張成標,闕洪軍,楊海師,張理偉

(重慶齒輪箱有限責(zé)任公司,重慶 402200)

0 引 言

行星架作為行星齒輪傳動中主要構(gòu)件之一，承受其較大的外力矩，有較大的尺寸與質(zhì)量，結(jié)構(gòu)也比較復(fù)雜，且行星架的結(jié)構(gòu)設(shè)計對各行星輪之間的載荷分配和傳動機構(gòu)的承載能力、噪聲和振動等都有很重要的影響[1]。常見的行星架結(jié)構(gòu)有雙臂整體式、雙臂裝配式和單臂式[2]。單臂行星架結(jié)構(gòu)的齒輪箱對質(zhì)量的要求相對苛刻，在傳統(tǒng)設(shè)計中，行星架多是憑經(jīng)驗公式或材料力學(xué)經(jīng)簡化模型而得出的公式進行設(shè)計，盲目性大，設(shè)計參數(shù)較為保守，造成行星架的尺寸、質(zhì)量一般比較大[3]。因此，通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化，在保證行星架結(jié)構(gòu)剛度前提下，降低行星架質(zhì)量有著十分重要的意義。

隨著拓撲優(yōu)化理論的不斷發(fā)展與完善，拓撲優(yōu)化技術(shù)被廣泛應(yīng)用到工程中[3]。寧曉斌等[4]采用拓撲優(yōu)化方法，對液壓挖掘機斗桿結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化仿真，在保證強度的前提下降低了斗桿的質(zhì)量。董惠敏等[5]以雙壁整體式行星架為研究對象，建立拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用有限元件對其進行拓撲優(yōu)化，根據(jù)材料分布建立行星架的概念模型，并進行結(jié)構(gòu)設(shè)計。

拓撲優(yōu)化的目的是在給定的設(shè)計域內(nèi)尋找最優(yōu)的材料分布，但拓撲優(yōu)化后會使其結(jié)構(gòu)剛度小幅降低，因此需要通過擅長參數(shù)、尺寸優(yōu)化方面的尺寸優(yōu)化來彌補。張瑞等[6]采用拓撲優(yōu)化與尺寸優(yōu)化相結(jié)合的方法，進行隔爆型接線蓋加強筋優(yōu)化設(shè)計，確定最優(yōu)加強筋筋型。李修峰等[7]以氣瓶支架結(jié)構(gòu)減重為目標，運用拓撲優(yōu)化獲得支架的基本構(gòu)型，然后對支架主要特征參數(shù)進行尺寸優(yōu)化，確定較為合理的截面尺寸，最后驗證設(shè)計的合理性。

筆者以單臂行星架為對象，基于有限元軟件通過聯(lián)合優(yōu)化技術(shù)的方法，先將行星架臂板結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，后調(diào)整行星架臂板厚度尺寸，對其尺寸優(yōu)化調(diào)節(jié)，對比各組行星架模型后，選擇最佳模型，在滿足行星架剛度不變的前提下，實現(xiàn)單臂行星架結(jié)構(gòu)的輕量化。

1 聯(lián)合優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

1.1 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是指在限定的給定邊界條件的設(shè)計空間中，通過一定的優(yōu)化方法，找到滿足設(shè)計約束和設(shè)計目標的最佳結(jié)構(gòu)。拓撲優(yōu)化的方法很多，文中采用工程上常用的基于相對密度分布的拓撲優(yōu)化方法進行行星架的優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化目標為最小柔度[9-10]。

相對密度法是一種常用的拓撲優(yōu)化方法，其原理是假想設(shè)計區(qū)域的密度在0～1之間是可變的，與初始材料密度存在非線性關(guān)系；同樣道理，彈性模量也是如此。

構(gòu)建材料的密度和彈性模量的數(shù)學(xué)模型:

ρ(x)=xeρ0

(1)

(2)

式中：ρ0為材料的初始密度；E0為材料的初始彈性模量；xe為單元的相對密度；p為剛度懲罰因子。

則以最小柔度為目標函數(shù)的拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

(3)

(4)

KU=F

(5)

0≤xmin≤xe≤1

(6)

式中：U為總體位移矩陣；K為總體剛度矩陣；Ue為單元位移矩陣；Ke為單元剛度矩陣；N為單元數(shù)量；f為體積分數(shù)。

1.2 尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

尺寸優(yōu)化的實質(zhì)就是求解滿足約束條件下的自變量構(gòu)造函數(shù)的最小值問題，約束變量也稱為狀態(tài)變量，為自變量的函數(shù)，尺寸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型一般形式為：

目標函數(shù)：

min：f(X),X=[x1,x2,…xn]T∈Rn

(7)

狀態(tài)變量：

gu(X)≤0,u=1,2,…,m

(8)

hv(X)≤0,v=1,2,…,n

(9)

2 行星架聯(lián)合優(yōu)化

文中基于有限元軟件對行星架結(jié)構(gòu)聯(lián)合優(yōu)化，圖1為行星架聯(lián)合優(yōu)化流程圖，首先對初始幾何模型進行拓撲優(yōu)化，根據(jù)保留的體積分數(shù)不同，需要進行多次拓撲優(yōu)化，然后根據(jù)各組拓撲優(yōu)化結(jié)果建議對應(yīng)的幾何模型，對幾何模型進行結(jié)構(gòu)分析，并將行星輪軸的撓度與初始模型對比，研究拓撲優(yōu)化后撓度變化規(guī)律；然后對行星架臂板厚度進行尺寸優(yōu)化，使其行星輪軸撓度降低到拓撲優(yōu)化前的水平，得到的6組行星架幾何模型，在這6組幾何模型中篩選出最合理的模型作為最終模型。

圖1 行星架聯(lián)合優(yōu)化流程圖

2.1 行星架臂板的拓撲優(yōu)化

2.1.1 優(yōu)化區(qū)域的選取

由于行星輪軸與行星架采用過盈配合，且之前存在軸向定位面，所以行星架的行星輪安裝孔周圍需要留出非優(yōu)化區(qū)域，以保證行星輪軸與行星架連接的可靠性。行星架臂板的優(yōu)化區(qū)域如圖2所示。

圖2 行星架臂板優(yōu)化區(qū)域

2.1.2 優(yōu)化變量的設(shè)置

優(yōu)化區(qū)域保留材料的體積分數(shù)從30%～80%分6個程度，為保證三個行星輪軸位置一樣的優(yōu)化結(jié)果，添加循環(huán)對稱的約束條件；為保證行星架臂厚度方向優(yōu)化結(jié)果的一致性，故采用殼單元進行拓撲優(yōu)化分析；如圖3所示。

圖3 行星架邊界條件施加

采用節(jié)點耦合的方式對行星架加載，加載位置為行星輪軸承中心，約束行星架輸出內(nèi)孔的全部自由度。為了解決拓撲優(yōu)化結(jié)果存在多孔材料分布問題，將剛度懲罰因子設(shè)置為p=3[11]。

2.1.3 優(yōu)化后的模型

圖4為不同優(yōu)化程度下的材料密度分布云圖，可以看出，隨著保留材料的體積分數(shù)降低，行星輪孔間區(qū)域材料密度接近于零的越來越多。通常，材料相對密度大于0.6的區(qū)域要被保留，小于0.4的區(qū)域要被舍棄，0.4～0.6為過渡區(qū)域。

圖4 不同優(yōu)化程度的材料密度分布

2.1.4 優(yōu)化后模型分析

根據(jù)2.1.3節(jié)的拓撲優(yōu)化結(jié)果，去除材料相對密度小于0.6的區(qū)域，并光順邊緣區(qū)域，構(gòu)建各個優(yōu)化程度下的幾何模型，并將行星輪軸裝配到行星架上，如圖5所示；未優(yōu)化前的幾何模型如圖6所示，為了便于對比，將其體積分數(shù)定為f=1。

對各行星架有限元模型施加相同的邊界條件進行分析，行星架與行星輪軸配合為0.036 mm，各行星輪軸上軸承安裝位置施加軸承載荷15 158 N，約束行星架輸出內(nèi)孔的全部自由度，求解完成后，提取行星輪軸軸線的撓度。

圖7為不同體積分數(shù)拓撲優(yōu)化后的行星輪軸撓度曲線，可以看出，與優(yōu)化前結(jié)果(f=1)對比，拓撲優(yōu)化后行星輪軸撓度是增加的，并且隨著拓撲優(yōu)化保留材料的體積分數(shù)的降低，行星輪軸的撓度是逐漸變大，且最大撓度的變化梯度也是逐漸增大的，如圖8所示。

圖5 拓撲優(yōu)化后行星架組件

圖6 原行星架組件f=1

圖7 不同體積分數(shù)拓撲優(yōu)化后行星輪軸撓度曲線對比

2.2 尺寸優(yōu)化

通過前文知道，拓撲優(yōu)化后，行星架的剛度有所降低，故本節(jié)通過對行星架臂板厚度尺寸優(yōu)化，使各個優(yōu)化程度下的撓度值達到拓撲優(yōu)化前的水平。

2.2.1 優(yōu)化變量設(shè)置

以拓撲優(yōu)化后的行星架組件的體積為目標函數(shù)；以行星架臂板的厚度為設(shè)計變量，由于拓撲優(yōu)化后行星輪軸撓度增大，所以臂板厚度采用向上搜索的方法進行；以行星輪軸撓度值不超過拓撲優(yōu)化前行星輪軸撓度值為狀態(tài)變量；采用目標函數(shù)最小化方法進行尺寸優(yōu)化。

圖8 不同體積分數(shù)拓撲優(yōu)化后的行星輪軸最大撓度

2.2.2 尺寸優(yōu)化結(jié)果匯總

各組行星架均得到滿足條件的最合理的厚度值，各行星架臂板尺寸優(yōu)化后厚度值如表1所列，表中f為模型拓撲優(yōu)化時的體積分數(shù)，f=1表示為未經(jīng)任何優(yōu)化的初始模型；H為尺寸優(yōu)化后的臂板厚度。

表1 尺寸優(yōu)化后的行星架臂板厚度

圖9為各體積分數(shù)的模型要達到初始模型的撓度值時，臂板需增加的厚度值，可看出，拓撲優(yōu)化保留材料體積分數(shù)越低，想要達到初始模型的剛度，行星架臂板需要增加的厚度越大；還可看出，隨著拓撲優(yōu)化保留材料體積分數(shù)的越低，曲線的斜率絕對值越來越大，這表明，拓撲優(yōu)化保留材料體積分數(shù)的越低，通過增加臂板厚度補償剛度損失變得越來越難。

圖9 不同體積分數(shù)的行星架臂板厚度增加量

2.3 最終模型

在2.1節(jié)中利用拓撲優(yōu)化可以降低行星架的質(zhì)量，在2.2節(jié)中為了讓行星架達到初始模型的剛度進行了尺寸優(yōu)化，增加的行星架的質(zhì)量。圖10給出了6組行星架模型經(jīng)過聯(lián)合優(yōu)化后的質(zhì)量變化曲線，通過曲線可以看出，拓撲優(yōu)化體積分數(shù)取0.5時，再配合尺寸優(yōu)化，使行星架剛度達到初始模型，可以使行星架的最終模型質(zhì)量降到最低。聯(lián)合優(yōu)化后的最佳模型如圖11所示。

圖10 各組行星架組件聯(lián)合優(yōu)化后的質(zhì)量

圖11 聯(lián)合優(yōu)化后的行星架組件最佳模型

3 結(jié) 語

文中通過拓撲優(yōu)化和尺寸優(yōu)化相結(jié)合的方法進行了行星架的輕量化設(shè)計，確定了最合理的優(yōu)化路線，即：先進行保留體積分數(shù)為0.5時的行星架臂板拓撲優(yōu)化，獲得最佳的材料分布，拓撲優(yōu)化后建立行星架組件的幾何模型，以最小化行星架組件體積為目標，以行星輪軸剛度為狀態(tài)變量，以行星架臂板厚度為設(shè)計變量，最后得到行星架臂板厚度為61.6 mm。此時行星架組件質(zhì)量為45.727 kg，初始行星架組件質(zhì)量為59.085 kg，通過聯(lián)合優(yōu)化，在滿足行星架剛度不變的前提下，行星架組件的質(zhì)量降低了22.6%，取得了顯著的減重效果。