(jié).

§2 基本概念和術(shù)語

在本文中,用Σ表示Rn上的單位球面,即

2.1 張量相關(guān)概念

本文采用文獻(xiàn)[25]中的張量,矩陣以及向量的表示方法.即向量用黑體小寫字母表示,如a.矩陣用黑體大寫字母表示,如A.張量由Euler手寫體表示,如A.標(biāo)量用小寫字母表示,如a.

對稱張量在指標(biāo)任意排列下其元素都是不變的.下面給出對稱張量及相關(guān)概念的定義.

定義2.1[26]如果張量A ∈對所有i1···im ∈{1,···,n}以及p ∈Πm,均有

成立,則稱張量A是對稱的,其中Πm表示了(1,···,m)所有置換的集合.

定義2.2[26]設(shè)A ∈是對稱張量,且x∈Rn.那么張量A與向量x的m ?r次乘積可以表示為

其具體表達(dá)式為

2.2 不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)知識(shí)

本文將要用到不動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)概念和性質(zhì),羅列如下.

定義2.3[27]假設(shè)φ:Rn →Rn,如果存在δ >0,對由任何滿足‖x0?x?‖ ≤δ的x0和由xk+1=φ(xk)所定義的序列{xk}都收斂到x?,則稱x?是φ的吸引不動(dòng)點(diǎn).

定理2.1[28]設(shè)x?為φ:Rn →Rn的不動(dòng)點(diǎn),J:Rn →Rn×n為φ的Jacobian矩陣.如果σ=ρ(J(x?))<1,那么x?為φ的吸引不動(dòng)點(diǎn)；如果σ >0,那么迭代xk+1=φ(xk)以線性速率σ收斂.

定理2.2[29]設(shè)x?為φ:Rn →Rn的不動(dòng)點(diǎn),J:Rn →Rn×n為φ的Jacobian矩陣.如果σ=ρ(J(x?))>1,那么x?為φ的不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn).

§3 非線性特征值問題的SS-HOPM算法及不動(dòng)點(diǎn)分析

3.1 非線性特征值問題的SS-HOPM算法

在文獻(xiàn)[10]中,作者構(gòu)建了非齊次約束優(yōu)化問題

的穩(wěn)定點(diǎn)與BEC類非線性特征值問題

的特征對之間的聯(lián)系,然后將由Kolda和Mayor[30]提出的用于齊次優(yōu)化問題求解的SS-HOPM算法推廣到了上述的非齊次約束優(yōu)化問題,以求解BEC類非線性特征值問題.

從文獻(xiàn)[24]可知,對于凸的情形,平移項(xiàng)α >0必須要大于某個(gè)參數(shù)β才能確保SS-HOPM算法收斂,其中β定義如下

SS-HOPM算法如算法1所述.

3.2 SS-HOPM算法的不動(dòng)點(diǎn)分析

對于約束優(yōu)化問題而言,Lagrange投影Hessian陣在決定不動(dòng)點(diǎn)是否為局部極值方面起著關(guān)鍵作用.從文獻(xiàn)[5]可知

根據(jù)約束優(yōu)化問題的Lagrange函數(shù)的Hessian陣與x?正交的子空間的關(guān)系,可以把Lagrange投影Hessian陣定義為

其中U?∈Rn×(n?1)的列形成了的正交基.根據(jù)C(λ?,x?)的譜性質(zhì)可以對BEC類非線性特征值問題(2)的特征對進(jìn)行分類.

定義3.1設(shè)A ∈Rn×n×n×n為對稱張量,B∈Rn×n為半正定矩陣,(λ,x)是BEC類非線性特征值問題(2)的特征對.如果C(λ,x)是正定的,則特征對(λ,x)是正穩(wěn)定的；如果C(λ,x)是負(fù)定的,則特征對(λ,x)是負(fù)穩(wěn)定的,如果C(λ,x)是不定的,則特征對(λ,x)是不穩(wěn)定的.

下面采用不動(dòng)點(diǎn)理論對SS-HOPM算法進(jìn)行分析,以區(qū)分哪種類型的特征對可以使用SSHOPM算法求得.即首先通過Langrage投影Hessian陣來判斷特征對是正穩(wěn)定的,負(fù)穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的;然后依據(jù)不同情形下特征對進(jìn)行對照即可.

不失一般性,考慮凸的情形下的SS-HOPM算法視為不動(dòng)點(diǎn)迭代

其中φ定義為

那么

注意特征對(λ,x)當(dāng)且僅當(dāng)λ+α>0時(shí)是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),這對于α>β始終是正確的[24].

算子φ的Jacobian矩陣可以從下面的公式導(dǎo)出,即

容易得到

在任何特征對(λ,x)處,都有

因此x處的Jacobian矩陣為

由Ax2,B和xx的對稱性,容易驗(yàn)證Jacobian矩陣J(x)是對稱的.

定理3.1設(shè)(λ,x)為非線性特征值問題(2)的特征對.假設(shè)α ∈R滿足α >β,其中β ≡maxx∈Σ ρ(3Ax2+B).設(shè)φ(x)由(3)給定.那么當(dāng)且僅當(dāng)x是φ的線性吸引不動(dòng)點(diǎn)時(shí),(λ,x)是負(fù)穩(wěn)定的.

證假設(shè)(λ,x)是負(fù)穩(wěn)定的,算子φ在x處的Jacobian矩陣的形式如(4)所示.根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論,要證明x是算子φ的線性吸引不動(dòng)點(diǎn),只需要驗(yàn)證ρ(J(x))<1.

因?yàn)镴acobian矩陣J(x)是對稱的,所以對于所有的y∈Σ,ρ(J(x))=|yJ(x)y|.還需要進(jìn)一步證明,對于所有y∈Σ,|yJ(x)y|<1.因?yàn)镴(x)x=0,因此限制y∈x⊥,故而y∈Σ∩x⊥,

那么

因?yàn)?λ,x)負(fù)穩(wěn)定即意味著C(λ,x)是負(fù)定的；因此要|yJ(x)y| <1,則必須y(3Ax2+B)y<λ.根據(jù)β的定義,可以知道β ≥ρ(3Ax2+B).由λ+α>0可得

即ρ(J(x))<1,所以x是φ的線性吸引不動(dòng)點(diǎn).

另一方面,如果(λ,x)不是負(fù)穩(wěn)定的,那么存在w∈Σ使得w∈x⊥,而且w(3Ax2+B)w≥λ.那么

即ρ(J(x))≥1,根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論可知,x不是算子φ的線性吸引不動(dòng)點(diǎn).

實(shí)際上從上面的證明可以推斷出,如果特征對(λ,x)不是負(fù)穩(wěn)定的,則不存在α ∈R使得ρ(J(x))<1成立.換言之,如果(λ,x) 不是負(fù)穩(wěn)定的,由于x是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),必有λ+α>0,進(jìn)而ρ(J(x))≥1,那么較小的α當(dāng)然不會(huì)出現(xiàn)“意外”的特征對收斂情形.

換句話說,如果α >β,那么任何球面Σ上的吸引不動(dòng)點(diǎn)都必然是f(x) 的嚴(yán)格約束局部極小值.因?yàn)閺亩ɡ?.1可知,只要α >β,目標(biāo)函數(shù)的凸性即可滿足.球面Σ上x任何收斂鄰域中的點(diǎn)?x必然滿足f(?x)>f(x),由此表明x為嚴(yán)格局部極小值.反之,如果α >β,任何嚴(yán)格局部極小值必然對應(yīng)于某個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn).

定理3.1在凹的情況下的類似定理表述如下.

定理3.2設(shè)(λ,x)為非線性特征值問題(2)的特征對.假設(shè)α ∈R,滿足α

由矩陣冪法產(chǎn)生的序列{xk}總是收斂到譜特征值λ1對應(yīng)的特征向量,其他特征向量均可能不是穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn).與矩陣冪法相比,采用平移對稱高階冪法求解非線性特征值問題,可以找到多個(gè)特征對,因?yàn)榭赡艽嬖诙鄠€(gè)正,負(fù)穩(wěn)定特征對.但找到多個(gè)特征對的能力也意味著不能保證從任意初始點(diǎn)開始的迭代收斂到某個(gè)特定的特征對.

§3 結(jié)束語

SS-HOPM算法在求解中小規(guī)模的BEC類非線性特征值問題時(shí)具有不錯(cuò)的計(jì)算效率,同時(shí)還滿足點(diǎn)列收斂性.本文進(jìn)一步采用不動(dòng)點(diǎn)分析,從理論上區(qū)分了采用平移對稱高階冪法所能求得的非線性特征對類型.

平移對稱高階冪法之所以能夠保證收斂,在于其通過平移項(xiàng)的作用能夠保證目標(biāo)函數(shù)在整個(gè)迭代過程中保持凸性或凹性.不過其中平移項(xiàng)的選擇卻是一個(gè)不小的挑戰(zhàn).因?yàn)橹挥泻线m的平移項(xiàng)才能既保證收斂,又能保證好的收斂速率.設(shè)想在每次迭代中都重新設(shè)定一個(gè)平移項(xiàng),使得每次迭代過程中的目標(biāo)函數(shù)凸,從而既保證收斂,又不降低效率.我們將在以后的工作中將平移項(xiàng)的自適應(yīng)改進(jìn)作為進(jìn)一步研究的課題.